Montigny Eric Exercice type I, sur le produit de convolution
c) On applique la définition du produit de convolution : Définition du produit de convolution : dt t f g x f t g x t g t f x t I I 2 ( * )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ∫ ∫ ∫ ∩ +∞ −∞ +∞ −∞ = − = − = Hors, résoudre un tel calcul s’avère assez complexe Usons de stratégie, et découpons en plusieurs cas, et
Partie I - Produit de convolution - MATHEMATIQUES
SESSION 2012 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 1 FILIERE MP Partie I - Produit de convolution I A - Généralités I A 1) a) Soient f∈ L1(R)et g∈ Cb(R) Soit x∈ R La fonction t7→ f(t)g(x−t)dtest continue sur R De plus, pour
Exercice n°4 : produit de convolution (fonction triangle)
Le produit de convolution des deux fonctions f t1( ) et f t1( ) est défini par la relation : h t f t f t f f t d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 τ τ τ Pour évaluer ce produit de convolution, il faut :
Convolution, transformée de Fourier
Convolution, transformée de Fourier 1 Produit de convolution 2 Propriétés de la convolution 3 Transformation de Fourier 4 Transformation de Fourier inverse 5 Exercices corrigés 6 Avec Maple Pierre-Jean Hormière _____ 1 Produit de convolution Soient f et g deux fonctions définies sur R, à valeurs réelles ou complexes On nomme
Exercice n°5 : produit de convolution (fonction trapèze)
Le produit de convolution des deux fonctions ut et u t est défini par la relation : ()()()()() gt ut u t ut u t t dt +¥ -¥ = ˜ = - ò Avec 2 02 () 0 pour t ut ailleur s ££ = Et 1 01 () 0 pour t t ailleur s u ££ = Les déférentes étapes présentées dans la solution de l’exercice 4, devront être reproduites dans ce cas gt
CONVOLUTION ET CORRELATION
La transformée de Fourier d un produit de deux signaux est égale au produit de convolution des transformées de Fourier de ces deux signaux 5 1 6 Utilité de la convolution Nous avons vu que le produit de convolution de deux signaux est également un signal Bien évidemment le signal résultant est intimement fonction des deux signaux
Théorème de Fubini-Tonelli et convolutions 1 Théorème de
2 Produit de convolution Exercice 3 Soient f 2L1(Rn) et g 2Lp(Rn) avec 1 6 p 6 +¥, où Rn est muni de la mesure de Lebesgue Montrer que, pour presque tout x 2Rn, la fonction y 7f(x y)g(y) est intégrable sur Rn et que le produit de convolution de f et g défini par f g(x)= Z Rn f(x y)g(y)dy vérifie f g(x)=g f(x) et kf gk p 6kfk 1 kgk p
1 Convolution et corrélation
1 Convolution et corrélation 0 1 2 0 2 4 6 8 10 Figure 1 2–jx~()j2 enfonctiondepour 0 = 1 et = 0:1;0:2;0:4 2 Ressortsoumisaubruitthermique (Discuterergodicité) Supposons uneparticule dans unpuits harmonique,soumis au
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Exercices : Barbara Tumpach
Relecture : François LescureExo7
Théorème de Fubini-Tonelli et convolutions
1 Théorème de Fubini-Tonelli
Exercice 1Soitf(x;y) =x2y2(x2+y2)2. Montrer que
Z 1 1 Z11f(x;y)dx
dy6=Z 1 1 Z11f(x;y)dy
dx:Y a-t-il contradiction avec le théorème de Fubini ? (on pourra calculer l"intégrale dejfjsur l"anneauSe=
f(x;y)2R2je6x2+y261g.)Montrer que la fonction(x;y)7!eysin2xyest intégrable pour la mesure de Lebesgue sur[0;1](0;+¥); en
déduire la valeur deZ+¥
01y (siny)2eydy:Exercice 3Soientf2L1(Rn)etg2Lp(Rn)avec 16p6+¥, oùRnest muni de la mesure de Lebesgue. Montrer que,
pour presque toutx2Rn, la fonctiony7!f(xy)g(y)est intégrable surRnet que leproduit de convolution defetgdéfini par fg(x) =Z R nf(xy)g(y)dy vérifiefg(x) =gf(x)et kfgkp6kfk1kgkp: Soienta;b>0, etfetgles fonctions définies surRnparf(x) =eajxj22 etg(x) =ebjxj22 . Calculerfg(x). 1.Pour tout t>0, on pose :
f t(x) = (4pt)n2 ejxj24t: 1 (a)Montrer que, pour tout t>0,R R nft(x)dx=1. (b)Montrer que, pour tout d>0, limt!0R
fjxj>dgft(x)dx=0. (On dit queftest uneapproximation de la distribution de Dirac.) 2. Soit gune fonction continue bornée. Montrer queftgest bien définie et que lim t!0ftg(x) =g(x):Soientf;g2L1(m)oùmest la mesure de Lebesgue surRn. On noteˆfla transformée de Fourier définie par
f(y) =Z R nf(x)e2pi(y;x)dx; où(;)désigne le produit scalaire deRn:Montrer que 1. R R nf(x)ˆg(x)dx=R R nˆf(x)g(x)dx: 2. dfg=ˆfˆg: Calculer la transformée de Fourier de la gaussienne définie, pourx2Rn, parf(x) =eajxj22 , oùa>0.Correction del"exer cice1 NOn a
Z 1 1 Z1 1x2y2(x2+y2)2dx
dy=Z 1 1 x(x2+y2) 1 1! dy =Z 112(1+y2)dy=2arctany1
1=p: Z 1 1 Z1 1x2y2(x2+y2)2dy
dx=Z 1 1 y(x2+y2) 1 1! dx Z 112(x2+1)dx=2arctanx1
1=p:Il n"y a pas de contradiction avec le théorème de Fubini car la fonctionfn"appartient pas àL1([1;1]
[1;1]). En effet, soitSe=f(x;y)2R2je6x2+y261g. On a Z [1;1][1;1]jfjdm>Z S ejfjdm=Z 2p q=0Z 1 r=ejcos2qjr drdq=4Z p2 q=0Z 1 r=ejcos2qjr drdq=4loge!¥ lorsquee!0;et doncf=2L1([1;1][1;1]):Correction del"exer cice2 NLe théorème de Tonelli donne : Z [0;1](0;+¥)jeysin2xyjdxdy6Z0eydy=1<+¥;
ce qui prouve que la fonction(x;y)7!eysin2xyest intégrable pour la mesure de Lebesgue sur[0;1](0;+¥).
Le théorème de Fubini donne alors la valeurIde l"intégrale de cette fonction : I=Z 1 0dxZ0eysin2xydy(IPP)
=Z 10(2x)(1+4x2)1dx=log54
I=Z0eydyZ
10sin2xydx=Z
0eysin2yy
dy:Correction del"exer cice3 NSoientf2L1(Rn)etg2Lp(Rn)avec 16p6+¥, oùRnest muni de la mesure de Lebesgue. L"identité
fg(x) =gf(x)s"obtient par changement de variable. En ce qui converne l"inégalitékfgkp6kfk1kgkp;
on distingue les cas en fonction de la valeur dep. 1.Pour p= +¥, c"est clair.
2. Supposons que p=1 et posonsF(x;y) =f(xy)g(y). Pour presque touty2Rn, on a : Z R njF(x;y)jdx=jg(y)jZ R njf(xy)jdx=jg(y)jkfk1; et Z R ndyZ R njF(x;y)jdx=kfk1kgk1: D"après le théorème de Tonelli,F2L1(RnRn). D"après le théorème de Fubini, on a Z R njF(x;y)jdy<+¥pour presque toutx2Rn; 3 et Z R ndxZ R njF(x;y)jdy6kfk1kgk1:Ainsi,
kfgk1=Z R ndxjfg(x)j=Z R ndxZ R nF(x;y)dy6kfk1kgk1: 3.Supposons que 1 Alors pour presque toutx2Rnfixé, la fonctiony7!jf(xy)jjg(y)jpest intégrable surRn, i.e. la fonction kfgkp6kfk1kgkp:Correction del"exer cice4 NSoienta;b>0, etfetgles fonctions définies surRnparf(x) =eajxj22 On a kˆgk¥6kgk1, ce qui implique quefˆgest intégrable. De mêmeˆf gest intégrable. De plusF(x;y) = ˆf(x)ˆg(x):Correction del"exer cice7 NSupposons tout d"abordn=1. Soit la gaussienne définie pourx2Rparf(x) =eax220=1. La fonctiony7! jf(xy)j1p
0 appartient àLp0(Rn)carf2L1(Rn)et la mesure de Lebesgue est invariante par translation. D"après jf(xy)jjg(y)j=jf(xy)j1p jg(y)jjf(xy)j1p 02L1(Rn)
et Z R njf(xy)jjg(y)j6 Z R njf(xy)jjg(y)jp 1p kfk1p 0 1; ainsi j(fg)(x)jp6(jfjjgjp)(x)kfkpp 0 1: D"après le cas précédent, on voit que
fg2Lp(Rn)etkfgkpp6kfk1kgkppkfkpp 0 1; c"est-à-dire 2i+(a+b)
y iaa+bxi 2 aba+bjxj2+(a+b)yaa+bx2 Ainsi fg(x) =eaba+bjxj22 Z R ne(a+b)2 jyaa+bxj2dy=eaba+bjxj22 Z R ne(a+b)2 jzj2dz car la mesure de Lebesgue est invariante par translation. En utilisant R Ret2dt=pp, on obtient alors :
fg(x) =2pa+b n2 eaba+bjxj22 4 Correction del"exer cice5 N1.Pour tout t>0, on pose : f t(x) = (4pt)n2 ejxj24t: (a) On a Z R nft(x)dx= (4pt)n2 Z R nejxj24tdx = (4pt)n2 nÕ i=1Z R ex2i4tdxi: Sachant que
R Ret2dt=pp, on en déduit que
Z R nft(x)dx=1: (b) Soit e>0. Puisquef1est intégrable surRn, il existe unR>0 tel que Z B(0;R)cf1(x)dx
Z On remarque queft(x) =tn2
f1xpt . On a alors, Z B(0;d)cft(x)dx=Z
B(0;d)ctn2
f1xpt dx=tn2 Z B 0;dpt cf1(z)tn2 dz Z B 0;dpt cf1(z)dz6e; dès quetB(0;d)cft(y)jg(xy)g(x)jdy
6eZ B(0;d)ft(y)dy+2MZ
B(0;d)cft(y)dy
6e+2MZ
B(0;d)cft(y)dy:
D"après la question 1.(b), il existet0>0 tel que pourt0(t) =2piZ
R xeax22 e2pitxdx= 2pi1a eax22 e2pitx ¥+(2pi)2t1a
Z R eax22 e2pitxdx =(2p)21a th(t): De plus,
h(0) =Z R f(x)dx=Z R eax22 dx=Z R eu2dup2pa =p2ppa La solution de l"équation différentielleh0(t) =(2p)21a th(t)avec condition initialeh(0) =p2ppa est h(t) =r2pa e(2p)2a t22 Pourn>1, on a :
Z R nf(x)e2pi(t;x)dx=Z R neajxj22 e2pi(t;x)dx nÕ i=1Z R eax2i2 e2pitixidxi=nÕ i=1h(ti) = r2pa n e (2p)2a jtj22 6quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19