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Transformations de Fourier –Produit de Convolution

Transformations de Fourier –Produit de Convolution –Applications PHR 101 1 C Z errouki Conservatoire National des Arts et Métiers Ser vice de Physiqu e da ns ses rappor ts avec l'in du str ie PHR 101 "Principes et outils pour l'analyse et la mesure" Leçon n° 10 Tr ansf orm ations de F ourier

Convolution, transformée de Fourier

Convolution, transformée de Fourier 1 Produit de convolution 2 Propriétés de la convolution 3 Transformation de Fourier 4 Transformation de Fourier inverse 5 Exercices corrigés 6 Avec Maple Pierre-Jean Hormière _____ 1 Produit de convolution Soient f et g deux fonctions définies sur R, à valeurs réelles ou complexes On nomme

TD5 : Produit de convolution et transformée de Fourier

UniversitédeBourgogne–Licence3–2019-2020 AnalyseFonctionnelle TD5 : Produit de convolution et transformée de Fourier Exercice 1 Soient f2L1(R; ) et g2Lp(R; ) avec 1 p +1et lamesuredeLebesgue

TransforméedeFourierdesFonctions etProduitdeConvolution

La transformée de Fourier de n’importe quelle fonction intégrable a des propriétés caractéristiques que nous énonçons dans la proposition suivante Proposition1 Pour toute fonction f∈L1(R)sa transformée de Fourier vérifie i) f(λ)est une fonction continuesur R ii) limλ→±∞f(λ)=0i e f tend vers 0à l’infini iii) si on pose f

UE : Math 4 Fiche 3 2007-08 Produit de convolution et

7 Rappeler quelle est la transformée de Fourier de la fonction porte P 2a Décrire la fonction f(t) = P 2a(t)P 2b(t) Utiliser la transformée de Fourier pour calculer le produit de convolution sinπat πt ∗ sinπbt πt 8 1 Montrer que si f est une fonction continue, C1 par morceaux, telle que f et f0 sont som-mables, alors F(f0)(ν

CONVOLUTION ET CORRELATION

La transformée de Fourier d un produit de deux signaux est égale au produit de convolution des transformées de Fourier de ces deux signaux 5 1 6 Utilité de la convolution Nous avons vu que le produit de convolution de deux signaux est également un signal Bien évidemment le signal résultant est intimement fonction des deux signaux

Transformation de Fourier - PSL

Alors la transformée de Fourier de f est m fois dérivable sur IR et on a: F [xmf(x)](k)=im dm dkm F[f](k) 3 2 3 Produit de convolution Définition du produit de convolution Soient f et g deux fonctions sommables sur IR L’intégrale f(x− x )g(x )dµ(x ) existe pour presque tout x, et définit une fonction ∈L1(IR ) appelée produit

Transformation de Fourier - u-bordeauxfr

La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et, quels que soient f , g , fonctions de L1(R) et ¸ et ¹ complexes: F(¸f +¹g) = ¸F(f)+¹F(g) 2

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Chapitre 3

Transformée de Fourier des Fonctions

et Produit de Convolution

Dans ce chapitre, on généralise l"idée de décomposition en Séries de Fourier au cas où la fonction

(le signal) n"est pas périodique. Lors de la première semaine, nous avons vu que pour un signalfqui

esta-périodique, les fréquences contenues dans le signal sont les multiples de 1 asoient les fréquences n apourn?Z.On cherche alors le poids de chacune de ces fréquences de basedans le signal d"origine, en calculant les coefficients de Fourier c n(f) =1a? a 0 f(t)e-2iπnt adt?n?Z

Puis, on essaye d"écrire (conditions de Dirichlet) le signalf(t)à partir de cesharmoniquesde base

f(t) = n=-∞ cn(f)e2iπnt a

Pour un signal qui n"est pas périodique, il n"y a plus de fréquences privilégiées, et on doit chercher la

répartition detoutes les fréquences possiblessurR.On dit aussi que l"on passe du domainetemporel

f(t)au domainefréquentiel?f(λ).La famille dénombrable de coefficientsc n(f)avecndansZest alors remplacée par la fonction deλ f(λ) =?

