CHIMIE MPSI - Dunod
La part de la chimie dans le programme de physique et chimie de la filière MPSI est mo-deste et le volume horaire associé l’est aussi La chimie partage avec les autres disciplines scientifiques des critères de méthodes et d’exigences et possède bien sûr ses spécificités À
Physique chimie MPSI
MPSI PHysique chimie en cours (des méthodes vers les exercices et des exercices vers les méthodes) qui permettent une lecture croisée de l’ouvrage
COURSDECHIMIE PCSI/MPSI/TSI - cpge maroc
1 1 RAPPEL COURS DE CHIMIE-PCSI/MPSI/TSI- On appelle mole de particules un en ensemble de NA particules; NA constante d’AVOGADRO sa valeur : NA = 6,022140857 ×1023 mol−1 On appelle masse molaire, la masse d’une mole notée M exprimée en kgmol−1 ou gmol−1 On appelle abondance isotopique le pourcentage massique d’un isotope
COURSDECHIMIE PCSI/MPSI/TSI
1 2 CINÉTIQUE FORMELLE :RÉACTIONS SIMPLES COURS DE CHIMIE-PCSI/MPSI/TSI- 1 1 2 2 INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE : On admet la loi d’Arrhenius : d lnk dT = Ea RT2 k :constante de la vitesse
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˘ˇ 4 ˙, ˆ ˆ , ˜ 5 ˆ, › fl › ,, ˆ , 40 5 ˆ, › fl › fl , , ˆ ˆ , , / ˆ#1# ˆ˛ ˙0 5 ˆ ,, › fl › fl › > ˇ c ˜ : ˇ ˇ #
Cours CH6 Équilibres d’oxydoréduction - David Malka MPSI
www david-malka-mpsi Cours CH6 Équilibres d’oxydoréduction DavidMalka D Malka–MPSI2020-2021–LycéeJeanned’Albret
M-V SPELLER I E GUÉLOU VISA POUR LA PRÉPA 2018-2019
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programme première année
Dans les cours,on tâchera à montrer que la chimie est une science vivante en multipliant les exemples tirés des différentes productions industrielles de la chimie ou des transformations chimiques qui se déroulent dans la nature
© Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-056030-1
L’objectif de ce résumé du cours est de permettre d’en revoir rapidement les points importants Pour cette raison, il ne remplace pas le cours, ne contient pas d’exemples et rentre peu dans les détails Cependant, il ne s’agit pas d’un simple formulaire : l’accent a été mis sur l’articulation logique entre les différents
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MPSIPHysique chimie-HDQ0LFKHO%DXGXLQu7KLHUU\%DUVu0"ODQLH&RXVLQu Conception et création de couverture : Dominique RaboinAvec la collaboration scienti?que de Nicolas Champavert© Dunod, 201711 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.comISBN 978-2-10-07683-0partagelivrescpge.blogspot.com Avant-propos"Quiconque a pensé pensera toujours, et l"entendement,une fois exercé à la réflexion, ne peut plus rester au repos.»J.-J. Rousseau,Émile, ou de l"éducationLes sciences physiquesLes sciences physiques ont pour objectif d"expliquer et de prévoir les phénomènes que nous pouvonsobserver. Par principe leurs lois, établies dans notre environnement terrestre, ont un caractèreuniversel : valables dans nos laboratoires, elles sont réputées applicables en tout lieu, jusqu"auxconfins de l"Univers, à toute date, dans le passé depuis la naissance de celui-ci, dans le présent etdans le futur, le plus lointain soit-il.L"expérimentation y joue un rôle central. Une théorie, un modèle, ne valent que si leurs prévisionssont en accord avec les résultats expérimentaux, aux incertitudes près.Expérimentation et développement théorique sont des moteurs qui se relaient l"un l"autre dansl"évolution des connaissances. Il est ainsi des étapes lors desquelles l"expérience permet de mettreen évidence un phénomène qui ne peut être expliqué par les théories existantes. Le travail duscientifique consiste alors à retoucher ces dernières, à les compléter, à en mettre de nouvelles enchantier pour rendre compte du phénomène observé. Il est à l"inverse d"autres étapes lors desquellesl"édifice théorique permet de prévoir un phénomène jusque-là inconnu. Le travail consiste alors àimaginer, à concevoir des expériences permettant de l"observer effectivement ou non et ainsi deconfirmer ou d"infirmer certains éléments de l"édifice théorique.L"histoire des sciences est riche d"exemples tels que mécanique newtonienne et observation dumouvement des planètes, théorie de l"électromagnétisme et prévision de l"existence des ondes élec-tromagnétiques, modèle standard de la physique des particules et prévision de l"existence du bosonde Higgs...L"ouvrageSon contenu est conforme à celui des programmes en vigueur.Mais, au-delà de cela, nous avons délibérément pris le parti de faire découvrir au lecteur les concepts,les lois de la physique et de la chimie dans le cadre de problématiques concrètes, en utilisant aussisouvent que possible des résultats expérimentaux. Au travers de cette démarche, notre ambitionest de lui donner le goût de l"expérimentation en le sensibilisant à la richesse d"une telle approche.En cela,nous avons cherché à mettre en avant l"esprit des programmes, qui valorisent letravail mené à partir de données expérimentales.Ainsi, nous avons également voulutenir compte de la tendance actuelle des problèmesde concours, qui évaluent de plus en plus l"aptitude à commenter et à exploiter des résultatsexpérimentaux.Toutes les expériences décrites et exploitées, aussi bien dans le cours que dans les exercices, ont étéeffectivement conçues pour la rédaction de l"ouvrage. Pour la plupart elles ont été mises au pointet réalisées par Frédéric Legrand, que nous remercions tous chaleureusement. Sa structureLa structure de chaque chapitre est la suivante.L"essentiel du cours, déroulé à partir d"une contextualisation servant de fil conducteur,présentant les concepts essentiels et les méthodes importantes. Des pictogrammes sont uti-lisés pour en faciliter la lecture :?: pour desquestions destinées à structurer l"exposé, questions qu"un étudiant cu-rieux pourrait être amené à se poser; nous l"incitons d"ailleurs à tenter d"y répondre aumoins partiellement avant de poursuivre sa lecture,: pour attirer l"attentionsur un point important,:pour mettre en valeurune remarqueintéressante ouune astuce.Uneinterrogation de courssous forme d"un QCM permettant au lecteur de tester rapi-dement sa compréhension des notions introduites dans l"essentiel du cours.Desexercicesde niveaux progressifs, comprenant des liens avec les méthodes développéesen cours (des méthodes vers les exercices et des exercices vers les méthodes) qui permettentune lecture croisée de l"ouvrage.Lescorrigésde l"interrogation de cours et des exercices.RemerciementsNous tenons à remercier l"ensemble du personnel du laboratoire de sciences physiques du lycéeChateaubriand de Rennes pour son assistance et ses encouragements dans la réalisation des nom-breuses expériences conçues pour cet ouvrage. Nous remercions Joëlle Vidal, professeur de chimieà l"université de Rennes 1, pour ses conseils concernant la partie chimie. Merci également auxcollègues qui nous ont fait part de leurs observations. Enfin, ces remerciements ne sauraient êtrecomplets sans une mention spéciale à tous nos proches pour leur infinie patience!partagelivrescpge.blogspot.com Table des matièresPartie 1 Signaux physiques1 Oscillateur harmonique .................................................72 Propagation et superposition des signaux........................233 Optique géométrique ..................................................614 Introduction au monde quantique ..................................975 Circuits électriques dans l"ARQS .................................1176 Circuits linéaires du premier ordre................................1477 Oscillateurs amortis ..................................................1718 Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé..........................1939 Filtrage linéaire........................................................217Partie 2 Mécanique10 Cinématique du point et du solide..............................25311 Loi de la quantité de