La Proportionnalité
situations de proportionnalité les plus simples (cf évaluation nationale) Les élèves qui parviennent à résoudre ces problèmes utilisent en grande majorité les propriétés de linéarité * L'utilisation du coefficient de proportionnalité est très efficace dans la vie courante et dans le monde professionnel
CONTINUITE ÉCOLE - COLLÈGE Septembre La proportionnalité
-Propriété de linéarité -Tableau de proportionnalité : compléter, reconnaître ou écarter -Règle de trois c'est-à-dire passage par l’image de l’unité -Rapport de linéarité ou coefficient de proportionnalité sous forme de quotient -Utiliser les expressions « en fonction de », « est fonction de »
MATHÉMATIQUES
cédure utilisant la propriété de linéarité pour l’addition, procédure utilisant la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre) Ensuite, les élèves rencontrent progressive-ment des situations qui nécessitent de combiner des procédures utilisant les propriétés de la linéarité (procédure mixte utilisant les
rogramme classe de cinquième
a de la notion de quotient La propriété additive de la linéarité est également utilisée - Le passage à l’unité (et donc la règle de trois) devient en classe de cinquième un exigible du socle - De même pour l’utilisation d’un rapport de linéarité ou d’un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de quotient
MATHS – CINQUIEME – CYCLE CENTRAL (progression BO Août 2 008)
représentation de données, fréquences) utiles dans d’autres disciplines et dans la vie de citoyen, de se familiariser avec des écritures littérales Proportionnalité Propriété de linéarité, Tableau de proportionnalité, Passage à l’unité ou « règle de trois » Pourcentages Échelle [TdC]
Proportionnalité (didactique)
toire de procédures, s’appuyant toujours sur le sens, parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeu dans le problème à résoudre Chaque méthode devra être réinvestie dans les trois registres numérique - gran-deurs - géométrique Procédure utilisant la propriété de linéarité additive
Formation cycle 3 : proportionnalité - Académie de Grenoble
de « a » stylos + le prix de « b » stylos Propriété de linéarité pour la multiplication: f(2a ) = 2f(a) : le prix de 2 fois « a » stylos est égal à 2 fois le prix de « a » stylos Propriété mixte alliant les 2 précédentes Champ notionnel
Les problèmes de proportionnalité 200 problèmes corrigés
multiplicatif celui qui permet d’utiliser la propriété de linéarité La notation « m 3 » peut alors rem - placer « × 3 » dans le tableau 2e procédure numérique Utilisation de la propriété additive (et multiplica - tive ou divisive) Énoncé du problème référent : « 12 stylos à encre coûtent 30 € Quel est le prix de 18
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
La résolution des problèmes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Les problèmes quaternaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Les langages pour exprimer la proportionnalité
. . . . . . . . . . . . . . . . .8 Résolution d"un problème de proportionnalité p ar différentes procédures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Les problèmes particuliers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Les énoncés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27Les facteurs de difficultés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29La mise en oeuvre dans les classes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Les procédures dans les ma
nuels scolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Comment utiliser les problèmes présentés dans cet ouvrage ? . . .35 Complémentarité entre l"ouvrage et les carnets "élèves» . . . . . . . .36Un exemple de séquence d"enseignement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Un exemple de progression en cycle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Synthèse des procédures
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Tableau récapitulatif des procédures et problèmes associés . . . . . .54Les problèmes et leurs corrigés
Les problèmes usuels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Thème 1.Problèmes de recherche de la quatrième proportionnelle . .59 Thème 2.Problèmes de division (partition et quotition) . . . . . . . . . .73Proportionnalité ou pas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Thème 3.Tableaux
et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Thème 4.Compréhension du monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 Thème 5.Problèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Les problèmes complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Thème 6.Problèmes de partages proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . .97Thème
7.Problèmes de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
Thème 8.Problèmes d"échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Thème 9.Problèmes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 Thème 10.Problèmes de proportionnalité simple composée . . . . .115Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117Annexes
Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Résumé des procédures accessibles à un élève . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
3Les problèmes de proportionnalité
200 problèmes corrigés
Sommaire
De manière très succincte, les programmes 2008 indiquent qu"au cycle 3, il s"agit de "Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcen- tages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d"unité, en utilisant des procé- dures variées (dont la " règle de trois)». Ainsi la " règle de trois » réapparaît après une longue absence à l"école primaire. Les ensei- gnants doivent donc se réapproprier cette procédure dont les fondements et les acceptions ont largement varié au cours du temps. Plus généralement, ce retour invite à une réflexion sur l"enseignement de la proportionnalité dont les éléments constitutifs ont évolué. Malgré la réap- parition des problèmes dits " de la vie courante » dans les programmes, les types et formes d"énoncés se sont adaptés aux besoins des futurs citoyens. Exit les problèmes de robinets qui fuient, ils laissent la place à des énoncés séman- tiquement plus riches, à la lecture de tableaux, à la création et compréhension de graphiques... Le niveau d"exigence a également changé. La tâche des enseignants s"est complexifiée : il ne suffit plus d"apprendre aux élèves à résoudre une seule catégorie de problèmes de proportionnalité avec une méthode standard telle que la règle de trois. À la fin de la scolarité obligatoire, les élèves doivent pouvoir résoudre des problèmes variés, de manière plus pertinente, plus rapide, plus efficace. Ils doivent approcher le paradigme de la proportionnalité. Comment atteindre ces objec- tifs?L"ambition de cet ouvrage est de permettre au
lecteur d"appréhender la modélisation implicite-ment contenue dans l"énoncé du problème, de
clarifier les procédures de résolution et de s"ap- proprier la puissance du concept. Des propositions de mise en oeuvre sont aussi apparues comme essentielles.Cet ouvrage propose d"abord une mise au point
théorique et didactique puis il présente 200 pro- blèmes corrigés relevant ou non de la proportionnalité et conçus à partir des assertions suivantes. La première idée est qu"un tel concept ne peut se concevoir sans être mis en relation avec les concepts de grandeurs et mesures, de structure multiplicative, de nombres, de fonction linéaire. La seconde idée est qu"un tel concept se rencon- tre dans au moins trois registres différents : numérique, graphique, géométrique. C"est l"inter- action entre ces différents registres qui permet aux connaissances de se construire. La troisième idée est que l"obstacle le plus coriace se situe entre la reconnaissance du modèle mathéma- tique et son traitement. Après lecture des énoncés, examen des données numériques et identification d"une situation liée à la proportion- nalité, deux étapes sont privilégiées dans l"ouvrage : la mise en tableaux et l"appui sur un choix raisonné de procédures. Enfin, même si à l"école élémentaire la proportionnalité n"en est qu"à ses prémices, il ne s"agit pas d"éliminer les difficultés, mais de les graduer et de se situer dans un niveau de complexité à la portée cogni- tive des élèves. Afin de ne plus laisser les élèves démunis face à ces problèmes réputés ardus, la diversité des énoncés et des procédures proposées leur per- 5Les problèmes de proportionnalité
200 problèmes corrigés
Introduction
sans problèmeLa proportionnalité
6200problèmescorrigés
mettra d"accéder au sens de la proportionnalité e t de faire des liens avec les problèmes référents proposés dans le résumé. Les problèmes de l"ouvrage sont majoritairement quaternaires : les énoncés mettent en jeu trois nombres et il faut en chercher un quatrième. Ils relèvent de situations de division, de proportion- nalité simple (ou de non proportionnalité), de conversions, de comparaisons, d"échelles, de pourcentages et de mesures quotients (vitesse moyenne). La notion d"agrandissement au sens géométrique a volontairement été évacuée ainsi que la propor- tionnalité multiple.L es problèmes sont gradués selon quatre niveaux d e différenciation figurés par un système d"étoiles. Ils concernent des élèves de CM1/ CM2, mais également de début de collège. Ils sont d"abord classés par grandes catégories, puis par procédures de résolution. Les enseignants pourront suivre cette organisation s"ils souhaitent privilégier une approche " automatisée ». Mais, pour éviter que les élèves, alertés par le titre, ne résolvent les problèmes de façon trop mécanique, il convient de mélanger les divers énoncés. Pour cela, ils pourront utiliser avec profit les carnets "élèves ». sans problèmeLa proportionnalité
48200problèmescorrigés
Un exemple de progression en cycle 3
Période 1Période 2Période 3Période 4Période 5 Calcul mémorisé : révision des tables : a x b = ? ; a x ? = c ; ? x b = c . Relation (s) entre les nombres inscrits dans un tableau.Calcul réfléchi (aspect additif).
Utilisation de calculatrices afin de déterminer les relations " simples » entre les nombres d"un tableau.