EXERCICES de MECANIQUE

Attention, l’alésage représente le diamètre et non le rayon Par conséquent, nous devons chercher le volume d’un cylindre de rayon 39 : 2 , soit 19,5 mm Le volume de ce cylindre est donc : Cyl= π × 19,5 × 19,5× 41,4 ( ou Cyl 28,7 57,8 2 =π× × ) Cyl 49 456,05 ( mm) 3 = Cyl 49, 45605 ( cm) 3 = soit environ 49,5 cm 3

Chapitre 5 : agrandissement, réduction ; sections de solides

On obtient une forme identique aux bases, c'est à dire un disque de même rayon Section par un plan parallèle à l'axe On obtient un rectangle Rappels • Circonférence d'un cercle de rayon r: 2× ×r en cm ou en m • Aire d'un disque de rayon r: ×r2 en cm2 ou en m2 • ≈3,141592653 (la partie décimale est infinie ) A retenir

v 71 Déformations et élasticité - EPFL

Le cylindre de rayon R et longueur h est soumis à un couple de forces, de moment τ = 2RF Il subit une torsion d'angle α: α h-F +F h Chaque couche de rayon r et épaisseur δr se déplace d'une longueur ~αr Il y a donc un cisaillement entre couches: δ c ~ α δr On s'attend à une liaison avec le module de

Chapitre I : Géométrie et trigonométrie

Comment calculer volume du parallélépipède Comment calculer volume du cylindre Comment calculer volume de la sphère Comment calculer surface de la sphère 2 Volumes élémentaires - Le premier volume qui nous int éressera est le parallélépipède rectangle (une boîte à base rectangulaire) Elle est représentée sur le dessin ci-contre

THEME 18 : GEOMETRIE DE L’ESPACE (2) MODELISER UNE SITUATION

Dessiner et calculer l’aire d’une section d’un pavé droit par un plan Calculer les dimensions de la section d’un cylindre par un plan Calculer le volume d’un cône « réduit » Comment calculer le rayon de la section d’une sphère par un plan Représenter la section d’un prisme droit par un plan avec Geogebra

III REFLEXION, REFRACTION - Free

Nous disposons un demi-cylindre de plexiglas face à une source lumineuse émettant un fin pinceau lumineux qui concrétise pour nous un rayon lumineux : Nous observons que le rayon lumineux se divise en deux au niveau de la surface de séparation - appelée « dioptre » - entre l’air et le plexiglas Les indices1

EXERCICES de MECANIQUE - siteofall90

1) Déterminez la matrice centrale d’inertie d’un cylindre de révolution plein et homogène de masse M , de rayon R et de hauteur H Détermination de la base centrale d’inertie : Le repère (G,x,y,z) est bien le repère central d’inertie du cylindre L’axe (G,z) est axe de symétrie donc E=D=0 De même l’axe (G,x)

TD1 unité, mesures, incertitude

Pour mesurer l'épaisseur d'un cylindre creux on mesure les diamètres intérieurs (D ) et extérieur (D ) et on trouve : D1 = 19,5 ± 0,1 mm et D2 = 26,7 ± 0,1 mm Donner le résultat de la mesure et sa précision Exercice I 7 Calculer l'aire d'un cercle dont le rayon vaut R = 5,21 ± 0,01 cm Quelle est la précision du résultat obtenu ?

Chapitre 10 Mesurer le volume des liquides et des solides

où c est la longueur d’un coté Comment calculer le volume V d’un cylindre ? V = π* r2 * h où h est la hauteur r est le rayon Calcule le volume du cylindre utilise pour l’expérience : V = π* r2 * h Ton résultat est-il cohérent avec la mesure expérimentale de son volume ? oui Comment calculer le volume V d’une boule ?

Chap2 : Eléments d"inertie

EXERCICES de MECANIQUE

Professeur

: Franck Besnard

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Exercice 5

: détermination de la matrice centrale d"inertie d"un cylindre (CORRECTION)

De plus, les axes

(G,x)?? et (G,y)?? jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B.

