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Exercice 2

Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2018

ÉPREUVE DU VENDREDI 22 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES

- Série S -

Enseignement Obligatoire

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

une part im

France Métropolitaine 201

Bac - Maths - 201

8 - Série Sfreemaths . frfreemaths . fr

Sujet Mathématiques Bac 2018

18MASOMLR1 Page 4 sur 8

Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d"une ville. La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L"efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques

individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n"est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent . Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l"issue de la période hivernale a permis de

constater que :

· 40% de la population est vaccinée ;

· 8% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ; · 20% de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les

événements :

V : " la personne est vaccinée contre la grippe » ;

G : " la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l"événement G.

b. Reproduire l"arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre

de ses branches.

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n"est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu"elle ait contracté

la grippe est égale à 0,28.

18MASOMLR1 Page 5 sur 8

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à

10@ près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville. Après la période hivernale, on interroge au hasard

B habitants de la ville, en admettant que

ce choix se ramène à B tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu"une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est

égale à 0,4.

On note

' la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les B interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire

2. Dans cette question, on suppose que

B 40.

a. Déterminer la probabilité qu"exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.

b. Déterminer la probabilité qu"au moins la moitié des personnes interrogées soit

vaccinée.

3. On interroge un échantillon de 3750habitants de la ville, c"est-à-dire que l"on suppose

ici que

B 3750.

On note

D la variable aléatoire définie par : D EFGG @G . On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire D peut être approchée par la loi normale centrée réduite. En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu"il y ait entre 1450 et 1550 individus vaccinés dans l"échantillon interrogé. 1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 1. a. Donnons la probabilité de l'événement G:

D'après l'énoncé, nous avons:

V = " la personne est vaccinée contre la grippe " . V = " la personne n'est pas vaccinée contre la grippe " .

G = " la personne a contracté la grippe " .

G = " la personne n'a pas contracté la grippe " .

P ( V ) = 40%

P ( V ) = 1 - 40% = 60% .

P V ( G ) = 8% P V ( G ) = 1 - 8% = 92% .

P ( G ) = 20%

P ( G ) = 1 - 20% = 80% .

Ainsi, nous pouvons affirmer que:

P ( G ) = 20%, car 20% de la population a contracté la grippe . Au total, la probabilité de l'événement G est: P ( G ) = 20% .

EXERCICE 2

Partie A:

[ France Métropolitaine 2018 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 1. b. Traduisons la situation par un arbre pondéré:

Nous avons l'arbre pondéré suivant:

a c b d VG G V G , avec: . a = 8% b = 92% c = d = G 40 %
60 %
2. Déterminons la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée: V ) .

V ) = P

V ( G ) x P ( V )

Ainsi: V ) = 3, 2% .

Au total: V ) = 3, 2% .

Montrons que P

V ( G ) = 0, 28:

Nous devons calculer:

P V ( G ) P V ( G ) = P ( V P ( V P ( V

Ainsi: P

V ( G ) = 60%
cad: P V ( G ) = 28% . 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 Au total: il y a 28% de chance pour qu'une personne choisie pas vaccinée, ait contracté la grippe

Partie B:

1. Déterminons la loi de probabilité suivie par la variable aléato ire X: Soit l'expérience aléatoire consistant à interroger au hasar d n habitants de la ville: n tirages successifs indépendants et avec remise . Soient les événements V = " l'habitant est vacciné ", et V = " l'habitant n'est pas vacciné " On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de perso nnes vaccinées parmi les n interrogées Nous sommes en présence de n épreuves aléatoires identiques et indépendantes La variable aléatoire discrète X représentant le nombre de ré alisations de V suit donc une loi binômiale de paramètres: n et p = 40% .

Et nous pouvons noter:

X B ( n ; 40% ) .

En fait, on répète n fois un schéma de Bernoulli 2. a.

Déterminons P ( X = 15 ):

Il s'agit de calculer ici:

P ( X = 15 ) avec: X B ( 40 ; 40% ) .

Or:

P ( X = 15 ) =

40
15 ( 40% ) 15

1 - 40% )

25
=> P ( X = 15 )

12, 3%, à 10

3 près.

à l'aide d'une machine à calculer )

4 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 Au total, la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interro gées soient vaccinées est d'environ: 12, 3% . 2. b. Déterminons la probabilité qu'au moins la moitié des personn es interrogées soit vaccinée: 1

3%, à 10

3 près

à l'aide d'une machine à calculer )

Au total, la probabilité qu'au moins la moitié des personnes in terrogées soit vaccinées est d'environ: 1 3% . 3.

Calculons P (

1 450 X 1 550 ):

D'après l'énoncé:

Z = X - 1 500
30
suit la loi normale centrée réduite . Donc nous pouvons en déduire que la variable aléatoire X suit appr oximativement la loi normale d'espérance et d'écart type

Dans ces conditions:

= P 1

450 - 1

500
30
1

550 - 1

500
30
= P 5 3 5 3 = 2 x P 5 3 - 1 .

A l'aide d'une machine à calculer, on trouve:

5 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 5 3 - 1

90, 4%, à 10

3 près

Au total, la probabilité qu'il y ait entre 1

450 et 1 550 individus vaccinés dans

l'échantillon est d'environ:

90, 4% .

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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Exercice 2

Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2018

ÉPREUVE DU VENDREDI 22 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES

Enseignement Obligatoire

Le candidat doit traiter tous les exercices.

France Métropolitaine 201

Bac - Maths - 201

8 - Série Sfreemaths . frfreemaths . fr

Sujet Mathématiques Bac 2018

18MASOMLR1 Page 4 sur 8

Partie A

· 40% de la population est vaccinée ;

événements :

G : " la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l"événement G.

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n"est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu"elle ait contracté

18MASOMLR1 Page 5 sur 8

Partie B

10@ près.

B habitants de la ville, en admettant que

égale à 0,4.

On note

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire

2. Dans cette question, on suppose que

B 40.

3. On interroge un échantillon de 3750habitants de la ville, c"est-à-dire que l"on suppose

B 3750.

On note

D'après l'énoncé, nous avons:

G = " la personne a contracté la grippe " .

P ( V ) = 40%

P ( V ) = 1 - 40% = 60% .

P ( G ) = 20%

P ( G ) = 1 - 20% = 80% .

Ainsi, nous pouvons affirmer que:

EXERCICE 2

Partie A:

Nous avons l'arbre pondéré suivant:

V ) = P

Ainsi: V ) = 3, 2% .

Au total: V ) = 3, 2% .

Montrons que P

Nous devons calculer:

Ainsi: P

Partie B:

Et nous pouvons noter:

X B ( n ; 40% ) .

Déterminons P ( X = 15 ):

Il s'agit de calculer ici:

P ( X = 15 ) avec: X B ( 40 ; 40% ) .

P ( X = 15 ) =

1 - 40% )

12, 3%, à 10

à l'aide d'une machine à calculer )

3%, à 10

à l'aide d'une machine à calculer )

Calculons P (

1 450 X 1 550 ):

D'après l'énoncé:

Dans ces conditions:

450 - 1

550 - 1

A l'aide d'une machine à calculer, on trouve:

90, 4%, à 10

Au total, la probabilité qu'il y ait entre 1

450 et 1 550 individus vaccinés dans

90, 4% .