Si cest un homme - P-M Simonin
SI C’EST UN HOMME Traduit de l’italien par Martine Schruoffeneger Titre original : SE QUESTO È UN UOMO Giulio Einaudi éditeur s p a , Turin, 1958 et 1976 Julliard, pour la traduction française, 1987 ISBN : 2-266-02250-4
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SI C'EST UN HOMME Vous qui vivez en toute quiétude Bien au chaud dans vos maisons, Vous qui trouvez le soir en rentrant La table mise et des visages amis, Considérez si c'est un homme Que celui qui peine dans la boue, Qui ne connaît pas de repos, Qui se bat pour un quignon de pain, Qui meurt pour un oui pour un non Considérez si c'est une
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Si c’est un homme Vous qui vivez en toute quiétude Bien au chaud dans vos maisons, Vous qui trouvez le soir en rentrant La table mise et des visages amis, Considérez si c’est un homme Que celui qui peine dans la boue, Qui ne connaît pas de repos, Qui se bat pour un quignon de pain, Qui meurt pour un oui pour un non Considérez si c
Nom Prénom
Si c’est un verbe, je le conjugue au temps et à la personne que je veux Si c’est un nom, je l’écris au pluriel Si c’est un adjectif, je l’écris au féminin, au masculin pluriel et au féminin pluriel Si c’est possible : je peux aussi écrire ses homophones en faisant des phrases, écrire
Les thèmes - ac-aix-marseillefr
Si c'est un homme de Primo Levi Si c’est un homme est un récit autobiographique Primo Levi le précise dans la préface, tous les faits qu’il relate sont véridiques : alors qu’il a 24 ans, il est fait prisonnier par la milice fasciste et déporté dans le camp de Monowitz ( Auschwitz III)
Et si c’est un homme , poème liminaire de Primo Levi
Considérez si c'est un homme Que celui qui peine dans la boue, Qui ne connaît pas de repos, Qui se bat pour un quignon de pain, Qui meurt pour un oui pour un non Considérez si c'est une femme Que celle qui a perdu son nom et ses cheveux Et jusqu'à la force de se souvenir, Les yeux vides et le sein froid Comme une grenouille en hiver
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
Si (i) vrai et pas (ii), on peut trouver a ∈ A et b ∈ B avec a /∈ B et b /∈ A Mais alors a+b ∈ A∪B : faire deux cas et arriver `a une contradiction – M´ethode : Pour montrer qu’un espace E est un espace vectoriel : on peut montrer que E est un sous-espace vectoriel d’un espace dont on sait qu’il est un espace vectoriel
Chapitre 1 Identifier un corps pur
Pour identifier un corps pur, il existe plusieurs méthodes : changement d’état : il se fait à température constante dans le cas d’un corps pur (palier) et la température de changement d’état est différente d’un corps pur à un autre masse volumique : sa valeur est différente d’un corps pur à un autre Elle se mesure en
Devoir maison 1 - Corrigé
Un mot est un palindrome si sa première lettre est identique à la dernière, sa deuxième à l'aanvt- dernière etc ::: Il av donc falloir comparer chacune des lettres formant le mot à une autre lettre
Rappels de géométrie Droites Propriété
Propriété: Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c'est un carré Propriété: Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré Propriété: Si un losange a deux diagonales de même longueur, alors c'est un carré
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S
´eance Alg`ebre Lin´eaire : corrections.
Remarque g
´en´erale :les exercices qui suivent ne pourront sans doute pas tousˆetre trait´es dans les 3
heures; mais un certain nombre pourraˆetre cherch´e`a la maison.
1 Montrer qu"un espace est (ou n"est pas) un espace vectoriel
une intuition de ce qu"est un espace-vectoriel (non courbe, non born´e, contenant 0). Pour montrer que
En"est pas un espace vectoriel, on peut montrer que0/?E, ou qu"il existeaetbdansEaveca+b non dansE, ou en montrant qu"il existea?Eavecλa /?Epour un certainλ?R. Exercice 1Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels : a)E={(x,y,z)?R3:x2+y2+z2= 1}. b)F={(x,y,z)?R3:x+y+z= 0oux= 0} c)G={f:R→R:?10f2(x)dx= 1}.
d)Hest l"ensemble des matrices de taille2×2inversibles.Correction
a)(0,0,0)/?E. b)(0,1,0)?F,(1,-1,0)?F, et la somme(1,0,0)/?F. pour c) et d), regarder l"´el´ement nul.
