[PDF] Centrale/Sup´elec Fili`ere MP 2015 Epreuve 1´



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Centrale, 2015, MP, II (10 pages) Partie I I A - I A 1) Pour n> 2, on a a n= 1 n Z n n 1 dt t = 1 n ln(t) n n 1 = 1 n ln n n 1 = 1 n + ln 1 1 n = 1 n + 1 n 1 2n2 + o 1 n2 donc a n ˘ n1 1 2n2 donc, par comparaison a une s erie de Riemann, (P a n) n>2 converge I A 2) Puisque 8k> 2; a k= 1 k ln(k) + ln(k 1), par t elescopage, Pn k=2 a k= Pn k



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Centrale/Sup´elec

Fili`ere MP 2015´Epreuve 1Autour de la transformation de Radon Lobjectif de ce probl`eme est l´etude dun certain op´erateur int´egral agis- sant sur les fonctions du plan, appel´e transformation de Radon. On se propose d´etablir une formule dinversion et dinterpr´eter la transforma- tion en termes de fonctions invariantes sur un groupe de matrices. En“n on ´etudiera une application du proc´ed´e dans le domaine de limagerie m´edicale.

Notations

On noteRle corps des nombres r´eels etM3

(R) l"alg`ebre des matrices carr´ees de taille 3×3`a coefficients dansR. Le groupe multiplicatif des

´el´ements inversibles deM

3 (R) est not´eGL3 (R) et son ´el´ement neutre, I 3

Les ´el´ements du plan vectorielR

2 seront not´es en colonne, pour tout r´eel

θon notera-→u

=?cos(θ) sin(θ)? Le plan est muni de sa structure euclidienne canonique, donn´ee par le produit scalaire??x1 y 1 ,?x 2 y 2 =x 1 x 2 +y 1 y 2 L"ensemble des matrices des rotations vectorielles planes est appel´e groupe sp´ecial orthogonal et not´eSO(2), sont ´el´ement neutreI2

On ´ecriraR

=?cos(θ)-sin(θ) sin(θ) cos(θ)?

IPr´eliminaires g´eom´etriques

SoitGle sous-ensemble deM

3 (R) des matrices de la forme

M(A,-→b)=?

A?b1 b 2 00 1? o`uAest un ´el´ement du groupe sp´ecial orthogonalSO(2) et-→b=?b 1 b 2 est un vecteur quelconque du plan euclidienR2 I.A - Isom´etries affines directes du plan euclidien

I.A.1)D´eterminer un couple dansSO(2)×R

2 tel que l"on ait

M(A,-→b)=I

3

I.A.2)Soient (A,-→b)et(A

,-→b ?) dansSO(2)×R 2

Montrer queM(A,-→b)M(A

,-→b )=M(AA ,A-→b +-→b).

Centrale/Sup´elec

Fili`ere MP 2015´Epreuve 1-2-

Autour de la transformation

de Radon I.A.3)Montrer que les ´el´ements deGsont inversibles et expliciter l"inverse deM(A,-→b).

I.A.4)D´emontrer queGest un sous-groupe de GL

3 (R).

I.A.5)L"application Φ :G→R

2 ,M(A,-→b)?→-→best-elle surjective ?

Est-elle injective ?

I.B - Droites affines du plan

Pourq?Ret-→u=?u

1 u 2 vecteur unitaire deR 2 , on note Δ(q,-→u)la droite affine du plan passant par le point (qu 1 ,qu 2 ) et orthogonale `a-→u. I.B.1)Repr´esenter graphiquement Δ(0,-→e 1 )etΔ?

2,-→e

1 +-→e 2 2?. I.B.2)D´eterminer une ´equation cart´esienne de Δ(q,-→u I.B.3)Montrer qu"une param´etrisation de Δ(q,-→u ) est donn´ee par?x(t)=qcos(θ)-tsin(θ)

I.B.4)

`A quelle condition les droites Δ(q,-→u)etΔ(r,-→v) sont-elles con- fondues ?

I.C - Action deGsur les droites

On noteDl"ensemble des droites affines du plan et on consid`ere l"application Ψ :G→D,M(A,-→b)?→Δ??A-→e 1 |-→b?,A-→e 1 I.C.1)Repr´esenter Ψ(M(A,-→b)) dans le cas o`uA=R

π/6

et-→b=?1 2?

I.C.2)D´eterminer Ψ(M(I

2 ,-→0 )).

I.C.3)V´erifier que Ψ(M(R

,q-→u ))=Δ(q,-→u );end´eduire que Ψ est surjective. I.C.4)SoitHl"ensemble des matricesM(A,-→b)deGtelles que

Ψ(M(A,-→b))=Δ(0,-→e

1 a) D´ecrire les ´el´ements deH. b) Montrer queHest un sous-groupe deG. c) Montrer que pour toutgdeG, et touthdeH,onaΨ(gh)=Ψ(g).

Pour tout entiern, on noteB

n ensemble des fonctionsfde classeC 1 surR 2 a valeurs dansRtelles que (x,y)?→(x 2 +y 2 n f(x,y) est born´ee surR 2

Sifest une fonction continue surR

2 on appelletransform´ee de Radon defla fonction?fd´efinie, l`ao`u c"est possible, par f(q,θ)=?

Centrale/Sup´elec

Fili`ere MP 2015´Epreuve 1-3-

Autour de la transformation

de Radon

II Fonctions radiales

II.A -

´Etude d"un exemple

On consid`ere, dans cette sous-partie seulement, la fonctionfd´efinie par ?(x,y)?R 2 ,f(x,y)=1 1+x 2 +y 2

II.A.1)

´Etablir quefest dansB

1

II.A.2)Montrer que?fest d´efinie surR

2 avec?f(q,θ)=π? 1+q 2

II.A.3)On poseR(q)=1

2π?

2π 0 ?f(q,θ)dθ).D´emontrer queq?→R (q) q est int´egrable sur ]0,+∞[etquef(0,0) =-1 0 R (q) qdq. On pourra, pour calculer cette derni`ere int´egrale, proc´eder au change- ment de variableq= sh(u).

II.A.4)La fonction∂f

xest-elle dansB 2

II.B - Fonctions radiales : cas g´en´eral

On suppose dans le reste de cette partie qu"il existe une fonction?de R versR, continue et int´egrable surR , telle que : ?(x,y)?R 2 ,f(x,y)=???x 2 +y 2

II.B.1)Pourr?R

, calculerf(r)=1

2π?

2π 0 f(rcos(t),rsin(t))dt. II.B.2)Justifier la convergence, pour toutq?0, de? q r?(r) r 2 -q 2 dr. II.B.3)D´emontrer que la transform´ee de Radon defest d´efinie sur Rquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25