Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel

Calculer S 2 Soit G le centre de gravité de la plaque On admettra que les coordonnées (X ; Y) de G sont données par les formules suivantes : ( ) 2 0 1 X xf x dx S = ∫ et ( ) 2 2 0 1 2 Y f x dx S = ∫ a Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approchée arrondie au centième

Cours de trigonométrie (troisième) - Automaths

Dans l’énoncé, on ne demande pas de valeur approchée, il faut donc donner la valeur exacte N’oubliez pas de rappeler la règle On peut arrêter ici si on veut Enoncé 2 : détermination d’un angle ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7 Déterminez la mesure de l’angle ABC à 0,01 près

I - Périmètre et aire dune figure

valeur exacte puis une valeur approchée au centième près ) 4 Calcule une valeur approchée de l'aire de la surface rose au dixième de m2 AIRES ET PÉRIMÈTRES - CHAPITRE M2 4, 2 m 7,9 m 3, 6 c m A 4,8 cm B 5 cm C E D 236

6 À l’aide de la calcula- Intégration Exercices

Calculer la valeur exacte de , puis donner une valeur arrondie à l’unité c En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l’on peut espérer découvrir par an entre les années et Sujets de baccalauréat 36 (2014, Centres étrangers) Partie A – Étude d’une fonction

TP1 : Premiers pas en Maple - French National Centre for

fraction de deux nombres entiers) : d’ailleurs, il nous a proposé spontanément une simplification Pour lui faire comprendre qu’on souhaite une valeur approchée de ce nombre réel : > evalf(300/45); 6 666666667 Attention, manipuler un nombre de façon exacte ou par valeur approchée, ce n’est pas du tout la meme chose

Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel

Cosinus et sinus d’un nombre réel I) Définition Soit un nombre réel On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I On munit (d) d’un repère (I ; & )

CERCLE ET DISQUE

1) Calculer la circonférence d’un cercle de rayon 4 cm 2) Calculer la longueur d’un demi-cercle de diamètre 3 cm Donner dans chaque cas la valeur exacte et une valeur arrondie au centième de cm près 1) L 1 = 2 π r = 2 π x 4 = 8π cm (valeur exacte) ≈ 25,13 cm (valeur arrondie au centième de cm près) 2) L 2 = 2 π r : 2

Solution de Exercices de La conductance et la conductivité

2) Calculer la concentration molaire du soluté dissoute : C 3) Sachant que l’éthanoate de sodium se dissout entièrement, donner les concentrations des ions en solution en mo /mℓ 3 4) Donner l’expression de la conductivité de la solution, calculer sa valeur 5) On ajoute une quantité d »eau à la solution précédente, on mesure la

EXERCICES :MODULATION-DEMODULATION Abdelhak Abouimad

Pour chacune des trois questions suivantes, indiquer sans justification la proposition exacte 1 Une telle onde modulée est caractérisée, au cours du temps, par : a) Une amplitude constante et une fréquence constante b) Une amplitude variable, dont les variations dépendent du signal à transmettre, et une fréquence constante

Cosinus et sinus d'un nombre réel

I) Définition

Soit ݔun nombre réel. On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I. On

munit (d) d'un repère (I ;ଔԦ ). (voir figure ci-dessous) Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C), M'(1 ; ݔ) a pour image M.

Définition :

Les coordonnées du point M sont : (cos࢞ ; sin࢞ ) Les cosinus de ࢞ noté cos ࢞ est l'abscisse du point M. Le sinus de ࢞noté sin࢞ est l'ordonnée du point M.

Exemples :

Le nombre గ

a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos = 1 et sin గ

Le nombre ߨ

donc cosߨ = -1 et sin ߨ

II) Propriétés :

Pour tout nombre réel ࢞ et tout nombre entier relatif ࢑ : • -1 ൑ cos ࢞ ൑ 1 -1 ൑ sin ࢞ ൑ 1

• cos (࢞൅૛࢑࣊) = cos࢞ sin (࢞൅૛࢑࣊) = sin࢞

• cos²࢞ + sin²࢞ = 1

Démonstration:

• Le périmètre du cercle étant 2ߨ ,݇ tours du cercle correspondent 2݇ߨ

ݔ' =ݔ + 2݇ߨ ( ݇߳Ժ ). D'où cos (ݔ൅ʹ݇ߨ ) = cos ݔ et sin (ݔ൅ʹ݇ߨ

• Comme cos² ݔ + sin² ݔ = 1 alors -1 ൑ cos ݔ ൑ 1 et -1 ൑ sin ݔ ൑ 1

Autre explication : comme cos ݔ et sin ݔ sont les abscisses et les ordonnées

de tout point du cercle trigonométrique alors -1 ൑ cos ݔ ൑ 1 et -1 ൑ sin ݔ ൑ 1

Soit M (ݔ ; ݕ) . Dans le triangle OMA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :

OM² = OA² + AM²

AM = OE = sin ݔ

OA = cos ݔ

OM = 1 car sa mesure est le rayon du cercle

1 = cos² ݔ + sin² ݔ

III) Tableau des valeurs à connaitre

ݔ (radians) 0 ߨ

cosݔ 1 t t 0 -1 sin 0 ͳ t t 1 0 Valeurs usuelles sur le cercle trigonométrique :

IV) Cosinus et sinus d'angles orientés

1) Définition :

Soit ࢛,,& et ࢜,,& deux vecteurs. Il existe un réel ࢞ tel que (࢛,,& ; ࢜,,& ) = ࢞.

cos (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = cos࢞ sin (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = sin࢞

Exemples

Exemple 1 :

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct (O ; ଓԦ ;ଔ ,,&) . Déterminer :

Solutions:

Exemple 2 : ABC est un triangle équilatéral.

Solution :

ସ (2ߨ 6 sin (െଓ 6

ABC est un triangle équilatéral donc :

ଷ (2ߨ ) = cos (- గ ) = sin (- గ 6

2) Formules trigonométriques

Propriété 1 :

• cos ( -࢞ ) = cos ࢞ • cos (࣊െ࢞) = െ cos࢞ • cos (࣊൅࢞) = െ cos࢞

sin ( -࢞) = -sin ࢞ sin (࣊െ࢞) = sin࢞ sin (࣊൅࢞) = െsin࢞

M et N ont la même M et N ont la même M et N ont les abscisse et les ordonnée et les abscisses abscisses et les ordonnées opposées. opposées. ordonnées opposées.

Démonstration :

• Les angles de mesures ݔ et -ݔ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Par symétrie

on en déduit que : cos (-ݔ) = cos ݔ et sin (-ݔ) = -sin ݔ

Les angles de mesures ݔ et ߨ

symétrie on en déduit que : cos (ߨെݔ) = െ cosݔ et sin (ߨ

Les angles de mesures ݔ et ݔ൅ߨ

déduit que : cos (ߨ൅ݔ) = െ cosݔ et sin (ߨ

Propriété 2 :

• cos െ࢞) = sin ࢞ • cos ( ൅࢞) = െsin ࢞ sin െ࢞) = cos ࢞ sin (࣊ ૛ ൅࢞) = cos ࢞

M et N sont symétriques par rapport N

1 est le symétrique de N (de la figure à la droite (ȟ) d'équation ݕൌݔ ci-contre) par rapport à l'axe des Leurs coordonnées sont permutées : ordonnées.

L'abscisse de l'un et l'ordonnée de l'autre

et vice-versa.

Donc :

cos ( sin Un démonstration plus rigoureuse de ces formules se font à partir des formules d'addition du cosinus et sinus ( voir la fiche de cours : Application du produit scalaire :

Trigonométrie )

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