Exercice 2SoitEunR-espace vectoriel, etAetBdeux parties deE. Montrez l"´equivalence entre (i) et (ii) : (i)A?Best un s.e.v. deE. (ii)A?BouB?A. Correction(ii) implique facilement (i). Si (i) vrai et pas (ii), on peut trouvera?Aetb?Bavec a /?Betb /?A. Mais alorsa+b?A?B: faire deux cas et arriver`a une contradiction. -M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :on peut montrer queEest un sous-espace vectoriel d"un espace dont on sait qu"il est un espace vectoriel. Exercice 3Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels : a)F={f:R→R:?10f(x)dx= 0}.
b)G={f:R→R: limx→+∞f(x) =f(1)}. c)H={(un)n?N:un+un+1= 2un+2}. d)H={f:R→R: 2π-p´eriodique}. CorrectionOn sait que l"ensemble des fonctions deRdansRest un espace vectoriel : reste`a mon-trer (pour a), b) et d)) queF,GetHcontiennent 0 et sont stables par combinaisons lin´eaires (facile).
Pour b) similaire.
1-M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :on peut montrer queEpeut s"´ecrire
V ect(...).
Exercice 4Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels, dont on pr´ecisera une
base : a)E={(x,y,z,t)?R4:x+y+z= 0,y+ 2z+t= 0}. b)Gest l"ensemble des matrices carr´ees de taille 3 dont la diagonale est nulle. Correctiona) On trouverE=V ect((-1,1,0,1),(-1,0,1,-2)).b)Gest engendr´e par les matrices dont les coefficients sont nuls, sauf un des coefficients, non sur la
diagonale, qui est´egal`a 1.
-M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :EcrireEcomme le noyau d"une application lin´eaire.
2 Ecritures
´equivalentes d"un espace vectoriel
M´ethode :On peut´ecrire un espace vectoriel sous forme d"´equations ou sous la forme de Vect(...). Il
faut savoir passer d"une forme `a l"autre.- SiE={(x1,...,xn)v´erifiantcertainesequations...};on´eliminecertainescoordonn´eesde(x1,...,xn)
a l"aide des´equations. - SiE=V ect(u1,...,uk); on´ecritx?Esi et seulement si il existe un uniquea1,...,aktel que x=?aiui. On r´esoud alors le syst`eme pr´ec´edent (`a param`etrex).Exercice 5
a) Ecrire sous forme d"´equations l"espaceE=V ect{(1,1,1),(0,1,0)}.
b) Ecrire sous forme de Vect l"espaceE={(x,y,z) :x+y+z= 0}. Correctiona) On trouverE={(x,y,z) :x=z}. Pour b) on trouveE=V ect((1,0,-1),(0,1,-1)).3 Famille libre, li
´ee,base
M´ethode :Pour montrer qu"une famille`an´el´ements est li´ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que
le nombre de pivots est<`an; cela fournit en mˆeme temps une base de l"espace.Exercice 6
1) Montrez que la familleF= ((1,1,1,1),(2,1,-1,0),(4,3,1,2))est li´ee, et trouver une base de
l"espace engendr´e par cette famille.
2) Trouver le param
`etrekr´eel tel que la familleH= ((1,1,1),(1,2,3),(1,-2,k))soit li´ee. CorrectionPour 1), une base est((1,1,1,1),(2,1,-1,0)). Pour 2), on trouvek=-5. M´ethode :Pour montrer qu"une famille est libre, on´ecrit qu"une combinaison lin´eaire`a coefficients
quelconques de cette famille est nulle, et l"on montre qu"alors les coefficients de cette combinaison sont
2 nuls. Exercice 7Montrez que les familles suivantes sont libres :1)F= (ex,ln(x),x), famille de l"espace des fonctions deR?+dansR.
2)H= ((1,0,-1),(0,1,2),(1,1,2)).
3) Si(e1,...,en)est une famille libre, montrez que(f1,...,fn)est libre, o`uf1=e1,f2=e1+e2, ...,
f i=e1+...+eipouri= 1,...,n. CorrectionPour 1) Sia.ex+b.ln(x)+c.x= 0pour toutx >0: on divise parexpuis on fait tendrexvers+∞d"o`ua= 0. Puis on prendx= 1, d"o`uc= 0. Puis en prenantx= 2,b= 0. Pour 2) simple r´esolution
de syst `eme. Pour (3), on utilise la d´efinition de libre, et on r´esoud. M´ethodePour montrer qu"une famille est une base : si on est en dimension finie, on montre que c"est
une famille libre den´el´ements d"un espace de dimensionn. Sinon, on ecrit l"espace comme Vect de la
famille en question. Exercice 8Montrez que la famille suivante est une baseF= (?0 1
1 0? ,?1 0 0 0? ,?0 0 0 1? famille de l"espace des matrices sym´etriques carr´ees de taille 2.
