Suites et séries de fonctions

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche surwww.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement

uniforme)

1) ()fn(x) =nx1+n2x22) ()fn(x) =exånk=0xkk!3) (**)fn(x) =n(1x)nsinpx2

CorrectionH[005726]Exercice 2*** IPourn2N, on posefn(x) =( 1xn nsix2[0;n]

0 six>n.

1. Montrer que la suite (fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionf:x7!ex. 2. A l"aide de la suite (fn)n2N, calculer l"intégrale de GAUSSR+¥

0ex2dx.

CorrectionH[005727]Exercice 3*** I Polynômes de BERNSTEIN. Théorème de WEIERSTRASSSoitfune application continue sur[0;1]à valeurs dansR. Pournentier naturel non nul, on définit len-ème

polynôme de BERNSTEINassocié àfpar B n(f) =ånk=0n k fkn

Xk(1X)nk.

1. (a) Calculer Bn(f)quandfest la fonctionx7!1, quandfest la fonctionx7!x, quandfest la fonction x7!x(x1). (b)

En déduire que

ånk=0n

k (knX)2Xk(1X)nk=nX(1X). 2.

En séparant les entiers ktels quexkn

>aet les entiersktels quexkn

6a(a>0 donné), montrer

que la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément versfsur[0;1]. 3. Montrer le théorème de W EIERSTRASS: soitfune application continue sur[a;b]à valeurs dansR. Montrer quefest limite uniforme sur[a;b]d"une suite de polynômes.

CorrectionH[005728]Exercice 4** ISoit(Pn)n2Nune suite de polynômes convergeant uniformément surRvers une fonctionf. Montrer quefest

un polynôme. CorrectionH[005729]Exercice 5**Soitf(x) =å+¥n=1xnsin(nx)n 1

1.Montrer que fest de classeC1sur]1;1[.

2. Calculer f0(x)et en déduire quef(x) =arctanxsinx1xcosx. CorrectionH[005730]Exercice 6**Soitf(x) =å+¥n=1(1)n1ln(nx). 1. Domaine de définition de f. On étudie ensuitefsur]1;+¥[. 2.

Continuité de fet limites defen 1 et+¥.

3. Montrer que fest de classeC1sur]1;+¥[et dresser son tableau de variation.

CorrectionH[005731]Exercice 7**Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de

fonctions de termes généraux :

1.fn(x) =nx2expn

surR+

2.fn(x) =1n+n3x2surR+

3.fn(x) = (1)nx(1+x2)n.

CorrectionH[005732]Exercice 8** IMontrer que pour tout réela>0,R1

011+xadx=å+¥n=0(1)n1+na.

CorrectionH[005733]Exercice 9**Pourn2N, soitfn(t) = (1)nln

1+t2n(1+t2)

Etudier la con vergencesimple et uniforme de la série de terme général fnpuis la continuité de la somme

f. 2.

Montrer que lim

t!+¥f(t) =ln2p

à l"aide de la formule de STIRLING.

CorrectionH[005734]Exercice 10**Pourn2Nett2R, soitfn(t) =arctan(nt)n 2.

Etude complète def=å+¥n=1fn: domaine de définition, parité, limites, continuité, dérivabilité (vérifier quef

n"est pas dérivable en 0), allure du graphe. CorrectionH[005735]Exercice 11**Pourx>0, on posef(x) =å+¥n=0expn . Trouver un équivalent simple defen 0 à droite.

CorrectionH[005736]Exercice 12***Pourx2]1;1[, on posef(x) =å+¥n=1xn2. Trouver un équivalent simple defen 1.

CorrectionH[005737]2

Correction del"exer cice1 N1.Pour tout entier naturel n,fnest définie surRet impaire.

Convergence simple surR.Soitx2R.

Six=0, pour tout entier natureln,fn(x) =0 et donc limn!+¥fn(x) =0.

Six6=0,fn(x)n!+¥1nx

et de nouveau limn!+¥fn(x) =0.

La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surRvers la fonction nulle.Convergence uniforme surR.On peut noter tout de suite que pour toutn2N,fn1n

=12 et donc kfnk¥>12 . On en déduit quekfnk¥ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.

La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément surRvers la fonction nulle.Si on n"a pas remarqué ce qui précède, on étudie la fonctionfnsurR+(fnétant impaire) dans le but de

déterminer sup x2Rjfn(x)0j.

