Equations avec des nombres complexes Equations du premier degré
Equations de degré supérieur à 2 On se ramène au deuxième degré : soit par changement de variable, soit en faisant apparaître une racine évidente Parfois, la suite de l’exercice peut mettre sur la voie des racines évidentes, alors toujours bien lire l’exercice en entier avant de commencer Exemple 1 Résoudre : z4 +5z2 + 4 = 0
NOMBRES COMPLEXES
2−4i 2 =1−2i Ces solutions sont des nombres complexes, c’est-à-dire qui sont la somme d’un nombre réel et d’un multiple réel de i 1 Définition Un nombre complexe z est un nombre qui s’écrit sous la forme € z=a+bi, où a et b sont des nombres réels, et i un nombre tel que € i2=−1
Les nombres complexes - Partie I
Résolution d'équations du troisième degré 9 Forme algébrique d'un nombre complexe 11 Égalité de deux complexes 13 Calculer avec les complexes 13 Représentation des nombres complexes 14 Inverse d'un nombre complexe 14 Conjugué d'un complexe 15 Calculer avec les complexes 15 Pourquoi inventer de nouveaux nombres ?
Nombres complexes Equation du second degré Equations polynomiales
Equation du second degré 4 Remarque Si Δ∈ℝ*et si d est un nombre complexe (réel ou imaginaire pur) tel qued2=Δ , on dit qued est une racine carrée de Δ et les deux solutions distinctes (réelles ou complexes conjuguées) de l'équation sont : z1= −b−d 2a z2= −b+ d 2a 5 Exercice θ est un nombre réel Résoudre dans C l
Nombres complexes – Fiche de cours - Physique et Maths
3 Nombre complexe a Définition Un nombre complexe est défini par : z=x+iy s’appelle la forme algébrique du nombre complexe x : partie réelle notée Re(z) y : partie imaginaire notée Im(z) b Egalité de nombres complexes z1∈ℂz2∈ℂ z1=z2⇔{Re(z1)=Re(z2) Im(z1)=Im(z2) 4 Opérations sur les nombres complexes On considère les
CH 2 –Géométrie : Equations complexes 4 Sciences Novembre
3 Equations à coefficients complexes 4ème Sciences 09 – 10 www espacemaths com IV Racines nièmes d’un nombre complexe Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit Z ˛ £, on appelle racine nième du nombre complexe Z, tout nombre complexe z vérifiant : zn = Z Remarques
Racines carrées d’un nombre complexe
conduirait à la résolution d’une équation du 4e degré (bicarrée) mais à rajouter l’équation (3) obtenue par égalité de module qui permet une résolution plus facile 2 2 III Propriété Tout nombre complexe admet deux racines carrées opposées IV Cas particulier : racines carrées d’un réel On pose z x 0 avec x 0 1 Si x
Chapitre 1 Nombres complexes Propriétés algébriques
Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a+ ib avec a 2R et b 2R L'ensemble des nombres complexes est noté C On ne note pas p 1 pour éviter les confusions Sinon, on pourrait être tenté d'écrire par exemple : (p 1)2 = 2 = 1 La partie imaginaire d'un nombre complexe est un réel Il n'y a pas d'ordre dans C En particulier, un
IUT de Brest D´epartement GMP Compl´ements de cours
⇐⇒ α4 −3α 2−4 = 0 et β = α Or en posant X = α2 l’´equation pr´ec´edente devient X2 −3X−4 = 0, qui est une ´equation du second degr´e a` coefficients r´eels Apr`es calculs du discrimininant et des racines, on obtient X2−3X−4 = (X+1)(X−4) Par cons´equent α4 −3α 2−4 = (α2 +1)(α −4) Comme α est r´eel
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Equations avec des nombres complexes
Equations du premier degré
De même qu'une équation du premier degré avec des réels, le principe consiste à isoler le z.
Exemple
Résoudre 3z - = 2 + 5 z.
Cette équation est équivalente aux lignes suivantes :3z - 5 z = 2 + 2 i
iz222+=- iz--=1 Rappelons que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égalesExemple
Trouver z tel que iziz7238+=+
Commençons par trouver l'écriture algébrique du premier membre en posant z = x + i y )38(38)(3)(838xyiyxiyxiiyxziz+++=-++=+ .Par identification, on a : 8x + 3 y = 2
Et : 3x + 8 y = 7
On résout, et on trouve : - 55 y = - 50 d'où : 1110=y et x = 11
1-Donc z = i11
10 11 1+-Equations du second degré
On utilise la même méthode que pour les réels avec deux nuances :Il n'y a pas d'étude de signe possible
Si le discriminant est négatif, il y a deux solutions complexes conjuguées. Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on utilise acb4²-=D et z = a ib 2D-±- si 0 Attention : on n'écrit pas 4- mais directement ii24= Exemple
Résoudre 022²=+-zz .