mouvement...............................28512 Approche énergétique..............................................31313 Mouvements de particules chargées............................34514 Loi du moment cinétique..........................................36715 Champ de force centrale ..........................................397Partie 3 Thermodynamique16Systèmethermodynamiqueàl"équilibre.......................427 (V)Figure 1.3. Résultats expérimentaux.Le bloc (A/N) représenté figure 1.2 est un convertisseur analogique-numérique qui permet deconvertir les signaux analogiques délivrés par nos capteurs en signaux numériques pouvant êtreacquis et traités par ordinateur. La double intégration temporelle de l"accélération permettantd"obtenir la position est réalisée à l"aide d"un script Python.Le déplacementx(t) de la branche du diapason autour de sa position d"équilibre et la tensionu(t) à la sortie de l"amplificateur sont représentés sur la figure 1.3. Nous constatons que ces deuxsignaux ont des allures très proches de celle d"une sinusoïde. Une analyse spectrale, méthode quisera développée dans le chapitre 2 consacré à la propagation d"un signal, permet de le confirmer.Nous allons donc les modéliser comme étant deux signaux sinusoïdaux.?Comment déterminer les caractéristiques de ces signaux sinusoïdaux?Cherchonsx(t) sous la formex(t)=Xmcos(ωt+?x).Sur la courbex(t) de la figure 1.3, on mesureT=3,9ms,Xm=1,3μm etx(0) = 1,3μm.On en déduitf=1T=2,6·102Hz etω=2πf=1,6·103rad·s-1.partagelivrescpge.blogspot.com L"essentiel du cours 9Par ailleurs,x(0) =Xmcos(?x)=Xmimplique que cos(?x) = 1 et par conséquent?x=0.Au final, nous avonsx(t)=Xmcos(ωt) avecXm=1,3μm.De la même manière, cherchonsu(t) sous la formeu(t)=Umcos(ωt+?u).Sur la courbeu(t) de la figure 1.3, on mesure la même période que pourx(t) donc la mêmefréquence et la même pulsation, etUm=0,55V. Enfinu(0) =Umcos(?u)=-0,42V permetde déterminer cos(?u)=-0,42/0,55. On en déduit?u=±2,4rad. Pour choisir entre cesdeux valeurs, intéressons-nous au signe de la dérivée deu(t)àt=0.dudt=-Umωsin(ωt+?u)doncdudt(0) =-Umωsin(?u). La fonctionu(t) étant décroissante àt= 0, sin(?u)>0, etla solution qui convient est?u=2,4rad. Au final, nous obtenonsu(t)=Umcos(ωt+2,4)avecUm=0,55V etω=2πf=1,6·103rad·s-1.Soit un signal sinusoïdal de la formex(t)=Ccos(ωt+?).Pour déterminer l"amplitudeC=zmax-zmin2, mesurerzmaxetzmin.Pour déterminer la pulsationω, mesurer la périodeTet en déduireω=2πT.Pour déterminer?, mesurerz(0) =Ccos(?), en déduire?=±arccos?z(0)C?puischoisir le bon signe en fonction du sens de variation deu(t)àt=0.Méthode 1.1 : Détermination des caractéristiques d"un signal sinusoïdalExercice (1.1)La fonction arccos(?) est définie sur l"intervalle [-1,1] et donne des valeurs sur l"intervalle [0,π].Le signalx(t)=Ccos(ωt+?) peut être mis sous la formex(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt).Pour justifier cette remarque, développons la première expression dex(t):Ccos(ωt+?)=Ccos(?)cos(ωt)-Csin(?)sin(ωt)Par identification à la seconde expression dex(t), nous obtenons :A=Ccos(?)etB=-Csin(?) avec (A,B)?R2Si on connaîtCet?ces relations permettent de déterminerAetB. Si à l"inverse on connaîtAetB, on peut en déduireCet?tels que :C=⎷A2+B2et tan(?)=-BA.La fonction arctan(?) est définie surRet donne des valeurs sur l"intervalle ]-π/2,+π/2[. Pour déterminer?qui est défini sur [-π,+π], il est important d"étudierau préalable le signe de cos(?)=ACou de sin(?)=-BC. L"essentiel du cours 11Le graphe obtenu est présenté figure 1.5. Nousconstatons une allure sinusoïdale qui peut êtreconfirmée par une analyse spectrale, méthodeque nous avons déjà évoquée dans l"expériencedu diapason et qui sera développée dans le cha-pitre 2.Cela nous amène à considérer que le corps (S)accroché au ressort se comporte comme un os-cillateur harmonique et quex(t) doit être solu-tion de l"équation différentielled2xdt2+ω20x=0.Nous en déduisons quex(t) peut se mettre sousune des deux formes équivalentes :?x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)x(t)=Ccos(ω0t+?)012345t(s)-6-4-20246 (cm)Figure 1.5. Position expérimentale.Étude théorique du mouvement d"une masse accrochée à un ressortUne étude théorique nécessite d"être capable d"exprimer la force exercée par le ressort sur le so-lide (S). Ce ressort est caractérisé par sa constante de raideurk(en N·m-1) et sa longueur àvide?0(en m). Lorsque la longueur?du ressort est égale à sa longueur à vide, le ressort n"exerceaucune force sur le solide. Par contre, si le ressort est étiré (?>?0) il tire sur le solide, alors ques"il est comprimé (? Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com L"essentiel du cours 13C"est l"équation del"oscillateur harmonique avec second membre constantoùω0est lapulsation proprede l"oscillateur harmonique et oùxeqrepère saposition à l"équilibre.On peut montrer quetoutesolution de cette équation peut se mettre sous une des deuxformes équivalentesx(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+xeqoux(t)=Ccos(ω0t+?)+xeqqui constituent donc les formes de sasolution générale.L"équation différentielle de l"oscillateur harmonique avec second membre constant est :d2xdt2+ω20x=KavecK?RPour trouverla solution au problème physiqueétudié il faut procéder par étapes :Écrire la solution générale de l"équation différentielle sans second membre (équationhomogène) :x1(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)=Ccos(ω0t+?).Déterminer la solution particulière constantex2de l"équation différentielle complète,avec second membre constant :x2=K/ω20. C"est la position d"équilibre du système.Écrire la solution générale de l"équation différentielle complète, avec second membreconstant sous la formex(t)=x1(t)+x2.Calculer les constantes d"intégration (A,B)ou(C,?) à partir des conditions initiales.Méthode 1.3 : Recherche de la solution de l"équation avec second membreExercice (1.2)Dans l"étude d"un oscillateur il est souvent plus simple de prendre l"origine à la positiond"équilibre. L"équation différentielle à laquelle on aboutit est alors homogène.?4 Aspect énergétiqueNous verrons dans les chapitres suivants que l"étude d"un système oscillant ne peut aboutir àl"équation différentielle de l"oscillateur harmonique, homogène ou avec second membre constant,que siles phénomènes dissipatifs d"énergie sont négligés.?Comment se comporte au cours du temps l"énergie d"un oscillateur harmonique?Reprenons une dernière fois notre expérience d"une masse accrochée à un ressort (figure 1.4),en prenantl"origine à la position d"équilibre. Nous verrons au chapitre 12 que pour untelsystème mécaniquenous pouvons définirtrois types d"énergie:L"énergie cinétiqueEc=12mx2.L"énergie potentielleEp=12kx2.L"énergie mécaniqueEm=Ep+Ec.Nous savons quex(t)=x0cos(ω0t) avecω0=?k/m. Nous en déduisons :Ep=12kx2=12kx20cos2(ω0t)etEc=12mx2=12mx20ω20sin2(ω0t) Interro de cours 15InterrodecoursUne petite perle de massempercée en son centre est enfilée sur un axe horizontal. Accrochée àl"extrémité d"un ressort horizontal de constante de raideurket de longueur à vide?0, elle peutglisser sans frottement sur l"axe.x(k,l0)MO1.La perle est assimilée à un pointMdont la position est repérée par le paramètrex=OM.Sachant que l"origine de l"axe (Ox) est pris au niveau de la position d"équilibre de la perle,déterminer l"expression du paramètrexen fonction de la longueur?du ressort et de?0.(a)x=?.(b)x=?-?0.(c)x=?+?0.(d)x=?0-?.2.Le système masse-ressort décrit précédemment constitue un oscillateur harmonique dont l"équa-tion du mouvement est :d2xdt2+kmx= 0. Rappeler l"expression de la solution généralex(t)decette équation différentielle et préciser l"expression de la pulsation propre des oscillations enfonction des données.(a)x(t)=Acos(ω0t)sin(ω0t)etω0=k/m.(b)x(t)=Ccos(ω0t+?)etω0=?m/k.(c)x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)etω0=?k/m.