Rf(t)e-2iπλtdt?λ?R

(remarquer l"analogie des formules!) appeléeTransformée de Fourier def.De la même façon que l"on

essayait de décomposer le signal périodique à partir de ses harmoniques de base, on essaiera ici de

reconstruire le signalfà partir de sarépartition des fréquences- encore appeléespectre des fréquences

- par une formule de Transformée de Fourier inverse f(t) =? R ?f(λ)e+2iπλtdλ 37

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution38

3.1 Définition et terminologie

Définition 1Soitfune fonction deL1(R), on définit latransformée de Fourierdefcomme étant la fonction définie surRà valeurs dansC f(λ) =?

Rf(t)e-2iπλtdt?λ?R

L"égalité

?f(t)e -2iπλt? ?=|f(t)|montre que la fonctiont→f(t)e-2iπλtest intégrable pour tout

λ?Ret donc?f(λ)est bien définie pour toutλ?R. Voici un exemple élémentaire de calcul de

transformée de Fourier (ce résultat est à connaître car il est fondamental en traitement du signal).

Considérons lafonction porteΠ

a(t) =I[-a 2,a

2](t)aveca >0.On a

a(λ) =?

RΠa(t)e-2iπλtdt=?

a 2 -a 2 e-2iπλtdt

Pourλ?= 0

a(λ) =? -12iπλe -2iπλt?a 2 -a 2 =1πλe iπλa-e-iπλa

2i=sinπaλπλ

Pourλ= 0

a(0) =? a 2 -a 2 dt=a Définition 2Si l"on écrit?f(λ)sous la forme polaire?f(λ) =A(λ)e modulo 2π)on utilise la terminologie suivante ?A(λ)est appelé lespectredef A

2(λ)est appelée l"énergie spectraledef

φ(λ)est appelée laphase spectraledef

3.2 Propriétés communes à toute transformée de Fourier

La transformée de Fourier de n"importe quelle fonction intégrable a des propriétés caractéristiques

que nous énonçons dans la proposition suivante.

Proposition 1Pour toute fonctionf? L

1(R)sa transformée de Fourier vérifie

i) ?f(λ)est une fonctioncontinuesurR ii)lim λ→±∞?f(λ) = 0i.e.?ftend vers0à l"infini iii) si on pose? ??f? ?∞= supλ?R ??f(λ)? ?on a ??f?

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution39

Par exemple,

a(λ)est bien continue surR:le seul problème de continuité pourrait apparaître en 0 maissinπaλ≂πaλau voisinage de0et donc lim

λ→0?Πa(λ) =a=?Πa(0)

D"autre part, on a bien

lim

λ→±∞?Πa(λ) = 0

Preuve.i) La continuité de?f(λ)a été vue comme application du théorème de continuité d"une

intégrale dépendant d"un paramètre (cf. Cours Semaine 2). ii) Nous admettrons le comportement à l"infini de ?f(λ) iii) On majore ??f(λ)? R ?f(t)e-2iπλt? ?dt=?

R|f(t)|dt=?f?1

Cette majoration étant vraie quelque soitλ?Ron en déduit bien que sup

λ?R

??f(λ)? 1

3.3 Propriétés algébriques de la transformée de Fourier

On résume dans ce qui suit des propriétés simples et faciles àdémontrer. (Faire ces petits calculs

à titre d"exercices).

Proposition 2Propriétés algébriques de la transformée de Fourier.

Soitf? L

1(R)et?f(λ) =A(λ)eiφ(λ)sa transformée de Fourier.

i)Conjugaison f)(λ) = ??f? (-λ)?λ?R ou plus rapidement f(x)F→?f(-λ)

On en déduit que sifest à valeursréelles

f(-λ) = (?f) (λ)?λ?R et donc A(-λ) =A(λ)etφ(-λ) =-φ(λ) (mod 2π)?λ?R ii)SymétriséeSi l"on notef σlasymétriséedefi.e.fσ(x) =f(-x), alors (f

σ)(λ) =??f?σ(λ)?λ?R

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution40

soit f(-t)

F→?f(-λ)

iii)TranslationSi l"on noteτ a(f)(x) =f(x-a) (a?R)la translatée def, on a a(f))(λ) =e-2iπλa?f(λ)?λ?R soit f(t-a)

