[PDF] Mécanique du solide Salle - AlloSchool

Cours de Mécanique du Solide - UCD

Par définition c’est le moment en un point de l’axe central Remarque : l’axe central est le lieu des points ou le moment est minimum • Propriétés de l’axe central Le moment est indépendant du choix de M sur (D), on dit que le champ de moment est de translation le long de ( ) Le champ de moment est de rotation autour de ( )

MECANIQUE DU SOLIDE - WordPresscom

3 1 Moment d'inertie et moment cinétique Soit un solide en rotation à la vitesse angulaire de rotationω(t) autour de l'axe (D) = (O, ⃗uD) Le moment d'inertie d'un solide par rapport à l'axe (D) est donné par J D=∑ i miri 2 Il est exprimé en kg m2 C'est une caractéristique du solide qui

Mécanique du solide Salle - AlloSchool

74 MÉCANIQUE DU SOLIDE Le transport de moment cinétique peut s’écrire de la façon suivante : −−→σ (A)/R = −−→σ (O)/R + −→ AO∧ → P Avec → P la quantité de mouvement totale du système Le moment cinétique et la quantité de mouvement constituent donc un torseur cinétique — Proprié té — 10 2 2 Premier

Mécanique du solide - Unisciel

Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier _____ 8 3 – Résultante cinétique et moment cinétique d’un système matériel : • Résultante cinétique (ou quantité de mouvement totale du système) : = ∫∫∫ = ( ) ( ) V P M v M d mv G r r r ρ τ

MP MP* PT PT* et des systèmes Mécanique du solide

Le modèle du solide (au sens de syst ème indéformable idéal) joue un rôle 3 - Théorème du moment cinétique scalaire 197 4 - Conservation du moment

Mécanique du solide

III- Dynamique du solide en rotation autour d'un axe xe Relier la direction et le sens du vecteur moment cinétique aux caractéristiques du mouvement Maîtriser le caractère algébrique du moment cinétique scalaire Exploiter la relation pour le solide entre le moment cinétique scalaire, la vitesse angulaire de rotation et

MECANIQUE DU SOLIDE - WordPresscom

MECANIQUE DU SOLIDE Travail à effectuer: • Visionner la vidéo de cours (en 3 parties) disponible sur le site de la classe et réaliser une carte mentale (avec PowerPoint ou équivalent ou bien avec un logiciel dédié comme Coggle ou Framindmap, tous deux gratuits, utilisables en ligne et collaboratifs) • Résoudre les exercices suivants

MECANIQUE DU SOLIDE NIVEAU 1 LA STATIQUE CORRIGE

MECANIQUE DU SOLIDE NIVEAU 1 LA STATIQUE CORRIGE FILIERE GENIE INDUSTRIEL BOIS Code du dispositif: 08A01003254 Module : 19607 Auteur : Serge Muret - 2008

[PDF] jeux bibliques gratuits ? imprimer

[PDF] fable denoncant injustice

[PDF] mécanique du solide indéformable cours et problèmes résolus

[PDF] fable qui dénonce une injustice

[PDF] cours mécanique du solide pdf

[PDF] le genisse

[PDF] mécanique des solides indéformables exercices corrigés pdf

[PDF] la chevre et la brebis en societe avec le lion.

[PDF] les animaux malades de la peste

[PDF] fables critique société

[PDF] le corbeau et le renard fle

[PDF] le corbeau et le renard questions de comprehension

[PDF] le vieux chat et la jeune souris analyse

[PDF] le lièvre et la tortue exploitation pédagogique maternelle

[PDF] la cigale et la fourmi esope analyse

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle 71
R 10

Mécanique du solide

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle

72MÉCANIQUE DU SOLIDE

10.1Lois de la mécanique d"un système matériel

10.1.1Modélisation d"un système matériel

On peut modéliser un système matériel de deux façons :

•Approche discrète :M=?

im i

•Approche continue :M=???

ρd3τ

Dans la suite de l"exposé, on utilisera souvent la notation discrète, mais la notation continue est tout-à-fait

utilisable. Il faut alors remplacer la somme discrète sur l"indiceipar une intégrale sur le volumeτet les

massesmipar la masse élémentaired3m=ρd3τ.

10.1.2Théorème du centre d"inertie (ou de la résultante cinétiqueou de la résultante dynamique ou du centre de masse)

10.1.2.1Centre de masse

Le barycentre, ou centre de masse ou centre d"inertie, notéG: M OG=? im i--→OMi

Avec un système continu, on a :

OG???

ρd3τ=???

ρ--→OM d3τ

10.1.2.2Quantité de mouvement d"un système

On appelle quantité de mouvement totale d"un système, notée-→P: P=? im i-→vi

Avec un système continu, on a :

P=???

ρ--→v(M)d3τ

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle

10.2 Théorème du moment cinétique73

En introduisant le centre de d"inertie, on obtient : -→P=M--→v(G) Par application de la deuxième loi de Newton , on obtient alors : d -→P dt=?--→Fext

Ceci constituele théorèmedu centre d"inertie(ou de la résultantecinétique ou de la résultantedynamique

ou encore du centre de masse).