(d)x(t)=Ccos(ω0t)etω0=?k/m.3.On lance la perle depuis sa position initiale# »OM(0) =x0#»uxavec une vitesse#»v(0) =v0#»ux.Endéduire l"expression de la solutionx(t) vérifiant ces conditions initiales.(a)x(t)=x0cos(ω0t).(b)x(t)=x0cos(ω0t)+v0sin(ω0t).(c)x(t)=x0cos(ω0t)-v0sin(ω0t).(d)x(t)=x0cos(ω0t)+v0ω0sin(ω0t).4.Sachant quex0>0etv0>0, déterminer la représentation graphique correspondant à l"expé-rience décrite précédemment.t(s)x(cm)012345-4-2024Figure 1t(s)x(cm)012345-4-2024Figure 2t(s)x(cm)012345-4-2024Figure 3 Exercices 17ExercicesExercice 1.1 Les valeurs de SophieMéthode (1.1)Étudiante en MPSI, Sophie réalise l"enregistrement du mouvement de trois oscillateurs harmoniquesrappelé sur la figure ci-dessous.0.00.51.01.52.02.53.0t(s)-3-2-10123 (cm)x1(t)x2(t)x3(t)Elle propose alors les expressions suivantes :x1(t)=A1cos(ω1t);x2(t)=A2cos(ω2t)etx3(t)=A3cos(ω3t)avecA1=2,0m,A2=1,5m,A3=3,0m,ω1=ω2=6,0rad·s-2,ω3=8,0rad·s-2.1.Vérifier les valeurs des amplitudes et des pulsations proposées par Sophie en portant un soinparticulier aux unités proposées. Corriger si nécessaire.2.Sophie a omis d"indiquer la phase à l"origine dans les trois cas. Réparer cet oubli et proposerdes expressions dex1(t),x2(t)etx3(t).Exercice 1.2 Un peu d"écritureMéthodes (1.2) (1.3)L"abscissex(t) d"un point matérielMobéit à l"équation différentielle suivante : ¨x+ω20x=ω20xe.La position et la vitesse initiales deMsont respectivementx(0) =x0et x(0) =v0.1.En écrivant la solutionx(t) sous la formex(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+xp, exprimerA,B,xpetω.2.Montrer quex(t) peut aussi s"écrire sous la formex(t)=Ccos(ωt+?)+xp. Déterminer lesexpressions deCet?.3.On prendxe=0,0m etω0=6,0rad·s-1. CalculerA,B,xppuisCet?avec les conditionsinitiales :a.x0=1,0metv0=6,0m·s-1.b.x0=-1,0metv0=6,0m·s-1. Exercices 19Exercice 1.6 DivergenteL"abscissex(t) d"un point matérielMobéit à l"équation différentielle ¨x-ω20x=ω20xe.1.Déterminer la position d"équilibrexeqdeM.2.L"expressionx(t)=x0cos(ω0t)+xeqest-elle solution de l"équation différentielle?3.L"expressionx(t)=x0exp(ω0t)+xeqest-elle solution de l"équation différentielle? Dans l"affir-mative, cette solution est-elle périodique? Divergente? Que peut-on alors dire de la stabilitéde la position d"équilibrexeq? Corrections 21Exercice 1.31.La fréquence d"oscillation d"un corps de masseMau bout du ressort de raideurkest donnée parf=12π?kM, soitM=k4π2f2. On aura donc ainsim0=k4π2f20etm+m0=k4π2f21=kT24π2.Onendéduitm+m0m0=T2f20, soitm=m0(T2f20-1) = 69kg.2.k=4π2f20m0=6,0·102N·m-1.Exercice 1.41.L"énergie potentielle élastique deMestEpe=12k(x-l0)2, son énergie cinétiqueEc=12mv2, le systèmeest conservatif doncEm=12k(x-l0)2+12mv2=12k(l0-a-l0)2. On aura ainsi :12mv2=12ka2-12k(x-l0)2. La vitesse maximale est obtenue pourx=l0et on obtient :vmax=a?km=9,9m·s-1.2. a.On cherchex(t)=l0+Acos(ω0t)+Bsin(ω0t). La prise en compte des conditions initiales amèneàx(0) =l0-a=l0+Aet x(0) = 0 =Bω0. On a doncx(t)=l0-acos(ω0t).b.La vitesse deMest x(t)=aω0sin(ω0t). La vitesse maximale est doncvmax=a?km.Exercice 1.51.a¨xs"exprime en m·s-2. L"unité debsera donc s-2, et l"unité decm·s-2.2.Cas (1) : c"est l"équation d"un oscillateur harmonique, de pulsationω1=⎷b=2,2rad·s-1.Onpeut donc écrirex1(t)=Acos(ω1t)+Bsin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amèneà:x1(0) =A=1,0m et x1(0) = 0 =Bω1, soitx1(t)=1,0cos(ω1t). La période de l"oscillateur estT1=2πω1=2,8s.Cas (2) : c"est l"équation d"un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsationω2=⎷b,soitω2=2,4rad·s-1. On peut donc écrirex2(t)=Acos(ω2t)+Bsin(ω2t)+cb. La prise encompte des conditions initiales amène à :x2(0) =A+43=1,0m et x2(0) = 0 =Bω2, soitx2(t)=-0,33cos(ω2t)+1,3. La période de l"oscillateur estT2=2πω2=2,6s.(3) : l"équation peut se réécrire ¨x+bax= 0; c"est l"équation d"un oscillateur harmonique, depulsationω3=?b/a=0,71rad·s-1. On peut donc écrirex3(t)=Acos(ω3t)+Bsin(ω3t). Laprise en compte des conditions initiales amène à :x3(0) =A=1,0m et x3(0) = 0 =Bω3, soitx3(t)=1,0cos(ω3t). La période de l"oscillateur estT3=2πω3=8,9s.3.Cas (1) : c"est l"équation d"un oscillateur harmonique, de pulsationω1=⎷b. On peut donc écrirex1(t)=Acos(ω1t)+Bsin(ω1t). La prise en compte des conditions initiales amène à :x1(0) =A=0,0m et x1(0) =Bω1=1,0m·s-1, soitx1(t)=0,45sin(ω1t).Cas (2) : c"est l"équation d"un oscillateur harmonique avec un second membre, de pulsationω2=⎷b.On peut donc écrirex2(t)=Acos(ω2t)+Bsin(ω2t)+cb. La prise en compte des conditions initialesamène à :x2(0) =A+43=0,0m et x2(0) =Bω2=1,0m·s-1, soit :x2(t)=-1,3cos(ω2t)+0,41sin(ω2t)+1,3. (rad)Figure 2.2. Représentation fréquentielle.Soit un signals(t) résultant de la superposition de signaux sinusoïdaux de fréquencesfn,d"amplitudesCn?R+et de phase à l"origine?n?[-π,+π]:s(t)=?nCncos(2πfnt+?n)Sa représentation fréquentielle est composée de deux graphiques :Spectre en amplitude: barres verticales de longueursCnet d"abscissesfn.Spectre de phase à l"origine: segments verticaux de coordonnées [(fn,0),(fn,?n)].Définition : Représentation fréquentielle d"un signal?Comment reconstituer le signalu(t)à l"aide de sa représentation fréquentielle?D"après sa représentation fréquentielle donnée figure 2.2, le signalu(t) comporte deux composantessinusoïdales de fréquencesf1= 262Hz etf2= 440Hz. La lecture des amplitudes sur la figure 2.2nous permet d"écrire :u(t)=C1cos(2πf1t+?1)+C2cos(2πf2t+?2) avecC1=7,0V,?1=π,C2=4,0Vet?2=-π/4.Analyse spectrale d"un signal périodiqueCette analyse spectrale s"appuie sur un théorème mathématique,le théorème de Fourierquipermet de considérer unsignal périodiquecomme une somme de signaux sinusoïdaux et de ledécomposer ensérie de Fourier.partagelivrescpge.blogspot.com L"essentiel du cours 25Un signals(t) périodique de périodeT, de fréquencef=1/T, peut s"écrire comme une sommede signaux sinusoïdaux de fréquences multiples def, soitnf, constituant sa décompositionensérie de Fourier:s(t)=s0++∞?n=1[Ancos(2πnft)+Bnsin(2πnft)] =s0++∞?n=1Cncos(2πnft+φn)oùn?N?,Cn?R+,φn?]-π,+π]et(An,Bn)?R2.Définition : Décomposition en série de Fourier d"un signal périodiqueLe théorème de Fourier donne les moyens de calculer les coefficientAn,BnetCn:An=2T?T0s(t)cos(2πnft)dtBn=2T?T0s(t)sin(2πnft)dtCn=?A2n+B2nCes expressions ne sont toutefois pas au programme.Quelques éléments de vocabulaire :s0est lavaleur moyenne du signal:s0=?s(t)?=1T?T0sM(t)dt.Cncos(2πnft+φn) est sonharmonique de rangn, un signal sinusoïdal dont la fréquenceest un multiple entier de la fréquencef.L"harmonique de rangn= 1 porte le nom defondamental.fn=nf,Cnetφnsont respectivement la fréquence, l"amplitude et la phase à l"origine del"harmonique de rangn.À titre d"exemple, intéressons-nous à une même note de musique, un Do3, jouée par deux instru-ments différents, un piano et une guitare. À l"aide d"une carte d"acquisition et d"un ordinateur nousavons mémorisé la tensionu(t) prélevée aux bornes du microphone utilisé pour les enregistrements.Puis nous avons réalisé une analyse spectrale de ces signaux avec Python. Les résultats sont donnésci-dessous :05101520t(ms)-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6 uPiano Do3Figure 2.3. Évolution temporelle.05001000150020002500300035004000f(Hz)0.000.050.100.150.20 UGuitare Do3Figure 2.6. Spectre en amplitude.Sur les deux courbes d"évolution temporelle nous mesurons une périodeT=3,8ms, qui correspondà une fréquencef=2,6·102Hz. Sur les deux spectres en amplitude, nous relevons un premierpic, le plus important, pour une fréquencef= 262Hz. C"estla fréquence fondamentale. Ellecorrespond à une périodeT=3,82ms, en accord avec les mesures faites sur les courbes de repré-sentation temporelle. Nous observons par ailleurs sur chaque spectre la présence d"harmoniquesdont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale.Ainsi les deux notes jouées correspondent à des signaux de même période, dont les harmoniquesfondamentales ont même fréquence. C"est cette fréquence fondamentale, égale à