CorrectionSi l"on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le syst`eme est libre.
Exercice 9SoitF={(
(a b c 0d e 0 0f) ):a,b,c,d,e,fr´eels}. Montrer queFest un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension.CorrectionOn trouve 6 pour la dimension. Cet espace est engendr´e par les matrices`a coefficients nuls sauf
un coefficient, non en dessous de la diagonale, qui est 1.4 Inverse d"une matrice
M´ethode :Pour trouver l"inverse d"une matrice, soit on utilise la m´ethode du pivot, soit on utilise une
equation polynˆomiale v´erifi´ee par la matrice....Exercice 10
1) SoitA=(
(1 0 2 0-1 11-2 0)
). CalculerA3-A. En d´eduire queAest inversible, et calculer son inverse.2) SoitAune matrice carr´ees de taillentelle queA3+A2+In= 0. Montrez queAest inversible et
trouver son inverse.Correction1) On trouverA3-A= 4I3. DoncA(A2-I2)4
=I3d"ou l"inversibilit´e et l"inverse deA. Pour2) on remarqueA(-A2-A) =I3d"o`u l"inverse deAest-A2-A.
3Exercice 11
SoitAune matrice carr´ee d"ordre 2`a coefficients dansR.1) Montrer queA2-tr(A)A+det(A)I2= 0.
2) En Supposant queAest inversible, calculer l"inverseA-1deA.
CorrectionPour 1) simple calcul. Pour 2) m´ethode similaire`a l"exercice pr´ec´edent. 5 R´esolution d"un Syst`eme lin´eaire
M´ethode :La principale difficult´ee pour les´etudiant est d"´eviter de faire disparaˆıtre une´equation par
des manipulations non autoris ´ee. Une bonne mani`ere de travailler cela est de consid´erer des syst`emes`a pa- ram `etres, qui synth´etisent une bonne partie des difficult´es. Exercice 12D´eterminer les valeurs du r´eelatel que le syst`eme suivant : x+y-z= 1 x+ 2y+az= 22x+ay+ 2z= 3
i) n"admet pas de solution ii) admet une et une seule solution iii) admet une infinit´e de solutions.
CorrectionCe syst`eme admet une et une seule solution si et seulement siaest diff´erent de3et de-2,
n"admet pas de solution poura=-2et admet une infinit´e de solutions poura= 3.Exercice 13D´eterminer les valeurs des r´eelsa,b,ctel que le syst`eme suivant admet au moins une
solution : x+ 2y-3z=a3x+ 8y-14z=b
2x+ 4z=c
CorrectionSi et seulement sic-8a+ 2b= 0.
6 Calcul de Puissancen-`eme de matrice
M ´ethode :Calculer la puissancen-`eme d"une matrice : - On ´ecrit la matriceM=A+BavecAB=BAet on utilise la forume de binˆome de Newton, en esp´erant que pourkassez grand,AkouBksoit nul.
- On tente de deviner l"expression deMken regardant les premiers termes, puis l"on fait une r´ecurrence
(ceci est particuli `erement facile si la matriceMest solution d"un´equation alg´ebrique). 4Exercice 14
1) SoitA=?3 2
-2 2? . Montrer queAn=13 ?2n+2-(-1)n2n+1-2(-1)n -2n+1+ 2(-1)n-2n+ 4(-1)n?2) SoitA=(
(1 1 3 0 1 20 0 1)
). CalculerAnpour tout entiern. CalculerA-1.CorrectionPour 1) r´ecurrence. Pour 2), on´ecritA=I3+N, o`uNnilpotente, et on utilise le binˆome
de Newton. On trouveAn=( (1n n2+ 2n0 1 2n
0 0 1)
). PourA-1on trouve( (1-1-1 0 1-20 0 1)
), en faisant une analogie avec le D.L. de11+x...
7 Calcul de Noyau, d"image
M´ethode :D´eterminer l"image d"une application lin´eaire. Ecrire sous forme de Vect l"image d"une ap-
plication lin ´eaire : ecrire Imf=Vect{f(e1),...,f(en)}o`u(e1,...,en)est une base de l"espace de d´epart; pour trouver une base de cet espace, effectuer par exemple un pivot. M´ethode :D´eterminer le noyau d"une application lin´eairef: r´esoudre l"´equationf(x) = 0.
Exercice 15Trouver une base de Imfet de Kerf, avec :