6 Fonctions exponentielles

Terminale ES - Fonction exponentielle Author: Clara Parfenoff - Alain Solean Subject: Terminale ES - Fonction exponentielle Created Date: 7/26/2015 7:08:58 PM

Chapitre 9 La fonction exponentielle

I Déﬁnition de la fonction exponentielle Plus loin, la fonction exponentielle sera déﬁnie comme l’unique fonction f dérivable sur Rtelle que f′ = f et f(0) = 1 (∗) Nous n’avons pas les moyens en terminale de démontrer l’existence d’une telle fonction et nous l’admettrons

6 Fonctions exponentielles

Terminale ES – Fonctions exponentielles – QCM – Corrigé

Terminale ES – Fonctions exponentielles – QCM – Corrigé 1) On sait que les fonctions exponentielles de bases q, q>0, sont définies sur En particulier, la fonction exponentielle de base 0,95, x 0,95 x, est définie sur Cela signifie que 0,95 x existe pour tout x ∈ Et si 0,95 x existe pour tout x ∈ , 27 ×0,95 aussi

Terminale S - Exponentielles - ChingAtome

hauteur (en metr es) 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 On décide de modéliser cette croissante par une fonction lo-gistique du type: h(t) = a 1+b e 0,04 t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres On sait qu’initialement, pour t

Cours Terminale Math Matiques Fonction Exponentielle Ts

Mathématiques, Cours de Mathématiques, Terminale ES, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017 SOMMAIRE TERMINALE L-ES Fonction exponentielle en Terminale S

Fiche d’exercices 3 : Fonctions exponentielles

Fiche d’exercices 3 : Fonctions exponentielles Mathématiques terminale ES obligatoire - Année scolaire 2018/2019 PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et Cours

La fonction exponentielle

exponentielle à partir de sa déﬁnition sur l’intervalle [−A; A] On fera une approche de la fonction exponentielle à l’aide d’une approximation afﬁne : f(a +h)≈ f(a)+hf′(a) L’approximation sera d’autant meilleure que h sera petit Comme la fonction exponentielle vériﬁe f′ = f, cette approximation afﬁne de-vient alors :

CH03F01 : Fonctions exponentielles de base q>0

fonction exponentielle de base q passe par les points (0;1) et (1;q) La fonction exponentielle de base q est croissante si q>1 et décroissante si 0

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6.1. Les fonctions exponentielles x→qn avec q>0

1. Définition :

La fonction

xqxa est une fonction définie sur ?. Sa courbe représentative est obtenue en

reliant par une ligne continue et régulière les points de coordonnées ()nqn, pour În?. Cette

fonction est appelée fonction exponentielle de base q.

Cas q>1 Cas q < 1

Points

: représentation graphique de la suite ()nq

Courbe

: représentation graphique de la fonction xqxa

2. Dérivabilité

Proposition 1 :

On admet que les fonction xqxa sont dérivables sur ?.

Conséquences

: ces fonctions sont donc continues sur ? et admettent une tangente en chaque point.

3. Relation fonctionnelle

Remarque : on sait déjà que si a et b sont des entiers et q>0, babaqqq´=+. On élargit cette relation pour les réels.

Propriété 1 :

(admise) Pour tout nombre réel x et y, la fonction exponentielle de base q (q>0) vérifie la relation fonctionnelle ()()()yfxfyxf´=+ c"est-à-dire yxyxqqq´=+ On dit que les fonctions exponentielles transforment une somme en un produit.

66.. FFoonnccttiioonnss eexxppoonneennttiieelllleess

xqy= xqy=

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Propriété 2 : conséquences

q désigne un nombre réel strictement positif. Pour tout réels x et y, on a xxqq1= yx yxqqq= 0>xq xxqq=2 et en particulier qq=5,0

· Pour tout entier relatif n, ()()

xnnxnxqqq== (propriété admise)

Preuves :

· xxqq

1=- car xxxxqqq--´= soit xxqq-´=1 . Donc 0¹xq et xxqq

1=- yx y xyxyxyxqq qqqqqq=´=´== --+-1

· 0>xq car xxxqqq=´22 donc

2 2 x x qq et un carré est toujours positif. On sait enfin que 0

¹xq.

· xxqq=2 car comme

2 2 x x qq et 0>xq, on a 2 2 x x qq.

4. Sens de variation de la fonction exponentielle

Théorème :

On admet que le sens de variation de la fonction xqxa, définie sur ?, est le même que celui de la suite géométrique associée. · Si 10<q, la fonction xqxa est strictement décroissante sur ?.

0 < q < 1 q >1

Exemples :

· La fonction xx9,0a est strictement décroissante sur ?, car 0<0,9<1 · La fonction xx9,2a est strictement croissante sur ?, car 2,9>1. ri rj O ri rj O y=qx y=qx

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6.2. La fonction exponentielle

1. Propriété - définition

Il existe une unique fonction xqxa qui admet pour nombre dérivé 1 en 0. On note e la base de cette fonction exponentielle et 718,2 »e

On dit que la fonction exponentielle de base e est la fonction exponentielle. Elle se note :

xexa:exp

Conséquences

· La fonction exponentielle est dérivable sur ? et son nombre dérivé en 0 est 1 : ()10pex=¢

· ()10exp0==e ()ee==11exp ( )ee11exp1==-- ()ee==5,05,0exp

Pour tout nombre réel x, 0>xe

La fonction exponentielle est strictement croissant car 0>e

Propriétés algébriques :

Elles se déduisent immédiatement des propriétés des fonctions xqxa yxyxeee´=+ yx yxe ee=- xxee1=- xxee=2 ()nxnxee=

2. Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété :

La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Ainsi pour tout nombre réel x,

()xex=¢pex

Démonstration :

a désigne un nombre réel. Le nombre dérivé en a de la fonction exponentielle est la limite quand

h tend vers 0 de heeheee hee hahaht h aahaaha1expexp.