l"inverse de lapériode du signal, qui fait lahauteurde la note. En revanche les spectres diffèrent par le nombrede leurs harmoniques et les valeurs relatives de leurs amplitudes par rapport à celle du fondamental.Ce sont ces harmoniques qui font letimbrede l"instrument de musique. Tout en ayant la mêmehauteur les deux notes ne sont pas perçues de la même façon.Sur les exemples précédents nous avons noté que l"amplitude du fondamental est plus grande quecelles des harmoniques, qui décroissent lorsque leur rangnaugmente.Ce n"est pas toujours le cas comme le montre lespectre du Do3joué par une clarinette et repré-senté sur la figure 2.7.Nous remarquons dans ce cas un fondamental à259Hz (la clarinette n"est pas accordée avec lesdeux instruments précédents). Nous notons éga-lement l"absence des premiers harmoniques derangs pairs et l"importance des premiers harmo-niques de rangs impairs. L"harmonique de rang 2est quasiment absent, les harmoniques de rang 3(octave + quinte) et de rang 5 (double octave+ tierce) sont plus intenses que le fondamental.Les amplitudes des harmoniques de rangs plusélevés sont ensuite globalement de plus en plusfaibles.05001000150020002500300035004000f(Hz)0.000.050.100.150.200.250.30 L"essentiel du cours 27Les ordres de grandeur des fréquencesdes signaux rencontrés sont très différents d"un domaineà l"autre de la physique. Citons par exemple :Son audible par l"oreille humaine :f?[20Hz,20kHz].Ondes électromagnétiques du domaine radioélectrique :f?[9kHz,300GHz].Lumière visible par l"il humain :f?[4·1014Hz,8·1014Hz].?2 Ondes progressivesUn signal sonore est engendré par une très faible variation de pression de l"air autour de la pressiond"équilibre, appelée pression acoustique. Dans la partie précédente, nous avons enregistré à l"aided"un microphone un son émis par un instrument de musique. Il a donc fallu que laperturbationque constitue lapression acoustique, générée au voisinage immédiat de l"instrument, se propagede proche en proche jusqu"à la membrane du microphone, générant ainsi ce qu"on appelle uneondeprogressive.Uneonde progressiveest la propagation deproche en prochedans l"espace devariationstemporellesd"un signal, générées au voisinage d"un point,sans transport de matière.Définition : Onde progressiveLa notion d"onde progressive est une notion abstraite. L"étude d"une onde nécessited"identifier la grandeur physique qui se propage.Dans une salle de concert, les sons émis sont complexes et se propagent dans toutes les directions.Pour étudier expérimentalement ce phéno-mène de propagation dans le domaine acous-tique, nous avons enregistré en laboratoire leson émis par un claquement de mains (ap-plaudissements). Le dispositif utilisé est dé-crit figure 2.8 et les résultats sont donnésfigures 2.9 et 2.10.Deux microphonesM1etM2, munis d"am-plificateurs, sont placés sur une potence,à des distances différentesd1etd2d"unesource sonore. Les microphones sont fixés àenviron 60cm au dessus de la table et leurmembrane a un diamètre de 10mm.d1d2M1M2s1(t)s2(t)A/NFigure 2.8. Dispositif expérimental. (V)τ=3,0msd2= 150cmFigure 2.10. Zoom sur les signaux.Nous constatons que le signal sonore est perçu par le microphoneM2avec un certain retard sur lemicrophoneM1. Ce retard est lié à lacéléritécde l"onde sonore.La célérité d"une onde progressive est la vitesse à laquelle les variations temporelles de lagrandeur physique étudiée se propagent dans l"espace.Définition : Célérité d"une onde progressive?Quelle est la céléritécdu son dans l"air?Notonsτl"écart temporel entre les réceptions du signal par les deux microphones. Sur les zoomsdes enregistrements de la figure 2.10 nous mesurons, au niveau des premiers fronts montants, unretardτ=3,00ms±0,05ms pour une distanced=d2-d1= 100,0cm±0,5cm. Cela nous conduità une céléritéc=d/τ= 333m·s-1±10m·s-1, en accord avec la valeur connue de 340m·s-1à20°C sous une pression de 1bar.?Comment traduire la propagation d"un signal se propageant dans la direction etle sens d"un axeOxavec une céléritéc?Un signal est émis dans la direction et le sens de#»ux,pendant une duréeTs, par une sourceSsituée enO.x#»uxOSMNLa figure 2.11 en donne l"évolution temporellef(t) au niveau de la source pourt?[0,Ts]. Noussupposerons qu"il se propage sans déformation ni atténuation.partagelivrescpge.blogspot.com L"essentiel du cours 29tsS(t)=f(t)OTsFigure 2.11. Allure dusignal au niveau de lasource.tsM(t),sN(t)OτMτM+TsτNτN+TsMNFigure 2.12. Allure du signal reçu enMetN.La valeursM(t) du signal en un pointMd"abscissexMpositive, à la datet, correspond alors à savaleursS(t-τM) lors de son émission par la source à la date (t-τM),τM=xM/cétant le tempsnécessaire à sa propagation deSenMà la céléritéc. Nous pouvons donc écrire :sM(t)=sS(t-τM)=sS(t-xM/c). Il en est de même pour la valeursN(t) du signal enNd"abscissexN>xM:sN(t)=sS(t-τN)=sS(t-xN/c), comme l"illustre la figure 2.12.Nous pouvons alors écrire pour tout point d"abscissex>0:s(x,t)=sS(t-τ)=sS(t-x/c)=f(t-x/c)En faisant le changement de variablet-x/c→x-cton peut aussi mettres(x,t) sousla formes(x,t)=g(x-ct).?Et si le signal se propage dans le sens négatif?Il suffit de changercen-cet on obtient :s(x,t)=f(t+x/c)=g(x+ct).Un signals(x,t) se propageant sans déformation ni atténuation dans la direction d"un axeOxpeut se mettre sous la forme :Pour une propagation dans le sens desxcroissants :s(x,t)=f(t-x/c)ous(x,t)=g(x-ct)Pour une propagation dans le sens desxdécroissants :s(x,t)=f(t+x/c)ous(x,t)=g(x+ct)Définition : Représentation mathématique d"une onde progressive?Comment représenter mathématiquement une onde progressive sinusoïdale?Considérons le cas où la source est placée enOet émet un signal sinusoïdals(t)=S0cos(ωt+?0),de pulsationω, d"amplitudeS0et de phase à l"origine?0. Supposons que ce signal se propage sansdéformation ni atténuation dans la direction de l"axeOx, dans le sens desxcroissants. D"après cequi précède, son expression en un point d"abscissexest de la forme :s(x,t)=s(0,t-τ), soit :s(x,t)=S0cos(ω(t-τ)+?0)=S0cos?ω?t-xc?+?0?=S0cos?ωt-ωcx+?0?. En posantk=ωc, on aboutit à :s(x,t)=S0cos(ωt-kx+?0). C"est l"expression d"uneonde progressive L"essentiel du cours 31Périodicité temporelle(figure 2.13) :S0cos?ω?t+2πω?-kx+?0?=S0cos(ωt-kx+?0).On en déduit la période temporelleT=2πω.Périodicité spatiale(figure 2.14) :S0cos?ωt-k?x+2πk?+?0?=S0cos(ωt-kx+?0).On en déduit la période spatialeλ=2πk.Les périodes temporelle et spatiale sont liées :k=ωc?λ=2πk=2πωc?λ=cT.On peut définir d"autres caractéristiques temporelles et spatiales d"une onde harmonique.Caractéristiques temporelles:- Période temporelle :T(en s).- Fréquence temporelle :f=1/T(en Hz).- Pulsation temporelle :ω=2πT=2πf(en rad·s-1).Caractéristiques spatiales:- Période spatiale oulongueur d"onde:λ(en m) avecλ=cT.- Fréquence spatiale :σ=1/λ(en m-1).- Pulsation spatiale :k=2πλ=2πσ(en rad·m-1) aveck=ωc.Définition : Caractéristiques temporelles et spatiales d"une onde harmoniqueÉtude expérimentale d"une onde sonore progressive et harmoniquePour illustrer cette notion d"onde harmonique progressive, étudions la propagation d"une note demusique enregistrée en laboratoire avec le même dispositif que celui décrit sur la figure 2.8. Lasource est un haut-parleur relié à un ordinateur. Un son sinusoïdal de fréquencef= 200Hz estgénéré par l"ordinateur. Deux microphones, reliés à des amplificateurs, sont placés à des distancesd1=15cmetd2= 50cm du haut parleur. Les enregistrements des tensions acquises à la sortiedes amplificateurs sont donnés sur la figure 2.15.0246810t(ms)-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 L"essentiel du cours 33Pour déterminer le déphasage Δ?2/1=?2-?1du signals2(t) sur le signals1(t):Mesurer le retard temporelτdes2(t)surs1(t).Mesurer la périodeTdes signaux.Déterminer Δ?2/1:Δ?2/1=?2-?1=-ωτ=-2πTτ.Méthode 2.1 : Détermination d"un déphasage entre deux signaux sinusoïdauxExercice (2.1)Pour Δ?2/1?]