Soitn2N. La fonctionfnest dérivable surR+et pour tout réel positifx,f0n(x) =n(1+n2x2)x(n2x)(1+n2x)2=

n(1n2x2)(1+n2x)2. Par suite, la fonctionfnest croissante sur0;1n et décroissante sur1n

Puisque la fonctionfnest positive surR+, sup

x2Rjfn(x)0j=fn1n =12 qui ne tend pas vers 0 quandn tend vers l"infini. Convergence uniforme et localement uniforme sur]0;+¥[.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge toujours pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[car pourn>1, sup x2Rjfn(x)0j=12 Soitaun réel strictement positif fixé. Soitn>1a . On a 0<1n Donc sup x2[a;+¥[jfn(x)0j=fn(a)pourn>1a . On en déduit que limn!+¥sup x2[a;+¥[jfn(x)0j=0. Donc la

suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme

[a;+¥[oùa>0 et en particulier converge localement uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[

mais ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[.

2.Convergence simple surR.Soitx2R. On sait queex=limn!+¥ånk=0xkk!et donc la suite(fn)n2N

converge simplement surRvers la fonction constantef:x7!1. Convergence uniforme surRetR+.limx!¥jfn(x)f(x)j= +¥. Par suite, pour tout entier naturel n, la fonctionjfnfjn"est pas bornée surR. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR. lim x!+¥jfn(x)f(x)j=1 et donc sup x2[0;+¥[jfn(x)f(x)j>1. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR+. Convergence localement uniforme surR.Soit[a;b]un segment deR. Pourn2N, posonsgn=fnf. La fonctiongnest dérivable surRet pourx2R g

0n(x) =ex

ånk=0xkk!+ån1k=0xkk!

=exxnn!. Sinest pair, la fonctiongnest décroissante surRet s"annule en 0. Sinest impair, la fonctiongnest croissante surR, décroissante surR+et s"annule en 0.

Dans les deux cas, six2[a;b],jgn(x)j6Maxfjgn(a)j;jgn(b)jgavec égalité effectivement obtenue pour

x=aoux=b. Donc sup

Cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers+¥. On en déduit que la suite de fonctions

(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout segment[a;b]contenu dansRou encore 3

la suite de fonctions(fn)n2Nconverge localement uniformément vers la fonctionf:x7!1 surR.3.Pour xréel etnentier naturel, on posefn(x) =n(1x)nsinp2

Convergence simple.Soitxréel fixé. sinp2

x=0,x22Z. Dans ce cas, limn!+¥fn(x) =0. Six=22Z, la suite(fn(x))n2Nconverge,la suite(n(1x)n)n2Nconverge, j1xj<1,0Dans ce cas, lim n!+¥fn(x) =0.

La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur[0;2][2Z.Convergence uniforme sur[0;2].Soitnun entier naturel non nul fixé.

sup x2[0;2]jfn(x)0j>fn1n =n11n nsinp2n. Cette dernière expression est équivalente à p2een+¥et en particulier ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.

La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].1 2 3 4 5

12345678

y=R x2 x1 lnt

dtLa suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].Correction del"exer cice2 NConvergence simple surR+.Soitxun réel positif fixé. Pourn>x,fn(x) =1xn

net donc f n(x) =n!+¥1xn n=n!+¥expnln1xn =n!+¥exp(x+o(1). Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surR+vers la fonctionf:x7!ex.

Convergence uniforme surR+.Pourxréel positif etnentier naturel non nul, posonsgn(x) =f(x)fn(x) =ex1xn

nsix2[0;n] e xsix>n. Déterminons la borne supérieure de la fonctionjgnjsur[0;+¥[. La fonctiongnest définie et continue surR+. Pourx>n, 01). 4 La fonctiongnest continue sur le segment[0;n]et admet donc sur[0;n]un minimum et un maximum.

La fonctiongna un minimum égal à 0 atteint en 0. En effet, on sait que pour tout réelu,eu>1+u(inégalité

de convexité) et donc pour tout réelxde[0;n],ex=n>1xn >0. Après élévation des deux membres de cette inégalité, par croissance det7!tnsurR+, on obtientex>1xn nou encoregn(x)>0=gn(0).