F→e-2iπλa?f(λ)

i.e. la translation transforme la phaseφ(λ)→φ(λ)-2πλa(mod 2π)et ne modifie pas le

spectre iv)Propriété inverse e

2iπxaf(t)F→?f(λ-a)

v)Parité? ?f paire

F→?f paire

f impaire

F→?f impaire

f r´eelle paire

F→?f r´eelle(paire)

f r´eelleimpaire

F→?f imaginaire pure(impaire)

A titre d"exemple, démontrons la formule

(f

σ)(λ) =??f?σ(λ)?λ?R

On a ?(f fσ(t)e-2iπλtdt=? f(-t)e-2iπλtdt Par le changement de variablesu=-ton adu=-dtet en même temps les bornes sont changées, donc ?(f f(u)e2iπλudu=?f(-λ) =??f?σ(λ)

Par exemple, on lit dans le tableau des transformations de Fourier, que la transformée de Fourier de

f(t) =e -atIR+(x)est donnée par?f(λ) =1 (a+2iπλ).Alorsfσ(t) =eatIR-(t)aura pour transformée de

Fourier, la fonction

?(f

σ)(λ) =1

(a-2iπλ).

3.4 Transformée de Fourier et Dérivation

La transformée de Fourier a d"importantes propriétés en liaison avec la dérivation. Celles-ci sont

réunies dans la proposition suivante. On a deux types de résultats : l"un portant sur ladérivée d"une

transformée de Fourier, l"autre sur latransformée de Fourier de la dérivée.

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution41

Proposition 3i) Soitfune fonction deL

1(R)et supposons de plus quetf(t)soit aussi dansL1(R).

Alors ?f(λ)est dérivable surRet l"on a d dλ??f(λ)? =??f(λ)?

R(-2iπt)f(t)e-2iπλtdt?λ?R

Il est utile de lire cette formule de la façon suivante (à écrire et à bien comprendre) tf(t)

F→1(-2iπ)ddλ??f(λ)?

Ceci se généralise facilement pour la dérivée d"ordren. ii) Soitfune fonction deL

1(R)et supposons de plus quetkf(t)soit aussi dansL1(R), pour

k= 1,···,n.Alors, la fonction?f(λ)estnfois dérivable surRet l"on a d dλk ??f(λ)? =??f(λ)?(k)=?

R(-2iπt)kf(t)e-2iπλtdt?λ?R

que l"on peut écrire t kf(t)F→1(-2iπ)k d dλk ??f(λ)? iii) Soitfune fonction deL

1(R)et supposons de plus quef? C1(R)et quef?(λ)? L1(R). Alors

[f ?](λ) = (2iπλ)?f(λ)?λ?R soit f ?(t)F→(2iπλ)?f(λ)

Ceci se généralise

iv) Soitfune fonction deL

1(R)et supposons de plus quef? Cn(R)et quef(k)(λ)? L1(R)pour

k= 1,···,n.Alors ??f (k)?(λ) = (2iπλ)k?f(λ)?λ?R soit f (k)(t)F→(2iπλ)k?f(λ) v) En particulier, sif? L

1(R)etfestà support compact, alors?fest une fonction deC∞(R).

La transformée de Fourier échange dérivation et multiplication par un monôme.

Preuve.i) et ii) Là encore c"est une conséquence du Théorème de Dérivation d"une intégrale

dépendant d"un paramètre (cf.Cours semaine 2). iii) et iv) Nous admettrons cette propriété v) Rappelons que, grosso modo, le support defest l"ensemble des points oùfest non nulle. Dire quefest à support compact signifie quefsera nulle en dehors d"un certain intervalle[a,b]avecaet bfinis. En quelque sorte la fonctionfvitdans l"intervalle[a,b].Il est souvent commode de remplacer

l"intervalle[a,b]par un intervalle symétrique[-A,A]ce que l"on peut toujours faire. Alors, quelque

soit l"entierkon peut majorer? ?t kf(t)? k|f(t)|

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution42

puisque dans[-A,A]on a? ?t k? A

k|f(t)|étant intégrable, la condition ii) de la proposition est vérifiée quelque soit l"entierk,et?fest

dérivable à n"importe quel ordre et donc une fonction deC ∞(R). Par exemple, on lit dans la table des Transformées de Fourier, quef(t) =e-t2a pour trans- formée de Fourier ?f(λ) =⎷ πe-π2λ2.Considéronsf?(t) =-2te-t2qui reste une fonction intégrable (Pourquoi?),sans calcul, en appliquant le point iii) on a -2te ou encore te