10.1.3Référentiel barycentrique

Un référentiel barycentriqueest un référentiel qui a pour origine le centre de masse du système, et qui est

animé d"un mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen. On le noteraR?.

On noteX?la grandeurXévaluée dans le référentiel barycentrique.

Dans un référentiel barycentrique, la quantité de mouvement totale-→P?=-→P/R?est nulle :

P ?=-→0

Pour un système ouvert, on considère la masse à l"instantt, et la masse à l"instantt+dtdu système, plus

la masse éjectée durantdt. On peut donc définir dans ce cas un système fermé.

10.2Théorème du moment cinétique

10.2.1Moment cinétique

Considérons le moment cinétique par rapport àOd"un point matérielMde massem, animé de la vitesse-→vdans le référentielR. On a :

(O)/R=--→OM?m-→v On définit alors le moment cinétique pour un ensemble de points (système matériel) par : (O)/R=? i--→OM i?m-→vi

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle

74MÉCANIQUE DU SOLIDE

Le transport de moment cinétique peut s"écrire de la façon suivante : Avec

-→Pla quantité de mouvement totale du système. Le moment cinétique et la quantité de mouvement

constituent donc un torseur cinétique.

10.2.2Premier théorème de Koenig

En partant de la décomposition de la vitesse :

vi=--→v(G)/R+-→v?i où

v(G)/Rest la vitesse du centre de masseGpar rapport au référentielRet-→v?ila vitesse du pointMi

dans le référentiel barycentrique, on obtient le premier théorème de Koenig :

Le moment cinétique par rapport à un point fixe est donc égal à la somme du moment cinétique dans le

référentielbarycentriqueet dumomentcinétiqueducentred"inertieaffectéde toutela masse du système:

on décompose donc le moment cinétique total en un moment cinétique lié au mouvement de rotation du

système et à un autre lié au mouvement de translation de son centre d"inertie.

Le moment cinétique, dans le référentiel barycentrique, nedépend pas du point par rapport auquel on le

calcule. On l"écrit donc :

Il plus facile d"évaluer-→σ?dans le référentiel barycentriquepuisque dans celui-ci, le mouvementdu système

considéré est un mouvement de rotation.

10.2.3Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel galiléen

SoitOun point fixe par rapport à un référentiel galiléenR1. On obtient : d

σ(O)/R1

dt=? i--→OM i?--→Fext=? i---→M (O)(--→Fext)

10.2.4Théorème du moment cinétique en un point mobile d"unréférentiel galiléen

SoitAun point mobile par rapport au référentiel galiléenR1. On peut alors écrire : d

σ(A)/R1

dt=? i--→AM i?--→Fext---→v(A)?-→P

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle

10.3 Théorème de l"énergie cinétique75

10.2.5Théorème du moment cinétique en un point fixe d"unréférentiel non galiléen

SoitBun point fixe par rapport à un référentiel non galiléenR. On obtient : d

σ(B)/R

dt=? i---→M (O)(--→Fext) +---→M(O)(-→Fie) +---→M(O)(-→Fic)

10.2.6Théorème du moment cinétique dans le référentielbarycentrique

En particulier, siRréférentiel non galiléen est le référentiel barycentriqueR?et que le point fixeBest le

pointG, centre d"inertie du système,le moment des forces d"inertie de Coriolis---→M(O)(-→Fic)est nul car le

référentiel barycentriqueR?est en translation par rapport à un référentielR1galiléen et le moment des

forces d"inertie d"entraînement---→M(O)(-→Fie)est nul car l"accélération deGest nulle dans le référentiel

barycentrique. On obtient alors : d

σ(G)/R?

dt=d--→σ(G)?dt=? i--→GM i?--→Fext

Dans ce cas, on s"affranchit des forces d"inertie. Ce cas particulier du référentiel barycentrique est donc

très intéressant.

10.2.7Représentation torsorielle

On a les représentations suivantes :

Torseur Cinématique

-→P (O)

Torseur Dynamique

-→R=?--→Fext---→M(O)=? i--→OM i?--→Fext

10.3Théorème de l"énergie cinétique

10.3.1Énergie cinétique

Par définition, pour un ensemble de points matériels, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante :

E c=? i1

2miv2i

Pour un système continu, l"énergie cinétique est définie de la façon suivante : E c=???1

2ρ(M)v2(M)d3τ

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle

76MÉCANIQUE DU SOLIDE

10.3.2Second théorème de Koenig

Le second théorème de Koenig s"énonce de la façon suivante :

Ec=E?c+12M v2(G)

L"énergiecinétiqued"unsystèmematérielest égaleàlasommedesonénergiecinétiquedansleréférentiel

barycentrique et de l"énergie cinétique du centre d"inertie affecté de toute la masse du système. C"est

encore une fois la somme d"une énergie cinétique liée à la rotation su système et d"une énergie cinétique

liée à la translation de son centre d"inertie.

10.3.3Théorème de l"énergie cinétique

En partant de l"expression de l"énergie cinétique, on obtient :

ΔEc=Wext+Wint

oùWextest le travail des forces extérieures etWintle travail des forces intérieures.