-π,π], on peut citer quelques cas particuliers :Δ?2/1= 0 : les 2 signaux sont en phase.Δ?2/1=π: les 2 signaux sont en opposition de phase.Δ?2/1?]-π,0[ : le signal (2) est en retard par rapport au signal (1).Δ?2/1?]0,+π[ : le signal (2) est en avance par rapport au signal (1).Δ?2/1=-π/2 : le signal (2) est en quadrature retard par rapport au signal (1).Δ?2/1=π/2 :S le signal (2) est en quadrature avance par rapport au signal (1).?3 Phénomène d"interférenceLe phénomène d"interférence résulte de la superposition de deux ondes sinusoïdales de mêmepulsationω(donc de même fréquence) dont le déphasage est indépendant du temps.Définition : Le phénomène d"interférence?Que se passe-t-il lorsqu"on superpose deux ondes sonores de même pulsation?Pour répondre à cette question nous avons réalisé l"expérience décrite par la figure 2.17, en utilisantdes transducteurs piézoélectriques travaillant dans le domaine ultrasonore.Les émetteursE1etE2, branchés sur le même GBF, sont alimentés par une tension si-nusoïdale de fréquencef= 40kHz, et créent au niveau de leurs membranes des surpressionspi(t)=P0cos(ωt+?0). En se propageant celles-ci génèrent deux ondes ultrasonores.Un récepteurRrelié à un amplificateur produit à la sortie de celui-ci une tensionu(t), imagede la pression acoustiquep(t) arrivée au niveau de sa membrane.Les émetteurs, placés sur un banc optique, sont distants dea=10,0±0,1cm. Le récepteur, dontla position peut être repérée au millimètre près, est placé sur un autre banc d"optique parallèle àcelui des émetteurs et distant ded=80,0±0,5cm de ce dernier. Les émetteurs et le récepteursont placés à la même hauteur. )Figure 2.18. Interférencesd"onde ultrasonores.Pour commencer, nous avons allumé un émetteur puis l"autre, tour à tour, et mesuré aux bornesdu récepteur une tension amplifiée du typeui(t)=U0icos(ωt+?i) pour chaque émetteur allumé.À l"aide d"un traitement numérique nous avons ensuite calculé la tension efficaceUi=U0i/⎷2 quenous avons élevé au carré afin d"obtenir l"intensité sonoreIiau niveau du récepteur à un facteurde proportionnalité près. (En effet, il faut savoir que l"intensité sonoreIest proportionnelle à lavaleur moyenne du carré de la pression acoustique :I=α?p2(t)?. DoncI=βU2.) Puis nous avonsrecommencé avec les deux émetteurs allumés simultanément. La figure 2.18 présente les résultats.La fenêtre du haut présente les courbesU21etU22obtenues en ne faisant fonctionner qu"un émetteur,respectivementE1etE2. Nous observons que l"intensité sonore captée,I1dans un cas,I2dansl"autre est maximale lorsque le récepteur est placé face à l"émetteur en fonctionnement.La fenêtre du bas présente la courbe obtenue en faisant fonctionner les deux émetteurs ensemble.Elle est très différente des précédentes. L"intensité sonore captéeIpasse par une succession devaleurs quasi-nulles et de valeurs maximales lorsque nous déplaçons le récepteur par rapport auxsources.Elle n"est pas la somme deI1etI2.Nous mettons ainsi en évidence le phénomène d"interférence de deux ondes sinusoïdales demême fréquence.Approche théorique du phénomène d"interférencePour étudier ce phénomène qu"on peut rencontrer chaque fois que deux ondes progressives sinusoï-dales de même fréquence se superposent, considérons une formulation plus générale, valable pourtout type d"onde (sonore, lumineuse, etc.).Considérons deux sourcesS1etS2émettant deux ondes sinusoïdales de même pulsationω.Lesignal émis par la sourceSiest de la formesi(t)=S0icos(ωt) au niveau de la source elle-même etsi(M,t)=Sicos(ωt-kdi) au niveau d"un pointMsitué à une distancedideSi.Le signal résultant de la superposition au pointMdes deux ondes progressives est de la formes(M,t)=s1(M,t)+s2(M,t)=S1cos(ωt-kd1)+S2cos(ωt-kd2). Ce signal, somme de deuxpartagelivrescpge.blogspot.com L"essentiel du cours 35fonctions sinusoïdales de même pulsationωest lui-même une fonction sinusoïdale de pulsationω.Nous pouvons donc la chercher sous la formes(M,t)=Scos(ωt+φ).?Comment déterminer l"amplitude du signal résultant de la superposition de deuxsignaux sinusoïdaux de même pulsation?Pour répondre à cette question, nous allons utiliser lareprésentation de Fresnel.À un signal sinusoïdal de la forme :s(t)=Scos(ωt+?)la représentation de Fresnel associe dans le plan (Oxy)le vecteur#»S(t) de norme?#»S?=Set faisant un angle??#»ux,#»S?=ωt+?avec l"axe (Ox).Ce vecteur tourne dans le plan (Oxy) autour de l"axeOzà la vitesse angulaireω.xyO#»S(0)?#»S(t)ωt+?Définition : Représentation de FresnelEn utilisant la représentation de Fresnel, représentons dansle même plan (Oxy) les vecteurs#»S1(M,t)et#»S2(M,t)as-sociés aux signauxs1(M,t)ets2(M,t) (figure 2.19).Le vecteur#»S(M,t) associé au signal résultant est défini par#»S(M,t)=#»S1(M,t)+#»S2(M,t).Les vecteurs#»S1(M,t)et#»S2(M,t) tournant autour del"axeOzà la même vitesse angulaireω, leur écart angulairene varie pas au cours du temps et la figure tourne sans sedéformer. Nous en déduisons que le vecteur#»S(M,t) tournelui-aussi à la vitesse angulaireωet que son module resteconstant. Cela confirme l"expression du signal résultant quis"écrit sous la formes(M,t)=Scos(ωt+?).L"amplitudeSdu signal résultant ne dépend que dudéphasage entre les signauxs1(M,t)ets2(M,t).xyOωt+?1#»S1(M,t)ωt+?2#»S2(M,t)#»S(M,t)Figure 2.19. Construc-tion de Fresnel enM.L"amplitudeSdu signal résultant se détermine en calculant la norme du vecteur résultant#»S(M,t):S=?#»S?=?#»S1+#»S2?=??#»S1+#»S2?·?#»S1+#»S2?=??#»S1·#»S1?+?#»S2·#»S2?+2?#»S1·#»S2?On en déduit une expression appeléeformule des interférences:S=?S21+S22+2S1S2cos(?1-?2) L"essentiel du cours 37?Comment les conditions d"interférences constructives ou destructives se traduisent-elles dans le domaine d"espace où les ondes interfèrent?Nous avons vu qu"en un pointMdu domaine d"espace où les deux ondes interfèrent, le signalrésultants(M,t)=s1(M,t)+s2(M,t)=S1cos(ωt-kd1(M)) +S2cos(ωt-kd2(M)) est de laformes(M,t)=Scos(ωt+φ).Le déphasage enMentre les deux signaux s"écrit : Δ?1/2(M)=k(d2(M)-d1(M)). Soit, enintroduisant la longueur d"ondeλ=2πk:Δ?1/2(M)=2πd2(M)-d1(M)λ.Lorsque 2 ondes (O1)et(O2) se propagent depuis leurs sources jusqu"en un pointM, ellesparcourent des chemins différents de longueurs respectivesd1(M)etd2(M), dépendant dela position du pointMconsidéré. La différence de marche enMentre les deux signaux estdéfinie par :δ(M)=d2(M)-d1(M)Définition : Différence de marcheD"après ce qui précède Δ?1/2(M)=?1-?2peut s"exprimer en fonction de cette différence demarche : Δ?1/2(M)=2πδ(M)λ. On en déduit :Interférence constructive enM:δ(M)=mλ.Interférence destructive enM:δ(M)=(2m+1)λ2.Retour sur l"expérience d"interférence de deux ondes ultrasonores(figure 2.18)Lorsque le récepteurRest placé enx=0,d1(0) =d2(0) et doncδ(0) = 0. On observe bienune interférence constructive enx= 0 et un maximum d"amplitude.En se déplaçant sur l"axeOx, on passe par une succession de points où l"amplitude estalternativement minimale, lorsqueδ(M)=(2m+1)λ2et maximale, lorsqueδ(M)=mλ.On constate que l"intensité maximale correspondant aux interférences constructives diminueà mesure qu"on s"éloigne de la positionx= 0. Ce phénomène est lié à la diminution del"amplitude de la pression acoustique lorsque l"onde se propage.?4 Phénomène d"ondes stationnairesDans une salle de concert nous pouvons remarquer que les parois ne sont pas parallèles et sont,pour certaines, équipées d"aménagements limitant la réflexion des ondes sonores. De fait, dansune salle parallélépipédique il peut apparaître à certaines fréquences des effets très gênants pourl"écoute, conduisant à une inhomogénéité du son entre des points situés à quelques mètres les unsdes autres et se traduisant par une différence importante du niveau sonore. Ces effets sont liésà la superposition d"ondes sonores incidentes et réfléchies qui, en se propageant en sens inverse,génèrent un phénomène d"ondes stationnaires.Pour mettre en évidence