COLLE 5 Mathématiques

Les parties paire et impaire de la fonction exponentielle sont le “cosinus hyperbolique” et le “sinus hyperbolique”; que l’on note respectivement ch et sh : 8x 2R, 8 >> >< >> >: ch(x) = ex +e x 2 sh(x) = e x e 2 Chacune de ces deux fonctions admet l’autre pour dérivée Ci-dessous, leurs graphes, ainsi que celui de x 71 2 e x (en

NOUVELLES FONCTIONS USUELLES Exercices

Expliciter la fonction réciproque sh- 1 2) Montrer que la restriction de la fonction ch à [0,+¥ [, notée , est une bijection de [0,+¥ [sur un intervalle J que vous préciserez Expliciter la fonction réciproque 3) Montrer que la fonction th est une bijection de sur un intervalle J que vous préciserez Expliciter la fonction réciproque th- 1

Notions de fonctions bijectives Correction des exercices

1 La fonction sh : R −→ R est continue strictement croissante sur R, et lim −∞ sh = −∞, lim ∞ sh = ∞ Le théorème de la bijection assure donc que sh réalise une bijection de Rsur R, dont on note argsh la réciproque Soit y ∈ R Résolvons l’équation shx = y (E) : (E) ⇐⇒ ex −e−x −2y = 0

AN 1 – FONCTIONS USUELLES et RÉCIPROQUES

Remarque : la fonction exp est la fonction exponentielle de base e (appelée simplement fonction exponentielle) Proposition 3 : exp est dérivable sur R et x R exp’(x) = exp(x) On en déduit que la fonction exp est strictement croissante sur R Remarques : Les propriétés de exp a se déduisent de celles de la fonction exp, en particulier :

Daniel ALIBERT Etude globale des fonctions : Fonctions

Les fonctions sh, ch, sont dérivables sur R, et : sh ´(x) = ch(x), ch ´(x) = sh(x) On a des relations algébriques entre ces deux fonctions, analogues à celles qui existent entre les fonctions trigonométriques (mais pas exactement les mêmes) Par exemple, un calcul direct permet de vérifier : ch 2(x) – sh 2(x) = 1,

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arcsinh x ; # Fonction argument sinus hyperbolique, c’est la fonction reciproque de sinh x sur R ∀ x ∈R arcsin h x arg sh x ln x x 2 1 arccosh x ; # Fonction argument cosinus hyperbolique, c’est la fonction reciproque de cosh x sur

Colles - planche 05

2 Montrer que l’application sh est une bijection de R sur R, et déterminer sa fonction réciproque en terme de la fonction ln Question de cours Montrer par double inclusion l’égalité d’ensembles ␣ (x,y) P R2 ˇ ˇ4x´y = 1 (= t(t+1,4t+3) : t P Ru Question de cours Montrer par double inclusion l’égalité d’ensembles ␣

Programme du 30 novembre au 11 décembre

non injective, ni surjective ni injective, bijective Montrer que l’application sh est une bijection de R sur R, et déterminer sa fonction réciproque en terme de la fonction ln : uniquement la deuxième semaine Programme du 30 novembre au 11 décembre Ensembles Inclusion, égalité d’ensembles, complémentaire, intersection et union

Devoir surveillé n Probleme

; sh(x) = e e 2 et th(x) = sh(x) ch(x) = ex e x ex+e x: 1 Montrer, en étudiant ses ariations,v que th est une bijection de R sur un intervalle Ide R à préciser On note argth la fonction argument tangente hyperbolique sa réciproque 2 Exprimer la dérivée de th en fonction de th 3 Démontrer que argth est impaire