Pour 0

De plus,g0n(n) =en<0 et puisque la fonctiongnest de classeC1sur[0;n], sa dérivéeg0nest strictement

négative sur un voisinage à gauche den. La fonctiongnest alors strictement décroissante sur ce voisinage et

la fonctiongnadmet nécessairement son maximum surR+en un certain pointxnde]0;n[. En un tel point,

puisque l"intervalle]0;n[est ouvert, on sait que la dérivée de la fonctiongns"annule. L"égalitég0n(xn) =0

fournit1xnn n1=exnet donc g n(xn) =exn1xnn n=11xnn exn=xnexnn En résumé, pour tout réel positifx, 06gn(x)6xnexnn oùxnest un certain réel de]0;n[. Poururéel positif, posonsh(u)=ueu. La fonctionhest dérivable sur=mbr+et pouru>0,h0(u)=(1u)eu. Par suite, la fonctionhadmet un maximum en 1 égal à1e . On a montré que

8x2[0;+¥[,8n2N, 06gn(x)61ne

ou encore8n2N, supfjgn(x)j;x>0g61ne . Ainsi, limn!+¥supfjgn(x)j;x>0g=0 et on a montré que la suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionx7!ex.Existence deI=R+¥

0ex2dx.La fonctionx7!ex2est continue sur[0;+¥[et négligeable devant1x

2en+¥.

Donc la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[. Par suite,Iexiste dansR. On est alors en droit d"espérer queI=limn!+¥R+¥

0fn(x2)dx.

sur[0;+¥[. Pourn2N, posonsIn=R+¥

0fn(x2)dx=Rpn

0 1x2n ndx.

Montrons queIntend versIquandntend vers+¥.

jIInj6Rpn

0jf(x2)fn(x2)jdx+R+¥pn

ex2dx6pn1ne +R+¥pn ex2dx=1e pn +R+¥pn ex2dx.

Puisque la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[, cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers

+¥et donc limn!+¥In=I. Calcul de la limite deIn.Soitn2N. Les changements de variablesx=upnpuisu=cosvfournissent I n=Rpn 0 1x2n ndx=pn R1

0(1u2)ndu=pn

Rp=2

0sin2n+1v dv=pnW

2n+1

oùWnest lan-ème intégrale de WALLIS. On a déjà vu (exercice classique, voir fiches de Maths Sup) que

W nn!+¥pp

2net donc

I nn!+¥pnqp

2(2n+1)n!+¥pp

Finalement,Intend verspp

2 quandntend vers+¥et donc R

0ex2dx=pp

.Vous pouvez voir différents calculs de l"intégrale de GAUSSdans " Grands classiques de concours : intégra-

tion».Correction del"exer cice3 N5

1.(a) Soit n2N.

Si8x2[0;1],f(x) =1,

B n(f) =ånk=0n k X k(1X)nk= (X+(1X))n=1.

Si8x2[0;1],f(x) =x,

B n(f) =nå k=0kn n k X k(1X)nk=nå k=1 n1 k1 X k(1X)nk=Xnå k=1 n1 k1 X k1(1X)(n1)(k1) =Xn1å k=0 n1 k X k(1X)n1k=X:

Si8x2[0;1],f(x) =x(x1), alorsBn(f) =ånk=0n

k kn kn

1Xk(1X)nket doncB1(f) =0.

Pourn>2 etk2[[1;n1]]

kn kn 1n k =1n

2k(nk)n!k!(nk)!=n1n

(n2)!(k1)(nk1)!=n1n n2 k1

Par suite,

B n(f) =n1n n1å k=1 n2 k1 X k(1X)nk=n1n

X(1X)n1å

k=1Xk1(1X)(n2)(k1) =n1n

X(1X)n2å

k=0 n2 k X k(1X)n2k=n1n

X(1X):

ce qui reste vrai pour n = 1. (b)

D"après la question précédente

nå k=0 n k (knX)2Xk(1X)nk=nå k=0 n k k

2Xk(1X)nk2nXnå

k=0 n k kX k(1X)nk+n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk nå k=0 n k k(kn)Xk(1X)nkn(2X1)nå k=0 n k kX k(1X)nk +n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk =n2nå k=0kn kn 1n k X k(1X)nkn2(2X1)nå k=0 n k kn

Xk(1X)nk+n2X2

=n(n1)X(1X)n2(2X1)X+n2X2=nX2+nX=nX(1X): 2.

Soit e>0. Soientnun entier naturel non nul etaun réel strictement positif donné. Soitxun réel de

[0;1]. NotonsA(resp.B) l"ensemble des entiersk2[[0;n]]tels quexkn a). (SiAouB sont vides, les sommes ci-dessous correspondantes sont nulles). jf(x)Bn(f)(x)j= nå k=0 n k f(x)fkn x k(1x)nk 6 k2A n k f(x)fknquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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