CORRIGÉ DU MANUEL

y = Cx+Du (2) thatis,asasetofcoupled,ﬁrst-orderdiﬀerentialequations Thesolutionproceedsintwo steps; ﬁrst the state-variable responsex(t) is found by solving the set of ﬁrst-order state equations, Eq (1), and then the state response is substituted into the algebraic output equations,Eq (2)inordertocomputey(t)

The Heat Equation - Michigan State University

Therefore we obtain the equation u t= adiv(Du) = a u; which is called the heat equation when a= 1 If there is a source in , we should obtain the following nonhomogeneous equation u t u= f(x;t) x2; t2(0;1): 4 1 Fundamental solution of heat equation As in Laplace’s equation case, we would like to nd some special solutions to the heat equation

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

du premier degré à une inconnue I Equations Définitions : Une équation du premier degré est une égalité entre deux membres, qui est fausse la plus part du temps et qui n’est vraie qu’en des as exeptionnels : quand la ou les inonnues prennent ertaines valeurs que l’on appelle solution de l’équation

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I Résoudre une

Résoudre une inéquation du second degré : • Exemple : résoudre l'inéquation : 2x 2 +9x −5 ≤0 • Méthode : s'il n'y a pas de racine le trinôme P x ax bx c () = + + 2 est du signe de a

1 The Transport Equation

Characteristic Curve: We start by solving the equation involving the rst and second term, dx 4 = dy 1) dx dy = 4 )C= x+ 4y: General Solution: We now solve the equation involving the second and third term, dy 1 = du u) du dy = u: This is a separable ODE, which has solution logjuj= y+ (C) )u= e (C)e y:

13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A

2 RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II) On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar br c IIc 2 ++=0 140 ∆= − >bac2 L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r b a et r b 1222a = −+ = ∆∆−− La solution générale de (II) est yCeCe CCRSG II rx r x ()=+ ∈12 12

Equations · differentielles· d’ordre 2

Toute equation´ differentielle´ lineaire´ du second ordre (E) admet une solution, et cette solution est unique si on lui impose en plus de v´eriﬁer deux conditions initiales donn´ees Ensuite le theor´ eme` qui permet de proceder´ de fac¸on analogue au premier ordre en decomposant´ la recherche des

The Theis Solution - Michigan State University

Theis (1935) presented an exact analytical solution for the transient drawdown in an infinite uniform confined aquifer (See Fig 1) Fig 1 Radial flow to a well in a horizontal confined aquifer (Freeze and Cherry, 1979) Analytical Solution The analytical solution of the drawdown as a function of time and distance is expressed by equation (1): ( ) 4