MacrosPbsCentrale - maths-francefr
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Centrale Maths 1 MP 2013 — Énoncé 2/3 ˇ˘ / ˘ c n,f ( E n ˘ c n,f ˇ ˝ ˆ ˇ ˛ a n œ C ˘ ’r œ Rú n,f, c r a n r n ˙˘ ˇ 1 ˇ ˇ ,ˇ ˇ ˇ ’ r, nœ Rú n R, f r, pæŒ ÿp n ≠p a r ein ˘ ˘ ˚ ˆf ˆx ˆf ˆy ˇ R ˆ ˝ ˘ ˙ n œ Z ˘
Exercices de mathématiques MP MP* - Dunod
préparatoires scientifiques Il est plus particulièrement adapté à la filière MP/MP* et conforme au nouveau programme officiel (rentrée 2014) de cette filière Il pourra bien sûr également être utile aux élèves des autres filières et aux candidats aux concours d’enseignement (CAPES et Agrégation)
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Centrale-supelec 2014CorrigeUn corrig´e du concours Centrale-sup´elec Math-II- 2014 Fili`ere MP
Propos´e par Mr : HAMANI Ahmed
I- D´efinitions et propri´et´es usuelles
I-APolynˆomes de premi`ere esp`ece
I-A-1Les polynˆomesT0,T1,T2etT3
- On a les relations?θ?R,T0(cos(θ)) =1,T1(cos(θ)) =cos(θ),T2(cos(θ)) =2cos2(θ) -1et
T3(cos(θ)) =4cos3(θ) -3cos(θ).
Donc par unicit´e, on obtientT1=1,T2=X,T2=2X2-1etT3=4X3-3X. I-A-2Expression deTn
?θ?R,?n?N,ein= (cos(θ) +isin(θ))n=n∑ k=1C kncosn-k(θ)iksink(θ). En prennant la partie r´eelle des deux membres, on obtient cos(nθ) =∑2kn(-1)kcosn-2k(θ)sin2k(θ) =∑
2kn(-1)kcosn-2k(θ)(1-cos2(θ))k.
Et par unicit´e on auraTn=∑
2kn(-1)kXn-2k(1-X2)k=∑
2knXn-2k(X2-1)k.
I-A-3Une relation de r´ecurence entre lesTn
?n?N,Tn+2(cos(θ))+Tn(cos(θ)) =cos((n+2)θ)+cos(n(θ)) =2cos((n+1)θ)cos(θ) =2cos(θ)Tn+1(cos(θ)).
Ce qui entraine par unicit´eTn+2+Tn=2XTn+1.
Degr´e et coefficient dominant deTn.
On va montrer par une r´ecurrence forte surnquedom(Tn) =2n-1etdeg(Tn) =n. - La propri´et´e est vrai pourn=0,1,2et3. - Supposons que pour un certainn≥2,dom(Tn) =2n-1,dom(Tn+1) =2n, etdeg(Tn) =n, deg(Tn+1) =n+1, alors,deg(Tn+2) =deg(2XTn+1-Tn) =deg(XTn+1) =1+n+1=n+2. dom(Tn+2) =dom(2XTn+1) =2dom(Tn+1) =22n=2n+1.Une m´ethode qui utilise l'expression deTn.
On a?n?N,Tn=∑
2knXn-2k(X2-1)k.
On remarque que?k?[0,n/2],n-2k+2k=n, de plus le coefficient deXnest 2kn=1 2 (n∑ k=0(1+ (-1)k)Ckn) =1 2 n k=0C kn+1 2 n k=0(-1)kCkn=1 2 (1+1)n+1 2 (1-1)n=2n-1.En conclusiondeg(Tn) =netdom(Tn) =2n-1.
I-A-4Les racines deTn
?n?N?,Tn(cos(θ)) =0⇐⇒cos(nθ) =0⇐⇒θ=(2k+1)π 2n , k?Z. On a donc?k?[[0,n-1]],Tn(cos(θk)) =0o`uθk=(2k+1)π 2n , de plus?k?[[0,n-1]],θk?]0,π[et la fonction cosinus est bijective de] -1,1[vers]0,π[, doncTnadmetnracines distinctes sur] -1,1[, `a savoir lescos(θk)o`uk?[[0,n-1]]. I-BPolynˆomes de deuxi`eme esp`ece
I-B-1Expression deUn(cos(θ))
- En d´erivant l'expressionTn+1(cos(θ)) =cos((n+1)θ)par rapport `a la variableθ, on obtient
-sin(θ)T?n+1(cos(θ)) = -(n+1)sin((n+1)θ), ce qui entraine que ?θ?R rπZ,?n?N,T?n+1(cos(θ)) n+1=sin((n+1)θ) sin(θ), c'est `a direUn(cos(θ)) =sin((n+1)θ) sin(θ). I-B-2 a )Une relation de r´ecurence entre lesUn -?n?N,Un+2(cos(θ)) +Un(cos(θ)) =1 sin(θ)(sin((n+2)θ) +sin(nθ)) = 2 sin(θ)(cos(θ)sin((n+1)θ)) =2cos(θ)Un+1(cos(θ)) ce qui donne par unicit´e desUnqueUn+2+Un=2XUn+1. b )Racines deUn - Les racines deUnsont celles deT?n+1, orTn+1admetn+1racines distinctes sur]-1,1[, donc parapplication du th´eor`eme des accroissements finies entre deux z´eros cons´ecutifs deTn+1, on obtient
un z´ero deT?n+1, ce qui prouve queUnadmetnracines distinctes sur] -1,1[. 1/ 5Centrale-supelec 2014Corrige?n?N,Un(cos(θ)) =0⇐⇒sin((n+1)θ) =0⇐⇒(n+1)θ=kπ , k?Z.
