The Structure of (Z=nZ
(Z=nZ) (Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z) (below we will de ne such a function to be a group ismorphism) This reduces the study of the general unit group (Z=nZ) to understanding the unit group (Z=pnZ) with prime power modulus It turns out that the structure of these groups depends on whether or not p= 2
Fourier analysisonfinite abeliangroups
Example 1 1 In the case of the cyclic group G= Z/NZ, given any ξ∈ Z/NZ we can form the one-dimensional translation-invariant space Vξ generated by the character eξ: x→ e2πixξ/N If we secretly allow ourselves the use of the finite Fourier transform, it is not hard to see that a space is translation-invariant iff it is
Profinite Groups - Universiteit Leiden
(Z/nZ) The ring homomorphism Z → Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the closure of Z in the product Q n (Z/nZ) The relation of divisibility is a partial order: to replace this with a linear order, we may also represent this ring as Zb ∼={(b n) ∞ =1 ∈ Y∞ n=1 Z/nZ : for all n,b n+1 ≡b n
Automorphisme de Z/nZ - ENS Rennes
Comme pour tout dn, il existe un unique sous-groupe d’ordre dde Z/nZ, ∃x∈ d’ordrep−1 Enfin,comme(Z/pαZ)× estabélien,x(1 + p) estd’ordrep α−1(p−1) = (Z/p Z)× carles ordres sont premiers entre eux (Z/pαZ)× est donc cyclique et est isomorphe à Z/ϕ(pα)Z = Z/pα−1(p−1)Z •
24 Nilpotent groups - Buffalo
2) Z=nZ is a ring with multiplication given by k(nZ) l(nZ) := kl(nZ) 3)If Ris a ring then R[x] = fa 0 + a 1x+ :::+ a nxn ja i2R; n 0g is the ring of polynomials with coe cients in Rand R[[x]] = fa 0 + a 1x+ ::: ja i2Rg is the ring of formal power series with coe cients in R If R is a commutative ring then so are R[x], R[[x]] If Rhas identity then
ENS Rennes
Created Date: 1/23/2018 3:29:06 PM
Application des groupes `a la g´eom´etrie
Th´eor`eme 2 3 Le groupe O+ 3 (R) admet exactement 5 classes de sous-groupes finis : 1 le groupe cyclique Z/nZ des d´eplacements stabilisant un polygone r´egulier; 2 le groupe di´edral Dn/2 des isom´etries stabilisant un polygone r´egulier; 3 le groupe t´etra´edral A4 des d´eplacements stabilisant le t´etra`edre;
Symboles de Manin et valeurs de fonctions L
k= 2 pour le groupe de congruence Γ 1(N) Dans [10], Y Manin lui associe une fonction ξ f: (Z/NZ)2 → C dont les alveurs sont les symboles de Manin
1 Cours 1: ArithmØtique dans Z
d™oøx x0 1 2 kerf; alors, d™aprŁs cours 3 prop 4 1 2 1, kerf est unsous groupe de G: 5) Cette assertion est exactement l™assertion b) de cours 2 th 2 2 5 4
Formalisation algébrique des structures musicales à laide de
algébriques du groupe cyclique Z/nZ d'ordre n et l'action de ce groupe sur la structure d'ensemble qu'il représente Cela offre une formalisation algébrique du
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Automorphisme deZ/nZ.
Référence :Francinou-Gianella, Exercices de mathématiques pour l"agrégation, p7 (modifica-
tion de la fin pour éviter les suites exactes)On a l"isomorphisme
(Z/nZ)×-→Aut(Z/nZ) s?-→x?→sx. En notantn=pα11...pαrr, par le théorème chinois, on a (Z/nZ)×≂=r? i=1(Z/pαiiZ)×. Théorème.ppremier impair,(Z/pαZ)×≂=Z/?(pα)Z=Z/pα-1(p-1)Z.Démonstration.
•pimpair. Lemme.?k?N,?λ?N?, pgcd(λ,p) = 1,(1 +p)pk= 1 +λpk+1.Démonstration.Par récurrence surk.
k= 0, ok avecλ= 1.k≥1. Par hypothèse de récurrence, il existeλ?N?, pgcd(λ,p) = 1,(1 +p)pk-1= 1 +λpk.
(1 +p)pk= (1 +λpk)p= 1 +p-1? i=1? p i? ipki+λppkp i? i? ipkietpk+2|pkpcarp≥3. Ainsi (1 +p)pk= 1 +λpk+1+hpk+2 = 1 + (λ+ph)pk+1et on a bien pgcd(λ+ph,p)=pgcd(λ,p)=1.Ainsi?k? {1,...,α-2},(1+p)pk= 1+λkpk+1?= 1[pα]et(1+p)pα-1= 1+λα-1pα= 1[pα].