Cours de mathématiques MPSI

et leurs composées) alors (I,–) est un groupe Ce groupe n’est pas un groupe commutatif En effet, identiﬁons le plan à R2 et soit par exemple R la rotation de centre O˘(0,0) et d’angle 2 et T la translation de vecteur (1,0) Alors les isométries T–R et R–T sont des applications distinctes

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

1 Montrer que ( ) est un groupe commutatif 2 a) Montrer que la loi est commutative b) Montrer que est associative c) Déterminer l’élément neutre de pour la loi d) Montrer que ( ) est un anneau commutatif Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4 On pose ( ) ( ) ( ) ( ) Calculer,

TD2 : Actions de groupes et th eor emes de Sylow

a) Montrer qu’un groupe de cardinal p2 est commutatif b) Combien d’ el ements d’ordre py a-t-il dans un groupe de cardinal p? Et dans un groupe de cardinal p2? Solution de l’exercice 1 a) Soit Gun groupe d’ordre p2 L’ equation aux classes pour l’action de Gsur lui-m^eme par conju-

Exercices sur les groupes 1 Les inexcusables

1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif

Exercices sur les groupes

1 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e On considère deux éléments x et y de G tels que l’on ait xy e p où p est un entier naturel non nul Démontrer que l’on a : yx e p 2 Soit 2(G, •) un groupe d’élément neutre e tel que, pour tout élément x de G, on ait x e Démontrer que G est abélien

Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations

1 { Elle est associative 2 { Elle admet un el emen t neutre 3 { Chaque el ement de E admet un sym etrique pour Si de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou ab elien (du nom du math ematicien Abel) Exemples - L’ensemble des entiers relatifs muni de l’addition (Z; +) est un groupe commutatif

TD1 : G en eralit es sur les groupes - DMA/ENS

groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H Comme Hest ni et hn 2Hpour tout n2N, il existe deux entiers n>m 0 tels que hn = hm Or hadmet un