I Parité et périodicité dune fonction
attendu sur les notions de périodicité et de parité On fait le lien entre les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique et les représentations graphiques des fonctions x a cos x et x a sin x -AP- [SPC] Ondes progressives sinusoïdales, oscillateur mécanique I Parité et périodicité d'une fonction 1 1) Fonctions paires
I Les fonctions trigonométriques de TS
La fonction qui à tout nombre réel x, associe le nombre sin(x) est appelée fonction sinus : sin : x sin(x) Propriété admise Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ et sin'(x)=cos(x) et cos'(x)=−sin(x) II Parité et périodicité d'une fonction Définitions Soit f définie sur un intervalle I symétrique par rapport à 0
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 23 et de la compléter par translation Méthode : Résoudre une équation et une inéquation trigonométrique
Trigonométrie
Découvrir les concepts de parité et de périodicité au travers de l'exemple des fonctions Sinus et Cosinus A Fonction périodique Définition Une fonction f est périodique de période T sur si et seulement si par définition pour tout Exemple : Sinus et Cosinus On a vu lors de l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique - p 27
Fonctions trigonométriques - ac-noumeanc
II] La fonction tangente Définition : tan x = sinx cosx, donc tan x existe si et seulement si cos x ≠ 0 c'est-à-dire si x ≠ π 2 + k π avec k ∈ On note D l'ensemble de définition de la fonction tangente : D = − {π 2 + k π avec k∈ } Propriétés : La fonction tangente est π périodique et impaire
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f(−x)=f(x) Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f(−x)=−f(x)
Fonctions trigonométriques
Etude d’une fonction trigonométrique Les savoir-faire 220 Placer un point sur le cercle trigonométrique 221 Déterminer sur le cercle trigonométrique, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x 222 Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques 223
Fonctions trigonométriques
Placer un point sur le cercle trigonométrique 221 Déterminer sur le cercle trigonométrique, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x 222 Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques 223 Lier la représentation graphique des fonctions sinus
Fonctions trigonométriques – Fiche de cours
5 Fonction sinus a Définition et propriétés sinx est l’ordonnée d’un point M situé sur le cercle trigonométrique - domaine de définition : sinx est définie ∀x∈ℝ - propriété : ∀x∈ℝ −1≤sinx≤1 - périodicité : sinx=sin(x+2π) fonction 2π−périodique - parité : sinx=−sin(−x) fonction impaire
[PDF] pfae
[PDF] égalité politique définition
[PDF] apprendre a parler espagnol rapidement
[PDF] circulaire sur la féminisation des noms de métiers
[PDF] guide de l'encadrement et de l'encadrant dans la fonction publique
[PDF] livret de suivi de stage efb
[PDF] personne qui ne sait pas écrire
[PDF] livret de suivi des stages efb 2017-2018
[PDF] comment s'appelle une personne qui ne sait pas écrire
[PDF] doit on se confier aux autres
[PDF] calendrier efb 2017 2018
[PDF] ne pas savoir ecrire
[PDF] élève avocat statut étudiant
[PDF] sujet de conversation avec une fille sur facebook pdf
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTIONS COSINUS ET SINUS I. Rappels 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère orthonormé
O;i ;jet orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par M. Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cosx. - Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sinx. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
2)3) cos2 x + sin2 x= 1 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0
6 4 3 2 cosx 1 3 2 2 2 1 20 -1 sinx
0 1 2 2 2 3 2 1 0YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Propriétés des fonctions cosinus et sinus 1) Périodicité Propriétés : 1)
cosx=cosx+2kπ où k entier relatif 2) sinx=sinx+2kπ où k entier relatif Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses x et x+2kπont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
2π. Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur
2πet de la compléter par translation. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Vidéo https://youtu.be/PcgvyxU5FCc Résoudre dans
l'équation cos 2 x= 1 2 cos 2 x= 1 2 ⇔cos 2 x- 1 2 =0 ⇔cosx- 2 2 cosx+ 2 2 =0 ⇔cosx= 2 2 ou cosx=- 2 2 ⇔cosx=cos 4 ou cosx=cos 3π 4Ainsi :
S= 4 +2k 1 4 +2k 2 3π 4 +2k 3 3π 4 +2k 4πaveck
iSoit :
S= 4 kπ 2 aveck∈!YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr32) Parité Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
cos(-x)=cosx 2) sin(-x)=-sinxRemarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et
f(-x)=f(x). Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et
f(-x)=-f(x). Conséquences : - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine. Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique Vidéo https://youtu.be/hrbgxnCZW_I Démontrer que la fonction f définie sur
par f(x)=sinx-sin2x est impaire. Pour tout x réel, on a : f(-x)=sin-x -sin-2x =-sinx+sin2x =-f(x). La fonction f est donc impaire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. 3) Autres propriétés Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
cosπ+x =-cosx et sinπ+x =-sinx 2) cosπ-x =-cosx et sinπ-x =sinx 3) cos 2 +x =-sinx et sin 2 +x =cosx 4) cos 2 -x =sinx et sin 2 -x =cosxYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 III. Dérivabilité et variations 1) Dérivabilité Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 et on a : cos'(0) = 0 et sin'(0)=1. - Admis - Théorème : les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur
et on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) = cos(x) Démonstration : - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul.
cos(x+h)-cosx h cosxcosh-sinxsinh-cosx h =cosx cosh-1 h -sinx sinh h Or, cosinus et sinus sont dérivables en 0 de dérivées respectives 0 et 1 donc : lim h→0 cosh-1 h =0 et lim h→0 sinh h =1 donc lim h→0 cos(x+h)-cosx h =-sinx . - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul. sin(x+h)-sinx h sinxcosh+cosxsinh-sinx h =sinx cosh-1 h +cosx sinh h Donc lim h→0 sin(x+h)-sinx h =cosx . 2) Variations x 0 π cos'x=-sinx0 - 0
cosx1 -1 x 0
2 sin'x=cosx1 + 0 - -1
sinx1 0 0
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 3) Représentations graphiques Fonction cosinus Fonction sinus Méthode : Etudier une fonction trigonométrique Vidéos dans la Playlist : https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCappSbh79E9sYg99vU5b_nBy On considère la fonction f définie sur
par f(x)=cos2x 1 2. 1) Etudier la parité de f. 2) Démontrer que la fonction f est périodique de période π
. 3) Etudier les variations de f. 4) Représenter graphiquement la fonction f. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr61) Pour tout x de , on a : f(-x)=cos-2x 1 2 =cos2x 1 2 =f(x)La fonction f est donc paire. Dans un repère orthogonal, sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2) Pour tout x de
, on a : f(x+π)=cos2x+π 1 2 =cos2x+2π 1 2 =cos2x 1 2 =f(x) On en déduit que la fonction f est périodique de période π . 3) Pour tout x de , on a f'(x)=-2sin2x . Si x∈0; 2 , alors