Donc?k?[[1,n]],Un(cos(φk)) =0o`uφk=kπ
n+1, lescos(φk)sont distincts deux `a deux grˆace `a la bijectivit´e decosinusde] -1,1[vers]0,π[. Donc les racines deUnsont lescos(φk)o`uk?[[1,n]]. II- Arithm´etique des polynˆomes de Tchebychev II-ADivision euclidienne
II-A-1
T n+mTn-m=2TnTm. U n+m-1+Un-m-1=2Un-1Tm.II-A-2
a ) - Sim < n < 2m, alors0 < n-m < m, donc d'apr`es(II-A-1),TmTn-m=1 2 (Tn+T2m-n), c'est `a direTn=2Tn-mTm-T2m-n=2Tn-mTm-Tjn-2mjavec0 < 2m-n < 2m-m=m=deg(Tm). T n-mTm=1 2 (Tn+Tn-2m), c'est `a direTn=2Tn-mTm-Tn-2m=2Tn-mTm-Tjn-2mjavecOn conclut queQn;m=2Tn-metRn;m= -Tjn-2mj.
b ) - Soitn= (2p+1)mo`up?N?, on applique l'´egalit´e de(II-A-1)au couple(n,m)←(2km,m) o`uk?[[1,p]], on obtient2T2kmTm=T(2k+1)m+T(2k-1)m, ce qui entraine que2(-1)p-kT2kmTm= (-1)p-kT(2k+1)m-(-1)p-k+1T(2k-1)m, ce qui donne en sommant dek=1`a
k=p, on obtient par t´el´escopie T n-(-1)pTm=T(2p+1)m-(-1)pTm=p∑ k=1? (-1)p-kT(2k+1)m- (-1)p-k+1T(2k-1)m?=2Tmp k=1(-1)p-kT2km.DoncTn=Tm?
(-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2km? , donc Q n;m= (-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2kmetRn;m=0. c ) - On consid`ere l'ensembleAn;m=fk?N?/(2k-1)m < ng. Par hypoth`esen?= (2(0) +1)m, donc1?An;mde plusAn;mest major´e par1+E?n/m+1 2 , donc admet un maximump. entier impair, donc(2p-1)m < n <(2p+1)m, c'est `a direjn-2pmj< m. -?k?[[0,p-2]],n- (2k+1)m≥n- (2p-3)m≥2m > m, donc ?k?[[0,p-2]],2TmTn-(2k+1)m=Tn-2km+Tn-(2k+2)m, donc2(-1)kTmTn-(2k+1)m= (-1)kTn-2km- (-1)k+1Tn-(2k+2)m, ce qui donne par t´el´escopie en som-
mant dek=0`ak=p-2 T n=2Tmp-2∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)p-1Tn-(2p-2)m. Orm < n- (2p-2)m < 3m, donc d'apr`es la questiona), T n-(2p-2)m=2TmTn-(2p-1)m-Tjn-2pmjet par suite T n=2Tmp-1∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)pTjn-2pmj, ce qui donne le r´esultats puisque jn-2pmj< m=deg(Tm). II-BPlus grand commun diviseur
II-B-1
Pgcd deUnetUm
- Posonsn+1=hn1etm+1=hm1. - Soitrune racine deUh-1, alors?k?[[0,h]]tel quer=cos?kπ h =cos?kn 1π n+1? =cos?km 1π m+1? doncrest une racine commune deUnet deUm. - R´eciproquement sirest une racine commune deUnet deUm, alors?(k,k?)?[[1,n]]×[[1,m]]tel quer=cos?kπ n+1? =cos?k?π m+1? , donckπ n+1=k?π m+1et par suitekm1=k?n1, orn1etm1 sont premiers entre eux, donc par le th´eor`eme de Gauss,n1divisek, ce qui entraine en posantk n 1=k?? quer=cos?k??π h c'est `a dire querest une racine deUh-1. - En conclut queUh-1est le pgcd deUnetUm. 2/ 5 Centrale-supelec 2014CorrigeII-B-2Pgcd deTnetTma) - Soitrune racine deTg, alors?k?[[0,g-1]]tel que r=cos?(2k+1)π 2g =cos?(2k+1)m1π 2m =cos?(2k+1)n1π 2n , or(2k+1)m1et(2k+1)n1 sont impairs, doncrest une racine commune deTnetTm. - R´eciproquement sirest une racine commune deTnetTm, alors?(k,k?)?[[0,n-1]]×[[0,m-1]] tel quer=cos?(2k+1)π 2n =cos?(2k?+1)π 2m , donc(2k+1)π 2n =(2k?+1)π 2m , c'est `a dire (2k?+1)n1= (2k+1)m1, orn1etm1sont premiers entre eux, doncn1divise2k+1et par suite si on pose 2k+1 n1=n2qui est impair, on aurar=cos?n