3.5 Formule d"inversion de la transformée de Fourier

Comme pour la décomposition en séries de Fourier, il est fondamental d"essayer dereconstruire fà l"aide de sa transformée de Fourier. Définition 3Transformée de Fourier inverse. Soitfune fonction deL

1(R), on définit sa trans-

formée de Fourier inverse par F ?(f) (λ) =?

Rf(t)e+2iπλtdt?λ?R

Elle possède des propriétés tout à fait analogues à celles dela transformée de FourierF.Voici le

théorème de reconstruction defà partir de sa transformée de Fourier inverse. Bien remarquer qu"en

remplaçant l"intégrale par une somme de séries, et ?f(λ)par les coefficeints de Fourierc n(f), il s"agit de l"analogue, pour une fonction non périodique, de la décomposition en série de Fourier.

Théorème 1Soitfune fonction deL

1(R)et supposons de plus que?f? L1(R). Alors

i) f(t) =? R ?f(λ)e+2iπλtdλpour presque toutx?R soit f=F ???f? p.p. ii) L"égalité précédente a lieu entout point de continuitédef.

On a donc un résultat simple, sous les hypothèses du Théorème. On voit ici réapparaître la notion

d"ensembles négligeables que nous avons étudié dans la chapitre précédent et c"est l"introduction de

cette notion qui permet d"obtenir un résultat si concis et élégant.

Malgré tout, cet ensemble négligeable de points, pour lesquels cette formule est fausse, est gênant dans

la pratique car si l"on veut écrire la formule pour un certaint

0ce point est-il ou non dans cet ensemble

négligeable? La deuxième partie donne une précision importante : sit

0est unpoint de continuité

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution43

defalors la formule d"inversion est vraie ent

0. En particulier, sifest continue surR, la formule sera

vraie partout. Exemple :On a facilement par un calcul direct (voir aussi la table) f(t) =e -|t|F→?f(λ) =21 + 4π2λ2 Cette fonction?f(λ)?L1(R)(Pourquoi?). De plus,f(t)est une fonction continue sur

Ron a?

-∞2

1 + 4π2λ2e+2iπλtdλ=e-|t|?x?R

(Bien prendre garde aux variables d"intégration : ici on intègre enλet on obtient une fonction det).Comme?f(λ)est une fonction paire, la partie d"intégrale ensin(2πλ) est nulle (Pourquoi?) et on a -∞2

1 + 4π2λ2cos(2πλt)dλ=e-|t|?x?R

ou encore, par parité 04

1 + 4π2λ2cos(2πλt)dλ=e-|t|?x?R

En posantu= 2πλtet sit >0on en déduit facilement (faire les détails du calcul) 0cosu t2+u2du=π2te -|t| Pourt <0on poserau=-2πλt.Faire le calcul. Finalement, on obtient 0cosu t2+u2du=π2|t|e -t?t?R? Corollaire 1Injectivité de la transformée de Fourier. SoientfetgdansL1(R), Alors f(λ) =?g(λ)?λ?R=?f=gp.p.

Deux fonctions intégrables, ayant même transformée de Fourier sont égales presque partout.

Preuve.C"est une conséquence simple du théorème d"inversion précédent. Posonsh=f-g.On ah? L

1(R)et par hypothèse?h= 0.Comme?h? L1(R), on peut appliquer le théorème d"inversion et

h(x) =? R ?h(λ)e+2iπλxdλ= 0p.p.

Ce qui s"écrit encoref=gp.p

Il est souvent utile de prendre la transformée de Fourier de la transformée de Fourier d"une fonction

f(si c"est possible). A cause du changement de signe dans la définition de la transformée inverse, on

ne récupère pas la fonctionfmais sa symétrisée.