le phénomène d"ondes stationnaires, considérons le dispositif expérimentalde lacorde de Meldereprésenté figure 2.22.17 Échanges d"énergie - Premier principe ........................45118 Second principe......................................................47719 Machines thermiques...............................................501Partie 4 Induction et forces de Laplace20 Champ magnétique et ses actions ..............................53321 Circuit fixe dans un champ variable ............................55722 Circuit mobile dans un champ stationnaire...................583Partie 5 Architecture de la matière23 Atomes et éléments ................................................61124 Molécules et solvants ..............................................64125 Solides cristallins ....................................................667Partie 6 Transformations chimiques26 Équilibre thermodynamique d"un système chimique........69127Évolutiontemporelled"unsystèmechimique................711Partie 7 Réactions chimiques en solution aqueuse28 Réactions acido-basiques..........................................73529 Dissolution et précipitation.......................................76330 Réactions d"oxydo-réduction......................................77931 Diagrammes potentiel-pH.........................................805Index.......................................................................827partagelivrescpge.blogspot.com
Partie 1Signaux physiquespartagelivrescpge.blogspot.com partagelivrescpge.blogspot.com 1CHAPITREOscillateur harmoniqueL"essentielducoursLes systèmes oscillatoires sont nombreux dans notre quotidien. Il suffit d"observer par safenêtre : un enfant joue à la balançoire, un oiseau passe en battant des ailes, une branched"arbre oscille après le passage d"une rafale de vent, une voisine fait ses vocalises... Bien qu"ils"agisse de phénomènes physiques bien différents, on peut se demander si un même modèlemathématique simple peut les décrire.ContextePour tenter de répondre à cette question, nous avons étudiéexpérimentalementtrois phéno-mènes physiques différents : les vibrations d"une branche d"un diapason et le son qu"il émet, ainsique le mouvement d"une masse accrochée à un ressort.?1 Du signal sinusoïdal...Considérons une grandeur physiquex(t) oscillant de façon sinusoïdale. Elle est décrite par unefonctionx(t)=Ccos?2πTt+??, dont la représentation graphique est précisée sur la figure 1.1.txOC-CTCcos(?)Figure 1.1. Une fonction sinusoïdale.Quelques éléments de vocabulaire concernantx(t):Cest l"amplitude. Elle est positive et son unitéest la même que celle dex.Test lapériode. Positive, elle s"exprime ensecondes.?est laphase à l"origine. Appartenant à l"in-tervalle ]-π,+π], elle s"exprime en radians.La phase à l"origine est l"argument du cosinus lorsquet= 0. Nous pouvons lire sur le graphex(0) =Ccos(?).La fonction cosinus étant 2π-périodique (cos(x+2π)=cos(x)), la fonctionx(t) estT-périodique.Nous pouvons le vérifier rapidement :x(t+T)=Ccos?2πT(t+T)+??=Ccos?2πTt+2π+??=Ccos?2πTt+??=x(t)Nous pouvons définir deux autres grandeurs caractérisant la périodicité de la fonctionx(t):Safréquence:f=1T. Elle représente le nombre de répétitions du signal par seconde ets"exprime en Hz.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com 8Chapitre 1Oscillateur harmoniqueSapulsation:ω=2πf=2πT(en rad·s-1).On en déduit trois expressions équivalentes de la fonctionx(t):x(t)=Ccos?2πTt+??=Ccos(2πft+?)=Ccos(ωt+?)Expérience du diapason(figure 1.2)Un diapason, emboîté sur sa caisse de résonance (C), est mis en vibration au moyen d"un marteauen caoutchouc. Le son émis est capté avec un microphoneMplacé à une distancedde l"ouverturede la caisse et relié à un amplificateur non représenté. La position, selon un axe (Ox), d"unebranche du diapason est déterminée par intégration temporelle de son accélérationax(t) mesurée àl"aide d"un accéléromètreAfixé à sa base. Le microphone et l"accéléromètre délivrent des tensionsanalogiques proportionnelles au volume du son émis, pour l"un et à l"accélération, pour l"autre.xAMA/NdaxuCFigure 1.2. Dispositif expérimental.05101520-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5
x m)Diapason 256Hzd=10cm05101520t(ms)-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6 u 10Chapitre 1Oscillateur harmonique?2 ... à l"équation différentielle de l"oscillateur harmoniqueLes lois de la physique se traduisent souvent, comme nous le verrons dans les chapitres suivants,par des équations différentielles, c"est-à-dire des équations faisant intervenir les fonctions étudiéeset leurs dérivées. Parmi les équations différentielles que nous pouvons rencontrer, certaines sontchargées de sens pour le physicien. Nous nous proposons d"aller à la découverte de l"une d"elles.Reprenons le cas d"une fonctionx(t) de la formex(t)=Ccos(ωt+?). En la dérivant deux fois parrapport au temps, nous obtenonsdxdt=-ωCsin(ωt+?) puisd2xdt2=-ω2Ccos(ωt+?)=-ω2x.Nous en déduisons l"équation différentielle suivante :(1.1)d2xdt2+ω2x=0Cette équation est uneéquation différentielle linéaire(c"est une combinaison linéaire de lafonction étudiée et de ses dérivées),du deuxième ordre(la dérivée d"ordre le plus élevé est ladérivée seconde)sans second membre(on dit aussihomogène). Un système physique dont lecomportement est régi par cette équation porte le nom d"oscillateur harmonique.Nous venons d"établir qu"une fonction de la formex(t)=Ccos(ωt+?) est solution del"équation 1.1. En fait, on peut montrer quetoutesolution de cette équation peut semettre sous la formex(t)=Ccos(ωt+?), qui constitue donc sasolution générale.Un oscillateur harmonique est un système dont la grandeurx(t) qui le caractérise vérifiel"équation différentielle :d2xdt2+ω20x=0ω0est lapulsation proprede l"oscillateur et se mesure en rad·s-1.Définition : L"oscillateur harmoniqueAttention aux signes des coefficients :d2xdt2-ω20x= 0 est aussi une équation différentiellelinéaire homogène du second ordre, mais ce n"est pas celle de l"oscillateur harmonique!Expérience d"une masse accrochée à un ressort(figure 1.4)Un petit solide (S), de centre de masseMet de massem,est accroché à une potence par l"intermédiaire d"un ressortvertical. La position deMest repérée sur un axe verticaldescendant dont l"origineOest confondue avec sa positiond"équilibre.Le solide (S) étant à l"équilibre sous l"effet de son poids etde la force exercée par le ressort, nous l"avons écarté vers lebas d"une valeurx0=4,8cm et l"avons lâché sans vitesse.Nous avons filmé son mouvement puis, en utilisant un logi-ciel d"analyse vidéo, nous avons extrait la positionx(t)dupointMau cours du temps. Enfin, à l"aide de Python, nousavons tracé le graphe dex(t).MxOO??eq?Figure 1.4. Oscillateurmécanique.partagelivrescpge.blogspot.com
12Chapitre 1Oscillateur harmonique?3 Solutions de l"équation différentielleLorsque les lois de la physique nous conduisent à une équation différentielle devant être satisfaitepar la grandeur étudiée, il nous faut rechercher parmil"ensemble des solutionsde cette équation,cellequi satisfait auxconditions initialesde notre problème.Reprenons l"expérience de la masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nous savons quex(t),solution de l"équation différentielled2xdt2+ω20x= 0, est de la formex(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t).Nous connaissons par ailleurs les conditions initiales :x(0) =x0et x(0)=0.x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)=?x(t)=-Aω0sin(ω0t)+Bω0cos(ω0t)Nous en déduisons :?x(0) =x0=Ax(0)=0=Bω0=?x(t)=x0cos(ω0t)Nous pouvons également utiliser la formex(t)=Ccos(ω0t+?):x(t)=Ccos(ω0t+?)=?x(t)=-ωCsin(ω0t+?)Nous en déduisons :?x(0) =x0=Ccos(?)x(0)=0=-ω0Csin(?)=??Ccos(?)=x0sin(?)=0=???=0C=x0puisquex0>0etC>0. Nous retrouvons bien le résultat précédentx(t)=x0cos(ω0t).La formex(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t) est mieux adaptée aux calculs des constantesd"intégration à partir des conditions initiales que la formex(t)=Ccos(ω0t+?).L"équation différentiellehomogènede l"oscillateur harmonique est :d2xdt2+ω20x=0Sa solution générale estx(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)=Ccos(ω0t+?).La solution satisfaisant au problème physique est obtenue en calculant les constantesd"intégration (A,B)ou(C,?) à partir des conditions initiales.Méthode 1.2 : Recherche de la solution de l"équation homogèneExercice (1.2)?Comment le choix de l"origine influe-t-il sur la forme de l"équation différentielle?Reprenons encore une fois notre expérience d"une masse accrochée à un ressort (figure 1.4). Nouspouvons choisir de prendre l"origine de l"axe au pointO?où le ressort est accroché à la potence.Dans ce cas,x(t)=?(t),xeq=?eqetx(t)=xeq+Ccos(ω0t+?). En dérivant deux fois par rapportau temps nous obtenons :d2xdt2=-ω20Ccos(ω0t+?), soit :d2xdt2=-ω20(x(t)-xeq).Nous aboutissons à une équation différentielle un peu différente de la précédente :(1.2)d2xdt2+ω20x(t)=ω20xeqpartagelivrescpge.blogspot.com