On a donc la matrice suivante :

G R

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

0 0 C

Choix du paramétrage :

Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, q et z avec dV=rdrdqdz

Domaine d"intégration :

r varie de 0 à R, z de -H/2 à H/2 et q de 0 à 2p

Calcul :

H 2 R 42
3 H 0 0

2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4

p = + = r q = r p∫∫∫ ∫ ∫ ∫ avec 2M .R .Hr =p soit

2MRC2=

oxGxz GxyI A (y² z²)dm y²dm z²dm I I B" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

oyGyz GxyI B (x² z²)dm x²dm z²dm I I A" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

ozGyz GxzI C (x² y²)dm x²dm y²dm I I A" B"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le même rôle pour la répartition de la matière. On peut donc

en déduire que A"=B"=C/2 et par conséquent que

GxyC CA I C"2 2= + = +

H 2 R 32
Gxy H 0 0 2 M H R² MH²I C" z²dm z².rdr.d .dz .2 . .R²H 12 2 12 p = = =r q = p =p∫∫∫ ∫ ∫ ∫

D"où :

MR² MH²A4 12= +

1) Déterminez la matrice centrale d"inertie d"un cylindre de

révolution plein et homogène de masse M , de rayon R et de hauteur H.

Détermination de la base centrale d"inertie :

Le repère

(G,x,y,z)?? ?? ? est bien le repère central d"inertie du cylindre. L"axe (G,z)? est axe de symétrie donc E=D=0.

De même l"axe

(G,x)?? est axe de symétrie donc F=E=0.

Chap2 : Eléments d"inertie

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: Franck Besnard

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2 La matrice centrale d"inertie du cylindre s"écrit ainsi : G R

MR² MH²0 04 12

MR² MH²I (S) 0 04 12

MR²0 02

2) Déduisez-en la matrice d"inertie au centre de l"une de ses bases.

On peut appliquer le théorème de Huygens, soit : O G R b² c² ab ac

I I M. ab c² a² bc

ac bc a² b² Avec

HGO a.x b.y c.z .z2= + + = -???? ?? ?? ? ?

On obtient :

O G R x,y,z

R² H²H²0 00 04 34

H² R² H²I I M. 0 0 M. 0 04 4 3

0 0 0

R²0 02( )

3) Cas particulier d"un disque et d"un barreau cylindrique.

Masse M, rayon R et d"épaisseur négligeable devant R :

Le terme

MH²

12 est alors négligeable devant MR²

4 et on obtient alors au centre du disque :

G x,y,z

1 0 0MR²I (disque) . 0 1 040 0 2( )( )

Cas d"une tige cylindrique de masse M dont le rayon est négligeable devant la longueur H.

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Chap2 : Eléments d"inertie

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Exercice 5

De plus, les axes

On a donc la matrice suivante :

A B 0 0

I (S) 0 B A 0

Choix du paramétrage :

Domaine d"intégration :

Calcul :

2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4

2MRC2=

GxyC CA I C"2 2= + = +

D"où :

MR² MH²A4 12= +

1) Déterminez la matrice centrale d"inertie d"un cylindre de

Détermination de la base centrale d"inertie :

Le repère

De même l"axe

Chap2 : Eléments d"inertie

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MR² MH²0 04 12

MR² MH²I (S) 0 04 12

MR²0 02

2) Déduisez-en la matrice d"inertie au centre de l"une de ses bases.

I I M. ab c² a² bc

HGO a.x b.y c.z .z2= + + = -???? ?? ?? ? ?

On obtient :

R² H²H²0 00 04 34

H² R² H²I I M. 0 0 M. 0 04 4 3

R²0 02( )

3) Cas particulier d"un disque et d"un barreau cylindrique.

Le terme

MH²

12 est alors négligeable devant MR²

4 et on obtient alors au centre du disque :

1 0 0MR²I (disque) . 0 1 040 0 2( )( )

C"est alors le terme

MR²

4 qui très petit devant le termeMH²

12. Si G est le centre d"inertie du

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H²0 012

H²I (tige) M. 0 012

R²0 02

H²0 03

H²I (tige) M. 0 03

R²0 02

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Exercice 6 :

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