On sait que

()10pex=¢, c"est-à-dire que la limite quand h tend vers 0 du quotient h eh1- est égale à 1. On en déduit que la limite quand h tend vers 0 de ()ht est ae.

3. Courbe représentative

· Tableau de variation de la fonction exponentielle x -¥ 0 1 +¥ ( )e ex x¢= + ex e 1 0

· Equation de la tangente T0 à C au point A(0 ;1) ()10pex=¢ donc T0 : ()101+-=xy soit 1+=xy

· Equation de la tangente T1 à C au point B(1 ;e) ()e=¢1pex donc T1 : ()exey+-=1 soit exy= A B e Cexp

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Propriété :

· Pour tout réel a et b, baeeba<Û<

· Pour tout réel a et b, baeeba=Û=

Applications

: Résoudre dans ? les équations et inéquations suivantes : 0 =xe eex=-51 1

21,0=xe 124-=+xe

6.1. La fonction x→eu(x)

Notation : u désigne une fonction définie sur un intervalle I.

La fonction

()()xuxexpa définie sur I est notée ue.

1. Fonction dérivée

Propriété (admise) : SI la fonction u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction ()xuexa

est dérivable sur I et pour tout nombre réel x de I : ()( ) ( )( )xuuexuxe´¢=¢

Conséquence :

Les fonctions u et ue ont le même sens de variation sur l"intervalle I. Exemple : Déterminer la dérivée de f(x) = e4x-2. En déduire les variations de f

2. Primitives

On a vu au paragraphe précédent que

()xex=¢pex . Par conséquent, les primitive de xexa sont les fonctions de la forme Cexx+a (C étant une constante réelle quelconque)

Propriété (admise) :

Si sur un intervalle une fonction f est telle que ()()()f x u x eu x=¢, alors les primitives F de f sur I

sont définies par ()()F x e Cu x= + (C étant une constante réelle quelconque) Exemple : Déterminer la primitive de f(x)=e3x+ 2.

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3. Exemples types

· Les fonctions : kx

kexf-a: avec k un nombre réel strictement positif.

Ces fonctions sont de la forme

ue avec kxu-=.

Elles sont donc dérivables sur

? et pour tout nombre réel x : ()kx kkexf--=¢ d"où ()0<¢xfk

Les fonctions

kf avec k>0 sont donc strictement décroissantes sur x -¥ 0 +¥ kf - kf 1 0

Pour tout

k>0, les courbes représentatives des fonctions kf passent par 1.

· Les fonctions :

2:kx kexg-a avec k un nombre réel strictement positif.

Ces fonctions sont de la forme

ue avec 2kxu-=.

Elles sont donc dérivables sur

? et pour tout nombre réel x : 22kx
kkxexg--=¢. Or 02

2>-kxkxe d"où ()xgk¢ est du signe de -x.

Les fonctions

kg avec k>0 sont croissante sur ]]0;¥- et décroissantes sur [[+¥;0. x -¥ 0 +¥ kg + 0 - kg 1

0 0

Pour tout k>0, les courbes représentatives des fonctions kg admettent l"axe des ordonnées pour axe de symétrie. En effet, deux nombres réels opposés ont la même image par ces fonctions. xex2,0-a ____ xex9,0-a ____ xex3,1-a ____ xex2-a ____

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6.1. Les fonctions exponentielles x→qn avec q>0

1. Définition :

La fonction

Cas q>1 Cas q < 1

Points

Courbe

2. Dérivabilité

Proposition 1 :

Conséquences

3. Relation fonctionnelle

Propriété 1 :

66.. FFoonnccttiioonnss eexxppoonneennttiieelllleess

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Propriété 2 : conséquences

· Pour tout entier relatif n, ()()

Preuves :

· xxqq

1=- car xxxxqqq--´= soit xxqq-´=1 . Donc 0¹xq et xxqq

· 0>xq car xxxqqq=´22 donc

¹xq.

· xxqq=2 car comme

4. Sens de variation de la fonction exponentielle

Théorème :

0 < q < 1 q >1

Exemples :

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6.2. La fonction exponentielle

1. Propriété - définition

Conséquences

Pour tout nombre réel x, 0>xe

Propriétés algébriques :

2. Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété :

Démonstration :

On sait que

3. Courbe représentative

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Propriété :

· Pour tout réel a et b, baeeba<Û<

· Pour tout réel a et b, baeeba=Û=

Applications

21,0=xe 124-=+xe

6.1. La fonction x→eu(x)

La fonction

1. Fonction dérivée

Conséquence :

2. Primitives

On a vu au paragraphe précédent que

Propriété (admise) :

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3. Exemples types

· Les fonctions : kx

Ces fonctions sont de la forme

Elles sont donc dérivables sur

Les fonctions

Pour tout

· Les fonctions :

Ces fonctions sont de la forme

Elles sont donc dérivables sur

2>-kxkxe d"où ()xgk¢ est du signe de -x.

Les fonctions

0 0

22,0xex-a ____

29,0xex-a ____

23,1xex-a ____

22xex-a ____