14Chapitre 1Oscillateur harmoniqueD"où :Em=Ep+Ec=12kx20cos2(ω0t)+12mx20ω20sin2(ω0t)=12kx20(cos2(ω0t)+sin2(ω0t)) =12kx20.Ainsi, l"énergie mécanique de l"oscillateur reste constante au cours de son mouvement, ce qui esten cohérence avec le fait que pour aboutir à l"équation de l"oscillateur harmonique il faille négligerles phénomènes dissipatifs d"énergie.Nous verrons au chapitre 12, qu"un système effectuant des oscillations de faible amplitude au-tour d"une position d"équilibre stable se comporte, si les phénomènes dissipatifs d"énergie sontnégligeables, comme un oscillateur harmonique. C"est ce qui fait l"importance de l"équationdifférentielle de l"oscillateur harmonique, homogène ou avec second membre constant.L"énergie d"un tel système reste constante au cours du temps.Bilanpartagelivrescpge.blogspot.com
16Chapitre 1Oscillateur harmonique(a)Figure 1.(b)Figure 2.(c)Figure 3.On souhaite écrirex(t) sous la formex(t)=Ccos(ω0t+?).5.Par lecture graphique, déterminer la valeur de la pulsation propreω0et de l"amplitudeCdesoscillations.(a)ω0=1,9rad·s-1etC=4cm.(b)ω0=1,3rad·s-1etC=8cm.(c)ω0=1,6rad·s-1etC=4cm.6.Par lecture graphique, déterminer la valeur de la phase à l"origine?.(a)?= 0rad.(b)?=π/3rad.(c)?=-π/3rad.7.Sur la figure ci-dessous, sont représentées les énergies cinétique, potentielle et mécanique del"oscillateur. Pouvez-vous identifier ces trois courbes?t(s)E(mJ)012345012Courbe 1Courbe 2Courbe 3(a)Courbe (1) =Em, courbe (2) =Epetcourbe (3) =Ec.(b)Courbe (1) =Ep, courbe (2) =Emetcourbe (3) =Ec.(c)Courbe (1) =Em, courbe (2) =Ecetcourbe (3) =Ep.partagelivrescpge.blogspot.com
18Chapitre 1Oscillateur harmoniqueExercice 1.3 En apesanteurIl est important pour les astronautes de suivre l"évolution de leur masse corporelle au cours d"unemission spatiale. Or l"apesanteur rend inopérants les dispositifs habituels de mesure de la masse.Les astronautes utilisent alors une balance inertielle : il s"agit d"une sorte de chaise reliée à un pointfixe du vaisseau par l"intermédiaire d"un ressort de raideurk. L"ensemble oscille à une fréquencedépendant de la masse posée sur la chaise. La fréquence d"oscillations mesurée estf0=0,710Hzlorsque la chaise est vide. La masse de cette dernière estm0=30kg.1.Un astronaute de massemprend place sur le dispositif. La période des oscillations est alorsT=2,56s. Déterminerm.2.Que vaut la raideurkdu ressort?Exercice 1.4 Un ressort à tout casserLe jeune Nicolas s"amuse à viser ses soldats en plomb avec des billes en utilisant un ressort en guisede lanceur. Il place la bille contre le ressort, comprime celui-ci, puis lâche la bille.xx(t)(k,l0)MONous négligeons tout frottement avec le sol de sorte quela bille peut être assimilée à un pointMd"abscissex(t)en translation selon l"axeOx. La longueur du ressort àl"instanttest ainsix(t).Le ressort possède une longueur à videl0=6,0cm et uneraideurk=80N·m-1. La masse des billes estm=1,3g.1.Par des considérations énergétiques, déterminer la vitesse maximale atteinte par la bille siNicolas comprime initialement son ressort dea=4,0cm.2.Nous souhaitons retrouver ce résultat par une autre méthode.L"équation différentielle vérifiée par la positionx(t) de la bille lors de la phase de propulsionest la suivante :m¨x+k(x-l0)=0.a.Résoudre l"équation différentielle et en déduire l"expression dex(t) au cours de cette phaseavec une compression initiale dea=4,0cm (sans vitesse initiale).b.Quelle est la vitesse maximale atteinte par la bille?Exercice 1.5Fabricando fit faberL"abscissex(t) d"un oscillateur obéit à l"équation différentiellea¨x+bx=c. Nous envisageons lestrois cas suivants :- Cas (1) :a=1,0;b=5,0USI;c=0.- Cas (2) :a=1,0;b=6,0USI;c=8,0USI.- Cas (3) :a=2,0;b=1,0USI;c=0.1.Préciser les unités manquantes pour les constantesbetc.2.Résoudre ces équations, avec les conditions initialesx(0)=1,0met x(0)=0,0m·s-1. Préciserdans chaque cas la pulsation propre puis la période de l"oscillateur.3.Reprendre la question précédente avecx(0)=0,0met x(0)=1,0m·s-1.partagelivrescpge.blogspot.com
20Chapitre 1Oscillateur harmoniqueCorrectionsInterro de cours1.Réponse(b).2.Réponse(c).3.Réponse(d): la solution générale s"écrit sous la formeAcos(ω0t)+Bsin(ω0t)avecx(0) =x0=Aetx(0) =v0=Bω0.4.Réponse(a): initialement, x(0) =v0>0.5.Réponse(c): la période estT0=4,0s d"oùω0=2πT0=1,6rad·s-1et l"amplitude vautC= 4cm.6.Réponse(c):Ccos(?)=2et x(0) =-Cω0sin(?)>0.7.Réponse(a): l"énergie mécanique de l"oscillateur se conservant, comme initialement le ressort s"allonge,l"énergie potentielle commence par augmenter (courbe 2), l"énergie cinétique diminuant (courbe 3).Exercice 1.11.Sophie a vraiment commis de nombreuses erreurs :A1=2,0cm,A2=1,5cm etA3=3,0cm, lespériodes sontT1=T2=1,05s,T3=0,78s, doncω1=ω2=2πT1=6,0rad·s-1etω3=8,0rad·s-1.Notons que les unités proposées par Sophie pour les pulsations sont incorrectes.2.?1= 0, doncx1(t)=A1cos(ω1t);x2(t) est en retard par rapport àx1(t), le décalage temporel entredeux passages par 0 estδt=0,13s =?22πT2, soit?2=0,78rad≈π4, on obtient donc :x2(t)=A2cos(ω1t-π/4). Quant àx3(t), on reconnaît clairement la courbe d"un sinus :x3(t)=A3sin(ω3t)=A3cos(ω3t-π/2).Exercice 1.21.On réinjecte la forme donnée dans l"équation différentielle : ¨x(t)=-Aω2cos(ωt)-Bω2sin(ωt), d"où-Aω2cos(ωt)-Bω2sin(ωt)+ω20(Acos(ωt)+Bsin(ωt)+xp)=ω20xepour toutt. On en déduit immé-diatementω=ω0etxp=xe.Les valeurs deAetBs"obtiennent par la prise en compte des conditions initiales. On obtient :x(0) =A+xe=x0, d"oùA=x0-xe,etx(0) =v0=Bω0, soitB=v0ω0.L"expression finale est ainsix(t)=(x0-xe)cos(ω0t)+v0ω0sin(ω0t)+xe.2.On développeCcos(ω0t+?)enCcos(ω0t)cos(?)-Csin(ω0t)sin(?). Par identification à l"expressionprécédente on obtientCcos(?)=Aet-Csin(?)=B, soit tan(?)=-B/A=-v0(x0-xe)ω0et :C=⎷A2+B2=?(x0-xe)2+v20ω20.3.Dans les deux cas,xp=0,0m.a.Nous trouvonsA=x0=1,0m etB=1,0m. Nous en déduisonsC=⎷A2+B2=1,4m. Enfin,arctan?-BA?=-45° et sin(?)=-BC<0:?= arctan?-BA?=-45°.b.Nous trouvonsA=x0=-1,0metB=1,0m. Nous en déduisonsC=⎷A2+B2=1,4m. Enfin,arctan?-BA?= 45° et sin(?)=-BC<0:?= arctan?-BA?-180 =-135°.partagelivrescpge.blogspot.com
22Chapitre 1Oscillateur harmonique(3) : l"équation peut se réécrire ¨x+bax= 0; c"est l"équation d"un oscillateur harmonique, de pulsationω3=?b/a. On peut donc écrirex3(t)=Acos(ω3t)+Bsin(ω3t). La prise en compte des conditionsinitiales amène à :x3(0) =A=0,0m et x3(0) =B⎷ω3=1,0m·s-1, soitx3(t)=1,4sin(ω3t)avecω3=0,71rad·s-1.Exercice 1.61.À l"équilibre, ¨x= 0, en réinjectant ceci dans l"équation différentielle, nous obtenons la position d"équi-libre deM:xeq=-xe.2.On réinjectex(t)=x0cos(ω0t)+xeqdans l"équation différentielle, on obtient-2ω20x0cos(ω0t)=0,ce qui ne peut être nul pour toutt: cette expression ne satisfait donc pas à l"équation différentielledonnée.3.En réinjectant cette expression dans l"équation différentielle, on obtient 0 = 0 : cette expression estdonc solution de l"équation différentielle. Cette solution n"est pas périodique et elle diverge avec letemps.xeqne peut donc pas être une position d"équilibre stable.partagelivrescpge.blogspot.com