Si le système est un solide, donc indéformable, le travailWintdes forces intérieures est nul et :

ΔEc=Wext

10.3.4Autres formes du théorème de l"énergie cinétique

Sous forme différentielle, on a :

dE c=δWext+δWint

En utilisant les puissances, on obtient l"expression suivante (appelée parfois théorème de la puissance

cinétique) : dE c dt=Pext+Pint

En distinguant les forces conservatives-→Fcet les forces non conservatives-→Fnc, on peut aussi écrire :

δW(-→Fc) =-dEp

oùEpest l"énergie potentielle associée la force conservative-→Fc. En introduisant l"énergie mécanique

E m=Ep+Ec, on a alors :

ΔEm=W(-→Fnc)

ou une de ses autres formes (que les forces non conservativessoient intérieures ou extérieures ne change

rien).

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle

10.4 Cas du solide77

10.4Cas du solide

On définit un solide par :

?(A,B)?Système2?--→AB?=Cte

C"est donc un système indéformable.

10.4.1Cinétique

Considérons un solide, en mouvement dans un référentiel galiléenR1. Soit un référentielRlié au solide.

SoientAetMdeux points du solide. On a la relation suivante : v(M)=--→v(A)+--→MA?-→ω

où-→ωR/R1est le vecteur rotation instantanée deRpar rapport àR1.-→ωR/R1est défini par :

ωR/R1=θ-→ez

si

-→ezest le vecteur définissant l"axe de la rotation deRpar rapport àR1et siθest l"angle de rotation de

Rpar rapportR1.

10.4.2Théorème du moment cinétique

10.4.2.1Solide possédant un point fixe

Soit un solide possédant un point fixe, notéeC. D"après la relation précédente, on obtient, pour tout point

Mdu solide :

v (M)=-→ωR/R1?--→CM

10.4.2.2Solide possédant un axe fixe

Le vecteur rotation instantanée est porté par l"axe fixe(Δ). En appliquant le théorème du moment

cinétique en un pointOde cet axe(Δ)et en projetant sur un vecteur unitaire-→eΔporté par ce axe, on

obtient : d

σ(O)

d

σ(O)·--→e(Δ)

dt=-----→M(O),ext·-→eΔ dσ(Δ) dt=M(Δ),ext

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - - Établissement Saint Joseph - LaSalle

78MÉCANIQUE DU SOLIDE

En posantJΔ=?

im iHiMipour un système discret ouJ(Δ)=? MH

2dmpour un système continu,

les pointHiétant les projetés des pointsMidu solide (Hprojeté deM) sur l"axe fixe, ici(Δ), on a :

(Δ)=J(Δ)ω=J(Δ)θ J Δest appelé moment d"inertie du solide par rapport à l"axeΔ.

On obtient alors :

dσ

10.4.3Théorème de Huyghens

Soient(Δ)et(ΔG)deux droites parallèles distants ded,(ΔG)passant par le centre d"inertieGdu

système. On a alors : J (Δ)=J(ΔG)+M d2

10.4.4Théorème de l"énergie cinétique

10.4.4.1Énergie cinétique dans le cas général

Il faut utiliser le second théorème de Koenig : E c=E?c+1

2M V2(G)

10.4.4.2Énergie cinétique d"un solide possédant un point fixe

Soit un solide possédant un point fixe, notéC. On obtient, en partant de l"expression générale de l"énergie

cinétique, et du champ de vitesses, la relation suivante : E c=1

2--→σ

(C)·-→ω

10.4.4.3Énergie cinétique d"un solide possédant un axe fixe

Soit un solide possédant un axe fixe, notéΔ. On obtient alors : E c=1

2J(Δ)ω2

10.4.4.4Énergie cinétique d"un solide en translation

Dans le cas d"un solde en translation, tous les points du solide ont même vitesse, celle du centre d"inertie,

et on a alors : E c=1

2M v2(G)

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle

10.5 Contact entre deux solides79

10.5Contact entre deux solides

10.5.1Types de mouvements relatifs

Il existe trois types de mouvements relatifs :

•mouvement de translation,

•mouvement de rotation,

•mouvement de roulement.

10.5.2Vitesse de glissement

On considère deux solides en contact. À un instant t donné, onsuppose que les pointsI1, du solide1, etI2,

du solide2, sont en contact. On obtient l"expression de la vitesse de glissement, noté-→vg:

10.5.3Lois de Coulomb pour le glissement

Considérons un contact. La réaction-→Rpeut se décomposer en deux forces : -→T: la force de frottement,

•-→N: la réaction normale au support.

10.5.3.1En l"absence de glissement

En l"absence de glissement, on a :

Oùf0est le coefficient de frottement statique.

10.5.3.2Avec glissement

S"il y a glissement, on a :

-→T?=f?-→N?

Oùfest le coefficient de frottement dynamique.

On pourra noter que le coefficient de frottement dynamique est inférieur au coefficient de frottement sta-

tique :f < f0.

Dans la vie courante, on peut remarquer qu"il est plus facilede pousser un objet lourd sur le sol une fois

que son mouvement est amorcé.

Saint Joseph - LaSalleCPGE TSI

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19