[PDF] 4 Fonctions analytiques

Limitesetcontinuitépourune fonctiondeplusieursvariables

Les propositions2 13et2 15sont très utiles pour montrer qu’une fonction est ou n’est pascontinueenunpoint: Exemple 2 20

Fonctions injectives, surjectives et bijectives

Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au moins un réel du domaine de définition En notation mathématique, on a ∀ ∈ ???? ( ∃ = ) Remarque(s) En termes d’ensembles, le cardinal de X est supérieur ou égal au Cardinal de Y En notation mathématique, on a

4 Fonctions analytiques

Il y a une diff´erence fondamentale entre les cas d’une variable r´eelle et d’une variable complexe Prenons par exemple une fonction a valeurs r´eelles d’une vari-able complexe dont la d´eriv´ee existe en z = a D’une part, f0(a) doit ˆetre r´eelle, car c’est la limite du rapport f(a + h) − f(a) h (5 2)

Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité

Si dans un énoncé, on demande de montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) x +8 est dérivable sur ]−8;+∞[ La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue

5 Fonctions différentiables

43 5 Fonctions différentiables Soient E et F des espaces normés, Ω un ouvert de E, f et g deux applications de Ω dans F Définition − On dit que f et g sont tangentes en a si pour tout ε > 0 il existe un r > 0 tel que

FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

Dérivée d’une fonction

Cela se lit aussi sur le dessin, il y a une demi-tangente à droite, une demi-tangente à gauche, mais elles ont des directions différentes Mini-exercices 1 Montrer que la fonction f (x) = x3 est dérivable en tout point x 0 2R et que f 0(x 0) = 3x2 0 2 Montrer que la fonction f (x) = p x est dérivable en tout point x0 >0 et que f 0(x 0

Optimisation dune fonction dune variable

L’existence d’extrema n’est pas garantie pour toute fonction Mais sur un intervalle fermé borné Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I = [a;b] Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I