2CHAPITREPropagation etsuperposition des signauxL"essentielducoursTout en écoutant jouer un orchestre symphonique, un physicien mélomane se pose de nom-breuses questions. Comment les musiciens ont-ils réussi à accorder leurs instruments enquelques secondes en début de concert? Comment expliquer que deux notes de même hau-teur, jouées par deux instruments de musique différents, semblent si différentes? Comment lapropagation du son dans la salle conduit-elle à tous ces effets sonores?Contexte?1 Notions de signal et de spectreUnsignalest unegrandeur physiquedéfinie localement qui peut varier au cours du temps.Définition : SignalNous pouvons citer quelques exemples de signaux dans une salle de concert :Le déplacement transversal d"un point d"une corde d"un instrument à cordes (piano, violon,guitare, etc.) lorsqu"un musicien en joue.La surpression localep(t) de l"air par rapport à la pression d"équilibreP0lors du passaged"une onde sonore. Cette surpression, aussi appelée pression acoustique, est alors la compo-sante variable de la pression totale de l"airP(t)=P0+p(t).Le déplacement de la membrane d"un microphone sous l"effet de l"onde sonore qu"il capteou d"un haut-parleur sous l"effet d"une tension délivrée par un amplificateur.La tension générée par un microphone lors de l"enregistrement d"un son.On trouve des signaux dans tous les domaines de la physique. Ils peuvent être mécaniques (dé-placement, surpression), électriques (tension, intensité), électromagnétiques (champ électrique oumagnétique), quantiques (fonction d"onde décrivant une particule quantique).Spectre d"un signal constitué d"une superposition de signaux sinusoïdauxLorsqu"un signal est une superposition de signaux sinusoïdaux, il est intéressant d"accompagner ladescription de sonévolution temporellepar unereprésentation fréquentielle.À titre d"exemple, considérons le signalu(t) dont l"évolution temporelle est donnée figure 2.1 et lareprésentation fréquentielle figure 2.2.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com 24Chapitre 2Propagation et superposition des signaux051015202530t(ms)-15-10-5051015
u (V)Figure 2.1. Évolution temporelle.0100200300400500600700800f(Hz)012345678 C k k UPiano Do3Figure 2.4. Spectre en amplitude.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com 26Chapitre 2Propagation et superposition des signaux05101520t(ms)-1.0-0.50.00.51.01.5
uGuitare Do3Figure 2.5. Évolution temporelle.0500100015002000f(Hz)0.00.10.20.30.40.5 28Chapitre 2Propagation et superposition des signaux0.00.51.01.52.0-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0
s 1 (V)Claquements des mainsd1=50cm0.00.51.01.52.0t(s)-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 s 2 (V)d2= 150cmFigure 2.9. Applaudissements.889092949698100-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 s 1 (V)Claquements des mainsd1=50cm889092949698100t(ms)-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 s 2 30Chapitre 2Propagation et superposition des signauxsinusoïdale, également appeléeonde progressive harmonique, se propageant dans la directionde l"axeOx, dans le sens desxcroissants.Pour une propagation dans le sens desxdécroissants il suffit de changercen-csoitken-ket on obtient :s(x,t)=S0cos(ωt+kx+?0).Une onde progressive harmonique se propageant selon l"axeOxest une onde correspondantà la propagation dans cette direction,sans atténuation ni déformation, d"une grandeurdont lesvariations temporellessontsinusoïdales. Le signal est de la forme :s(x,t)=S0cos(ωt-kx+?0) pour une propagation dans le sens desxcroissants.s(x,t)=S0cos(ωt+kx+?0) pour une propagation dans le sens desxdécroissants.Définition : Onde progressive harmonique?Que dire de la périodicité d"une onde progressive harmonique?Le signals(x,t) est une fonction de deux variables indépendantes, la variable d"espacexet le tempst. On peut toutefois, pour se ramener à une fonction d"une seule variable :Figer la variable d"espacex. De façon imagée, cela revient à " filmer » le phénomène en unpoint donné d"abscissex, pour en étudier l"évolution temporelleen ce point.Figer le temps. De façon imagée, cela revient à " photographier » le phénomène à une datedonnéetpour en étudier l"évolution spatialesur cette photographie.Dans le premier cas on parle dereprésentation temporelleet dans le second cas dereprésen-tation spatialedu signal.La figure 2.13 représente l"évolution temporelle du signals(x,t) pour deux valeurs dex(x=0etx=x1). Il faut imaginer qu"un " film » a été tourné en deux points d"abscissesx=0etx=x1.La figure 2.14 représente son évolution spatiale pour deux valeurs det(t=0ett=τ). Il fautimaginer qu"une " photographie » a été prise à chacun de ces deux instants.tsOs(x1,t)s(0,t)τCcos(?0)Ccos(?)TFigure 2.13. Évolution tempo-relle d"un signal harmonique.xsOs(x,τ)s(x,0)x1λFigure 2.14. Évolution spatialed"un signal harmonique.Sur ces représentations graphiques, nous pouvons remarquer qu"un signal harmonique possède unedouble périodicité, temporelle et spatiale :partagelivrescpge.blogspot.com
32Chapitre 2Propagation et superposition des signaux?Comment mesurer le déphasage lié à la propagation de l"onde sonore?Nous pouvons déduire les expressions des signauxs1(t)ets2(t) reçus par les deux microphones descourbes de la figure 2.15 en utilisant la méthode 1.1 du chapitre 1.Signals1(t)=S1cos(ωt+?1):Nous pouvons lireS1=1,13V ets1(0) =S1cos(?1) = 0, avec une pente positive ent=0.D"où :?1=-π/2=-1,6rad.Signals2(t)=S2cos(ωt+?2):Nous pouvons lireS2=0,23V ets2(0) =S2cos(?2)=-0,22V, avec une pente positive ent= 0. D"où :?2=-arccos(-0,22/0,23) =-2,9rad.Le déphasage entre les deux signaux est donc égal à Δ?2/1=?2-?1=-2,9-(-1,6) =-1,3rad.Nous pouvons retrouver ce déphasage à partir des courbes de la figure 2.15 par la mesure du retardtemporelτ=d2-d1cdu signals2(t) sur le signals1(t).En effet,s1(t)ets2(t) sont les images des variations temporelles au niveau des microphonesM1etM2du signal sonore qui se propage depuis le haut parleur :s1(t)=K1s(d1,t)=S1cos(ωt-kd1+?0)ets2(t)=K2s(d2,t)=S2cos(ωt-kd2+?0).Les amplitudes des deux signaux sont différentes car elles diminuent au cours de la propagation.D"où :s2(t)=S2cos(ωt-k(d2-d1)-kd1+?0)=S2cos?ωt-kd1+?0-ωc(d2-d1)?.Nous en déduisons le déphasage des2(t)surs1(t):Δ?2/1=-ωc(d2-d1). Puis en introduisant leretard temporelτ=d2-d1c,Δ?2/1=-ωτ=-2πτT=-2πfτ.Sur la figure 2.15 nous lisonsτ=1,12·10-3s, ce qui conduit à Δ?2/1=-1,4rad. Ce résultat esten accord avec le précédent, aux incertitudes près.Cette seconde méthode, reposant sur la mesure d"un retard temporel, est souvent utilisée pourdéterminer expérimentalement le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence,notamment à l"aide d"un oscilloscope.Soient les signaux sinusoïdaux :s1(t)=S1cos(ωt+?1)s2(t)=S2cos(ωt+?2)Le déphasage du signals2(t) sur le signals1(t)est défini par :Δ?2/1=?2-?1ts1(t),s2(t)OTτs1(t)s2(t)Figure 2.16.détermination d"un déphasage.partagelivrescpge.blogspot.com
34Chapitre 2Propagation et superposition des signauxxdGBF40kHzE1E2RaA/NFigure 2.17. Dispositif expérimental.-30-20-10010203005101520
U 2 (V 2 )f=40kHz a=10cm d=80cmU21U22-30-20-100102030x(cm)05101520 U 2 (V 2 38Chapitre 2Propagation et superposition des signauxGBFVibreurMassemPoulieL≈1mABu(t)=U0cos(ωt)#»gFigure 2.22. Dispositif expérimental de la corde de Melde.Une corde de longueur utileL=ABpasse sur une poulie et est maintenue sous tension parun corps de massem. Elle est accrochée enAà un vibreur qui impose à ce point des oscillationssinusoïdales transversales de très faible amplitude. Ces oscillations se propagent jusqu"à l"extrémitéfixeBde la corde, où elles se réfléchissent. Il s"étaquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19