D = - 4 donc iiz+=+=12
22
1 et iz-=12
Lorsque les coefficients de l'équation sont complexes et non réels, on procède de même mais
la difficulté réside dans la racine du discriminant. Soit, on " voit » la réponse immédiatement,
soit on procède par identification. Exemple
Trouver le nombre complexe z tel que 2i = z².
Soit avec astuce, on remarque que 2i = 1 + 2i - 1 = 1 + 2i + i² = (1 + i) ² Equations avec des nombres complexes
Soit on procède par identification : on pose z = x + i y. Alors : x² - y ² + 2ixy = 2i d'où par
identification partie réelle, partie imaginaire : x² - y² = 0 et 2 xy = 2. De plus, 22²==iz et ²²²yxz+= d'où x² + y² = 2. En résumé : x² - y² = 0 donc 2x² = 2 et x² = 1 x² + y² = 2 x = 1 ou x = - 1 xy = 1 et y = 1 ou y = - 1 Conclusion : z = 1 + i ou z = - 1 - i.
Equations de degré supérieur à 2
On se ramène au deuxième degré : soit par changement de variable, soit en faisant apparaître
une racine évidente ... Parfois, la suite de l'exercice peut mettre sur la voie des racines évidentes, alors toujours bien
lire l'exercice en entier avant de commencer Exemple 1
Résoudre : 04524=++zz . On pose Z = z et on obtient : Z² + 5Z + 4 = 0 9=D . Z = 4- et Z' = - 1. D'où z = 2i , z' = - 2i , z'' = i ou z''' = - i .
Donc les solutions sont : S = {}iiii2;;;2-- .
Exemple 2
Résoudre : 012²23=--+zzz
On remarque que z = 1 est solution de cette équation, on factorise donc par z - 1 : )13²)(1(12²23++-=--+zzzzzz On résout z² + 3z + 1 = 0 : 5=D donc z = 2
53+- et z' = 2
53--
Les solutions sont donc : S =
îíì+---1;2
53;2
53
Exercices
Résoudre :
1) 0)(2=-+iziz
2) 0)32)(2(=+-+iziz
3) 094=-z
4) 043²=+-zz
5) 013=+z
6) 06²4=-+zz
7) 012²23=+++zzz
8) 025²64=++zz
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
Exemple
Résoudre 022²=+-zz .
D = - 4 donc iiz+=+=12
221 et iz-=12
Lorsque les coefficients de l'équation sont complexes et non réels, on procède de même mais
la difficulté réside dans la racine du discriminant. Soit, on " voit » la réponse immédiatement,
soit on procède par identification.Exemple
Trouver le nombre complexe z tel que 2i = z².
Soit avec astuce, on remarque que 2i = 1 + 2i - 1 = 1 + 2i + i² = (1 + i) ²Equations avec des nombres complexes
Soit on procède par identification : on pose z = x + i y. Alors : x² - y ² + 2ixy = 2i d'où par
identification partie réelle, partie imaginaire : x² - y² = 0 et 2 xy = 2. De plus, 22²==iz et ²²²yxz+= d'où x² + y² = 2. En résumé : x² - y² = 0 donc 2x² = 2 et x² = 1 x² + y² = 2 x = 1 ou x = - 1 xy = 1 et y = 1 ou y = - 1Conclusion : z = 1 + i ou z = - 1 - i.
Equations de degré supérieur à 2
On se ramène au deuxième degré : soit par changement de variable, soit en faisant apparaître
une racine évidente ...Parfois, la suite de l'exercice peut mettre sur la voie des racines évidentes, alors toujours bien
lire l'exercice en entier avant de commencerExemple 1
Résoudre : 04524=++zz . On pose Z = z et on obtient : Z² + 5Z + 4 = 09=D . Z = 4- et Z' = - 1. D'où z = 2i , z' = - 2i , z'' = i ou z''' = - i .
Donc les solutions sont : S = {}iiii2;;;2-- .
Exemple 2
Résoudre : 012²23=--+zzz
On remarque que z = 1 est solution de cette équation, on factorise donc par z - 1 : )13²)(1(12²23++-=--+zzzzzzOn résout z² + 3z + 1 = 0 : 5=D donc z = 2
53+- et z' = 2
53--Les solutions sont donc : S =
îíì+---1;2
53;253