2π 2g et l'imparit´e den2entraine quer est une racine deTg. - On conclut queTgest le pgcd deTnetTm. b ) - Soitrune racine commune deTnetTm, alors le raisonnement pr´ec´edent aboutit `a l'existence dek,k?tel que(2k?+1)n1= (2k+1)m1, doncn1etm1sont de mˆeme parit´e, ce qui exige par hypoth`ese quen1etm1sont pairs, ce qui contredit qu'ils sont premiers entre eux. - On conclut queTnetTmsont premiers entre eux. c )- Casn,mimpairs - Cette condition exige quen1etm1sont impairs, donc d'apr`esa), le pgcd deTnetTmestTgo`u gest le pgcd demetn.- Casn,mdes puissances de2.
- Dans ce cas l'un desn1etm1est pair et l'autre vaut1, donc d'apr`esb)TnetTmsont premiers entre eux.III-Un th´eor`eme
III-APr´eliminaires
III-A-1
(Tn)nest suite commutante -deg(Tn) =n. -?θ?R,?n,m?N,TnoTm(cos(θ)) =Tn(cos(mθ)) =cos(nmθ) =Tnm(cos(θ)), donc par unicit´e T noTm=Tnm=Tmn=TmoTn.III-A-2
Gest un groupe
-?P,Q?G,deg(PoQ) =deg(P).deg(Q) =1, donc la loioest une loi de composition interne qui est associative. -?P?G,PoX=XoP=P, doncXest l'´el´ement neutre deG. - L'inverse deP=aX+bestP-1=x-b a ?G. - On conclut queGest un groupe. III-BCommutant deX2etT2
III-B-1
Qest unitaire
SoitQde degr´en≥1et de coefficient dominantq?=0, tel quePoQ=QoP, alors en ´egalisant les coefficients dominants de ces deux membres, on obtientq2=q, doncq=1.III-B-2
Commutant deX2
- SoitQ1etQ2deux polynˆomes de degr´en≥1commutant avecP, alors d'apr`es la question pr´ec´edente, ils sont unitaires, donc si in poseR=Q1-Q2, on auradeg(R)< n. -RoP=Q1oP-Q2oP=PoQ1-PoQ2=Q21-Q22= (Q1-Q2)(Q1+Q2) =R(Q1+Q2), ce qui donne par passage aux degr´es que2deg(R) =deg(RoP) =deg(R(Q1+Q2)) =deg(R) +n, doncdeg(R) =n, ce qui est contradictoire
avecdeg(R)< n. -?n?N?,Xncommute avecX2et c'est l'unique polynˆome de degr´en. - SiP=λest un polynˆome constant qui commute avecX2, alorsλ2=X2oP=PoX2=λ, doncλ?f0,1g.
- En conclut queC(X2) =f0g?fXn/ n?Ng.III-B-3
Existence deUetα
- SoitP=aX2+bX+cetU=γX+βaveca?=0etγ?=0.-UoP=PoU⇐⇒γ(aX2+bX+c)+β= (γX+β)2+α, ce qui aboutit `a un syst`eme qui admet une
unique solution `a savoirU=aX+b 2 etP=X2+4ac+2b-b2 4 - Le casP=T2=2X2-1, donneU=2XetP=X2-2.III-B-4
Commutant deT2
- SoitQde degr´en≥1. La question pr´ec´edente entraine queUoT2oU-1=P-2, donc Q? C(T2)⇐⇒QoT2=T2oQ⇐⇒UoQoU-1oP-2=P-2oUoQoU-1⇐⇒UoQoU-1? C(P-2). 3/ 5Centrale-supelec 2014Corrige- D'apr`es la question(II-B-2),P-2admet au plus un commutant de degr´en≥1, or
?n≥1,Tncommute avecT2, doncUoTnoU-1commute avecP-2par unicit´e c'est le seul de degr´e n≥1, doncQ=Tn. - De plus siP=λcommute avecT2, alorsλ=2λ2-1, ce qui exige queλ?f-1 2 ,1g. - En conclusionC(T2) =f-1 2 g?fTn/ n?Ng. III-C