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Les chaînes de Markov Exercices solutionnØs
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Chaînes de Markov - Université Paris-Saclay
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TP8/9 : Chaînes de Markov
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Corrigé de l’examen du 26 avril 2012 Exercice 1 : OnconsidèreunechaînedeMarkov(X Dessiner le graphe de la chaîne de Markov associée en précisant les
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Les chaînes de Markov
Exercices solutionnés
Geneviève Gauthier
dernière mise à jour : 16 octobre 2000 Problème 1(30 points).À partir des trois graphes de transition suiv- ants, reconstituez les chaînes de Markov qui leur sont associées (espace d"états et matrice de transition). Pour chacune de ces chaînes de Markov, faites-en l"analyse en répondant aux questions suivantes: i) La chaîne de Markov comporte combien de classes et quelles sont- elles?; ii) Quelles sont les caractéristiques de chacune de ces classes (stable ou instable, absorbante, récurrente ou transitoire, la période)?; iii) Existe-t-il une loi stationnaire? Si oui, qu"elle est-elle? Sinon, pourquoi? iv) Déterminez, s"il y a lieu, les probabilités d"absorbtion dans les classes stables. v) Déterminez, s"il y a lieu, les temps moyens d"absorbtion dans les classes stables.x 1x2x3x41
x 1x 2x 3x40,50,5
x 3x 1x 2x40,750,25
0,750,252
1 Premier graphe de transition
1.1 Classi...cation des états
EX=fx1;x2;x3;x4getPX=0
BB@0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 01
C CA: Il n"y a qu"une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit d(1) =PGCDfn2 f1;2;:::g: (PnX)11>0g=PGCDf4;8;12;16;:::g= 4:1.2 Loi stationnaire
Résolvant le système
P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+
3+4= 1, nous obtenons
0 BBBB@1 0 0 1
11 0 0
0 11 0
0 0 11
1 1 1 11
C CCCA0 B B@ 1 2 3 41C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C
CCCA)0
B B@ 1 2 3 41C CA=0 B BB@14 14 14 14 1 C CCA: Comme la chaîne n"est pas apériodique, nous savons que la loi deXnne converge pas vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni où X nreprésente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape.
1.3 Probabilités d"absorption
Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul des probabilités d"absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité d"être absorbé dans cette unique classe, partant de n"importe quel état, est de 1. 32 Deuxieme graphe de transition
2.1 Classi...cation des états
EX=fx1;x2;x3;x4getPX=0
B B@12 12 0 00 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 01
C CA: Il n"y a qu"une seule classe forcément stable et récurrente. Par conséquent, tous les états de la chaîne ont même période, soit d(1) =PGCDfn2 f1;2;:::g: (PnX)11>0g=PGCDf1;2;3;4;:::g= 1:2.2 Loi stationnaire
Résolvant le système
P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+
3+4= 1, nous obtenons
0 B BBB@ 12 0 0 1 12 1 0 00 11 0
0 0 11
1 1 1 11
C CCCA0 B B@ 1 2 3 41C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C
CCCA)0
B B@ 1 2 3 41C CA=0 B BB@25 15 15 15 1 C CCA: Comme la chaîne st irréductible et apériodique, nous savons que la loi deXn converge vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni oùXn représente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape.
2.3 Probabilités d"absoption
Comme il existe une seule classe et que cette dernière est stable alors le calcul des probabilités d"absorbtion ne présente aucun intérêt puisque la probabilité d"être absorbé dans cette unique classe, partant de n"importe quel état, est de 1. 43 Troisieme graphe de transition
3.1 Classi...cation des états
EX=fx1;x2;x3;x4getPX=0
B BBB@0 14 0340 1 0 0
0 14 0340 0 0 11
C CCCA:Il y a quatre classes
fx1ginstable transitoired(1) = 0 fx2gstable absorbante donc récurrented(2) = 1 fx3ginstable transitoired(3) = 0 fx4gstable absorbante donc récurrented(4) = 13.2 Loi stationnaire
Résolvant le système
P0I!=!0en y ajoutant la contrainte1+2+
3+4= 1, nous obtenons
0 BBBB@1 0 0 0
14 014 00 01 0
34034
0
1 1 1 11
C CCCA0 B B@ 1 2 3 41C CA=0 B BBB@0 0 0 0 11 C
CCCA)0
B B@ 1 2 3 41C CA=0 B B@0 1a 0 a1 C CA où la contrainte8i2 f1;2;3;4g; i0entraîne que0a1. Il existe donc une in...nité de distributions stationnaires. Comme la chaîne n"est pas irréductible, nous savons que la loi deXnne converge pas vers la distribution stationnaire lorsquencroît vers l"in...ni oùXnreprésente l"état dans lequel se trouve la chaîne à lanième étape. 5
3.3 Probabilités d"absorptions
Les probabilités d"absorbtion semblent beaucoup plus intéressantes dans ce cas-ci. Posons i=P[la chaîne est éventuellement absorbée enx2jX0=xi]: Évidemment,2= 1et4= 0. Il est aussi clair que1=14 et3=14 auquel nous ajoutons les deux contraintes2= 1et4= 0, nous obtenons0 BBBBBBBB@114
0340 0 0 0
0 14 1340 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 11
CCCCCCCCA0
B B@ 1 2 3 31C CA=0 B
BBBBB@0
0 0 0 1 01 CCCCCCA)0
B B@ 1 2 3 31C CA=0 B BB@14 1 14 01 C CCA:
Posons
i=P[la chaîne est éventuellement absorbée enx4jX0=xi]: Évidemment,2= 0et4= 1. Il est aussi clair que1=34 et3=34 auquel nous ajoutons les deux contraintes2= 0et4= 1, nous obtenons0 BBBBBBBB@114
0340 0 0 0
0 14 1340 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 11
CCCCCCCCA0
B B@ 1 2 3 31C CA=0 B
BBBBB@0
0 0 0 0 11 CCCCCCA)0
B B@ 1 2 3 31C CA=0 B BB@34 0 34
11 C CCA: