Premier exercice (7 points) Pendule élastique horizontal Le but de cet exercice est d'étudier des grandeurs physiques associées à un pendule élastique horizontal, constitué d'un ressort de raideur K = 20 N/m et d'un solide (S) de masse m = 500 g Prendre g = 10 m/s2, 2 =10 et négliger toutes les forces de résistance A – Étude théorique
1re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 41 2 Expérience fondamentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d’air un chariot pouvant glisser pratiquement sans frottement Il est attaché à l’une des extrémités d’un ressort
Exercice 3 : Pendule élastique vertical Un pendule élastique vertical est consti-tué d’un ressort de constante de raideur K = 10N/m associé à un solide de masse m = 300g On écarte le système de sa position d’équilibre de z1 = 2cm et à l’instant t=0 ( origine des dates) on l’abandonne avec une vitesse initiale v0 = 0 3m/s dans
ème 2 Exercice : Pendule élastique incliné:-Un pendule élastique est placé sur un plan incliné d'un angle D 30o par rapport au plan horizontal Le pendule élastique est constitué d'un ressort maintenue par un support fixe à l'une de ses extrémités alors que l'autre extrémité est liée à un corps solide de masse de masse m=200g
Le pendule élastique horizontal de la figure -1-est constitué par un solde (S) de masse m=0,2 Kg soudé à l’une des extrémités d’un ressort (R ) à spires non jointives de masse négligeable et de constante de raideur K=20 N m-1, l’autre extrémité est attachée à un support fixe A l’équilibre, le centre d’inertie (G) du
Pendule élastique horizontal Étude dynamique Au repos (le ressort ayant sa longueur naturelle), le solide (S) est en équilibre sous l'action de son poids et de la réaction du banc : P R 0 Si l'on écarte le centre d'inertie G du solide , il se met à osciller autour de G0 Le solide (S) est soumis à trois forces : P E D
du pendule En déduire la nature de l’amortissement (moyen, faible) V – Un pendule élastique horizontal, d’axe x’Ox, est formé d’un ressort (R) à spires non jointives, de raideur k = 40 N/m et d’un x’solide (s) de masse m = 100 g Le solide (s) se déplace sur un support horizontal AB comme le montre la
3) Donner l’expression de l’énergie mécanique du pendule de torsion Exercice_3_ pendule élastique vertical Soit un pendule élastique vertical formé d’un ressort de mase négligeable et de constante de raideur k, suspendue à un support (S), et d’un corps (C) de masse m, accroché à l’autre extrémité libre du ressort
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2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017Systèmes mécaniques oscillants : exercicesExercice 1 :1.Définir les notions suivantes :Oscillateur mécanique - mouvement oscillatoire - oscillation libre - amplitude de mou-vement - élongation du mouvement - période propre - amortissement des oscillationsmécaniques - oscillations forcées - oscillations entretenues - pendule élastique - pendulepesant - pendule simple - pendule de torsion .2.Choisir la bonne réponse :(a)Plus la raideur d"un ressort est grande , plus la période du pendule élastiquehorizontal est :(a) grande (b) petite(b)La formule de la période des oscillations du pendule élastique horizontal n"estvalable que pour des petites élongations :(a) vrai (b) faux(c)En présence de frottements , l"amplitude d"un pendule de torsion :(a) croit (b) décroît (c) reste constante(d)Plus la longueur du fil d"un pendule simple est grande , plus sa période est :(a) courte (b) longue(e)Plus la constante de torsion est grande , plus la période du pendule de torsionest :(a) grande (b) petitePendule élastiqueExercice 2 : résolution analytique de E.DUn oscillateur mécanique élastique est consti-tué d"un ressort de constante de raideurK= 10N/massocié à un solide de massem= 250g. On écarte le système de sa positiond"équilibre de2cmet on l"abandonne sansvitesse initiale.x?xO-→iG-XmXmK(S)xOn considère un axe(O,-→i), avec O coïncide avec la position du centre d"inertie G dusolide à l"équilibre et le vecteur unitaire-→iparallèle au déplacement du solide.On repère la position G du solide à chaque instant par l"élongationOG=x(t).1.Montrer que le mouvement du centre d"inertie G du solide obéit, en absence de frot-tement , à l"équation différentielle suivante :¨x+Km.x= 01/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-20172.La solution de cette équation différentielle est de la forme :x(t) =Xmcos?2πT0t+??(a)Déterminer l"expression de la période propreT0des oscillations du pendule élas-tique et calculer sa valeur .(b)Déterminer les paramètresXmet?, sachant qu" à l"instant t=0 , G passe parla position d"équilibre du pendule dans le sens positif .Écrire cette solution.(c)Déterminer la vitesse des oscillation à l"instant t , en déduire la vitesse maximaledu système en précisant sa positions .(d)Déterminer les caractéristiques de la force-→Fexercée par le ressort sur le solidedans les deux cas suivant :* lorsque le solide passe par sa position d"équilibre stable;* lorsquex=Xmetx=-XmSolution : exercice 21. Établissement de l"équation différentielledu mouvement :Référentiel lié au laboratoire considérécomme Galiléen;Système étudié : le solide (S);Bilan des forces exercées sur le système :le poids?P, la réaction du plan horizontal?Ret la tension du ressort?F=-K.?Δl;x?xO-→iG-XmXmK(S)x?R?P?FOn applique la deuxième loi de Newton sur (S) :?P+?R+?F=m.?aGOn projette la relation surx?Ox:0 + 0-K.Δl=m.d2xdt2d"oùd2xdt2+Km.x= 02. La solution de cette équation différentielle est de la forme :x(t) =Xmcos?2πT0t+??2.1 L"expression de la période propreT0des oscillations du pendule élastique :x(t) solution de l"équation différentielle , donc elle la vérifie , i.e on dérive deux foisx(t) par rapport au temps :2/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017d2xdt2=-4π2T20Xmcos?2πT0t+??d2xdt2+4π2T20x(t)Pour que x(t) soit solution de l"E.D il suffit queKm=4π2T20T0= 2π?mKApplication numérique :T0≈1s2.2 On détermine les paramètresXmet?, sachant qu" à l"instant t=0 , G passe parla position d"équilibre du pendule dans le sens positif :D"après les données de l"exercice onXm= 2.10-2mEn considérant les conditions initiales suivantes : àt= 0on ax(0) = 0passe par laposition d"équilibre etv(0)>0;Xmcos?= 0donc?=±π2et puisque la vitesse à t=0 est positive :-Xm2πT0sin(?)>0c"est à dire quesin? <0,d"où?=-π2donc la solution de E.D est :x(t) = 2×10-2cos?2.π.t-π2?2.3 La vitesse des oscillation à l"instant t , en déduire la vitesse maximale du systèmeen précisant sa positions :La vitesse des oscillations :v(t) =-4×10-2πsin?2.π.t-π2?Cette vitesse est maximale lorsquesin?2.π.t-π2?=-1i.e quevmax= 4×10-2π2.4 Les caractéristiques de la force-→Fexercée par le ressort sur le solide dans les deuxcas suivant :L"intensité de la force : Est une force de rappel qui s"oppose au sens d"allongementF(t) =K.x(t)* lorsque le solide passe par sa position d"équilibre stable;nous avonsx(t) = 0doncFt) = 0* lorsquex=Xmetx=-XmPourx=Xmnous avons?F=K.Xm?il"intensité de la force est maximale et dans lemême sens que?i.Pourx=-Xmnous avons?F=-K.Xm?il"intesité est maximale et dans le sens opposéde?i3/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017Exercice 3 : Pendule élastique verticalUn pendule élastique vertical est consti-tué d"un ressort de constante de raideurK= 10N/massocié à un solide de massem= 300g. On écarte le système de saposition d"équilibre dez1= 2cmet à l"instantt=0 ( origine des dates) on l"abandonne avecune vitesse initialev0= 0.3m/sdans le sensnégatif de l"axe(O,-→k)orienté vers le bas etavec O coïncide avec la position du centred"inertie G du solide à l"équilibre stable et levecteur unitaire-→kparallèle au déplacementdu solide.On repère la position G du solide à chaqueinstant par l"élongationOG=z(t).z?zO-→kG-→v0zz11.Montrer que le mouvement du centre d"inertie G du solide obéit, en absence de frot-tement , à l"équation différentielle suivante :¨z+Km.z= 02.La solution de cette équation différentielle est de la forme :x(t) =Zmcos?2πT0t+??(a)Déterminer l"expression de la période propreT0des oscillations du pendule élas-tique et calculer sa valeur .(b)Déterminer les paramètresZmet?.3.Étudions le cas où on lance le système à t=0 , à partir de l"état d"équilibre stable ,dans le sens positive avec une vitessev0= 0,3m/s. Déterminer les paramètresZmet?.4/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017Solution : exercice 31. Établissement de l"équation différentielledu mouvement :Référentiel lié au laboratoire considérécomme Galiléen;Système étudié : le solide (S);Bilan des forces exercées sur le système :le poids?Pet la tension du ressort?F=-K.?Δl;Étude du système à l"état d"équilibre :?P+?F=-K.?Δl0=?0On projette surz?Oz, on aura :m.g-K.Δl0= 0 (1)À l"instant t on applique la deuxième loi de Newton :?P+?F=m.?azmg-K.Δl=m.d2zdt2avecΔl= Δl0+xDonc :mg-K.Δl0-K.z=m.d2zdt2et d"après l"état d"équilibre on am.g-K.Δl0= 0, I.e que E.D sera :-K.x=m.d2zdtd2zdt2+Km.z= 02.Exercice 4 : Pendule élastique inclinéUn ressort de masse négligeable , à spiresnon jointives, parfaitement élastique n estaccroché par l"une des extrémités à un sup-port fixe et l"autre extrémité , on accrocheun solide de massem= 500g. L"ensemble estsitué sur la ligne de plus grande pente d"unplan incliné faisant un angleα= 30◦avecl"horizontale. Les frottements sont négligédans tout l"exercice .x?xO-→iGxGα5/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-20171.Le ressort de longueurl0= 20cmau repos , à l"équilibre la longueur du ressort estl= 25cm. En déduire la valeur de la constante du raideur K du ressort . On prendg= 10m/s22.On écarte le solide vers le bas , de sa position d"équilibre à t=0 d"une distance ded=3cmet on le lâche sans vitesse initiale . Par une étude dynamique trouver l"équationhoraire du mouvement .3.La période des oscillations dépend-t-elle de l"angleα?Exercice 5 : Association de deux ressortsOn place un cavalier de masseM= 700gsur un rail à coussin d"air horizontal et on lefixe aux extrémités de deux ressorts semblablesR1etR2de mêmes constantes de raideurK1=K2= 20N/m. La longueur initiale de chaque ressort estl01=l02= 18cmet àl"équilibre , ils ont même allongementΔl1= Δl2= 2cm.A1A2x?xO-→iCG(R1)(R2)(S)1.On écarte le cavalier de sa position d"équilibre de distanceOC= 2cmde sens versA1et de direction deA1A2, puis on l"abandonne sans vitesse initiale , à l"instant t=0 .(a)Déterminer, À un instant t , les expressions des allongements deΔl1etΔl2pourchaque ressort en fonction de x l"abscisse de G(b)Déterminer l"équation différentielle du mouvement de G .(c)La solution de cette équation différentielle s"écrit sous la forme suivante :x?t) =Xmcos(ω0t+?)avecω0est la pulsation propre du mouvement de G ,ω0=2πT0. Donner l"expres-sion deω0etT0. Déterminer?etXm2.On fixe au cavalier une petite plaque de masse négligeable puis on l"immerge dans unliquide . Sachant que la force de frottement appliquée par le liquide sur la plaque aucours du mouvement du cavalier est de la forme-→f)-α.-→voùαest une constante posi-tive et-→vle vecteur vitesse de G . Montrer que l"équation différentielle du mouvementde G peut s"écrire sous la forme suivante :¨x+αmx+2Kmx= 03.Donner la forme des courbes qui représentent l"élongation x(t) du centre d"inertie Glorsque les frottement deviennent de plus en plus importants . ( on prend les mêmesconditions initiales )6/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017Exercice 6 :La suspension : les amortisseursLa suspension d"une automobile se compose , au niveau de chaque roue , d"un ressort etd"un amortisseur ( généralement à l"huile )On modélise l"automobile par un solide de masseMde centre d"inertie G; les ressorts parun seul ressort vertical , à spire non jointive, de masse négligeable et d"une constante deraideurK. Le système (ressort+solide) est représenté dans la figure ci-dessous :z?z-→kOG0G|Δl||Δl0|Le repérage des positions z du centre d"inertie G du solide se fait selon un axe Oz orientévers le haut; l-origine O est choisie à la position d"équilibreG0du centre d"inertie du solide .I.Étude du système à l"état d"équilibre .Pour la vérification de la valeur de la constante du raideur de ressort , on mesure lalongueur initiale du ressortl0, puis on place le solide (S) de masseM= 100gsurle plateau de masse négligeable, fixé à l"extrémité libre du ressort . Ce dernier seracompressé deΔl0et sa longueur finale à l"équilibrel= 7,6cm.1.Calculer la constante de raideur K du ressort .2.Calculer l"erreur relative qui peut se commettre au cours de cette mesure parl"opérateur sur la constante de raideur du ressort . la valeur de K indiquée parle fabriquant estK= 40N/m. On donne la formule de l"erreur relative :ΔXX=Xex-XthXthII.Étude dynamique :On écarte le système (ressort + solide ) de sa position d"équilibre vers le bas de2cmet on l"abandonne sans vitesse initiale . Le système effectue un mouvement oscillatoireautour de sa position d"équilibreG0.1.En appliquant la deuxième loi de Newton , montrer que l"équation différentielledu mouvement de G est :¨z+KMz= 02.Écrire la solutionz(t)de cette équation différentielle en fonction def0la fré-quence propre des oscillations ,zmet le temps t . En déduire l"expression de lavitessev(t)7/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-20173.En utilisant les expressions dev(t)etz(t), montrer que :v= 2πf0?z2m-z2tanΦ =-v2πf0zavecΦest le déphasage de z(t) à l"instant t .4.Calculervla vitesse de G etΦla phase du mouvement à l"instantt= 2sII. Étude des oscillations forcéesPour modéliser l"amortissement, on ajoute audispositif précédent un amortisseur qui en-gendre une force de frottement fluide de sensopposé au vecteur vitesse du mouvement deG et proportionnelle à sa valeur tel que :-→f=-αdzdt.-→koùαest une constante positive qui dépend dela qualité des amortisseurs appelée le coeffi-cient d"amortissement .(S)G(R)amortisseur1.Montrer que l"équation différentielle du mouvement de G est :md2zdt2+αdzdt+K.z= 02.Pour ce système mécanique , identifier l"excitateur et le résonateur .3.On considère deux automobiles(A1)et(A2), assimilables chacune à un solide demême masse M reposant sur le ressort (R) vertical . On représente les courbes z(t)des positions du centre d"inertie G du solide modélisant chaque automobile lors depassage sur une bosse .123-1-2-30,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1-0,1t(s)z(b)(a)a.Donner les noms des régimes associés aux deux courbes .8/20
2ème Bac SMMahdade Allalannée scolaire 2016-2017b.L"une des courbes présente une pseudo-période . Déterminer graphiquement sa valeur.c.Les allures différentes des courbes sont dues au coefficient d"amortissementα. Quellecourbe correspond à la plus grande valeur deα? Justifier la réponse .d.Quelle automobile possède la meilleure suspension?9/20
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Premier exercice (7 points) Pendule élastique horizontal