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution44

Corollaire 2SoitfdansL

1(R)avec de plusfcontinuesurRet?f? L1(R). Alors

F(F)(f) =f

ou encore ??f(t) =f(-t)?x?R

Exercice :On a poura >0

f(t) =e -a|t|F→?f(λ) =2aa2+ 4π2λ2 Alors ??f(t) =f

σ(t) =e-a|t|?t?R

puisquefest une fonction continue paire. En déduire que 1 a2+t2F→πae-2πa|λ| Solution :Il y là un petit travail sur les constantes qu"il faut maîtriser. D"après ce qui précéde, on a2a a2+ 4π2λ2F→e-a|t| En factorisant le terme4π2pour avoir le facteurλ2seul a

2π2?a2

4π2+λ2?F→e-a|t|

On pose alorsa?=a

2πa?

π?a?2+λ2?F→e-2πa?|t|

et enfin, grâce à la linéarité de la transformation de Fourier 1 a?2+λ2F→πa?e-2πa?|t|

On a vu qu"en général?fn"était pas une fonction deL1(R), donc l"hypothèse faite dans ce théorème

est contraignante. Lorsque ?f /? L

1(R), l"expression?R?f(λ)e+2iπλtdλn"a généralementpas de sens.

Par contre on peut parfois utiliser :lim

a→∞?+a -a?f(λ)e+2iπλtdλqui estla valeur principale de l"intégrale

au sens de Cauchy.C"est une façon très particulière de calculer une intégrale: cette quantité peut

exister sans quefsoit dansL

1(R)et permet d"obtenir des résultats analogues au théorème de

Dirichlet pour les séries. Par exemple, on a le théorème utile suivant.

Théorème 2SoitfdansL

1(R)avec de plusffonctionC1par morceaux etf?? L1(R). Alors

lim a→∞ ?+a -a?f(λ)e+2iπλtdλ=12[f(t+) +f(t-)]?x?R

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Transformée de Fourier et Convolution45

Exemple :La fonctionf(t) =πI[

-1

2π,1

2π](t)est une fonction intégrable,C

1par morceaux avecf ?(t) = 0p.p.(Pourquoi?). Sa transformée de Fourier est la fonction f(λ) = sinλλqui n"est pas dansL1(R).On ne peut donc pas lui appliquer le théorème d"inversion. Par contre, le théorème précédent nous donne lim a→∞ ?+a -asinλ λe +2iπλtdλ=? ?πsi|t|< 1 2π

2sit=±12π

0si|t|>12π

3.6 Transformée de Fourier dansL2(R)

En général, pour une fonctionf? L2(R), l"intégrale définissant la transformée de Fourier, soit?

Rf(t)e-2iπλtdt, n"existe pas! Et pourtant, les fonctions de carré intégrable, correspondant aux si-

gnaux d"énergie finie, jouent un grand rôle dans de nombreux problèmes et il est essentiel de pouvoir

définir leur transformée de Fourier. Nous ne rentrerons pas dans les détails de la construction de cette

transformée de Fourier pour les fonctions deL

2(R)car elle est un peu délicate. Nous nous contenterons

de mentionner ici ses principales propriétés. La formule deParseval-Plancherel est particulièrement

importante : elle correspond à une formule de conservation d"énergie, l"énergie du signalf(t)est la

même que son énergie spectrale associée à ?f(λ).

Pour une fonction qui est dansL

2(R)mais pas dansL1(R)et même si cela peut sembler un peu

lourd, on notera différemment la transformée de Fourier defà savoirF(f)au lieu de?f .Il faut retenir

que ces deux transformées de Fourier sont définies de façon très différente. Proposition 4On définit une transformée de FourierFdansL 2(R) ?F:L

2(R)→ L2(R)

f→ F(f)? L 2(R) i)Fest un opérateur linéaire deL

2(R)dansL2(R).

ii) La formule de Parseval-Plancherel est vraie dansL 2(R) ?f,g? L 2(R)?

Rf(t)g(t)dt=?

RF(f)(λ)F(g)(λ)dλ

et ?f? L 2(R)?

R|f(t)|2dt=?

R|F(f)(λ)|2dλ

iii) La propriété d"inversion de la transformée de Fourier est vraie dansL

2(R), à savoir

?f? Lquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44