Quelle est la « bonne » formule de l’écart-type
Le carré de l’écart-type, , est appelé la variance La variance est par conséquent la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne s2 x 1 2 L’écart-type σ des valeurs possibles d’une variable aléatoire On peut également calculer l’écart-type sur les valeurs possibles d’une variable aléatoire numérique
X Le symbole Moyenne, variance, écart-type
Moyenne, variance, écart-type Dé nition Soit (x i) 16i6n une série de données numériques La moyenne de cette série est égale à x = 1 n Xn i=1 x i La ariancev de cette série est égale à s 2= 1 Xn i=1 (x i x ) L'écart-type de cette série est égal à s = p s Exercice 4 Soit (x i) 16i6n une série de données On note x sa
Lançons un dé, a
c) Ecart-type: Pour tout variable aléatoire X , On appelle écart-type de X le nombre réel positif noté (X) et défini par: )X d) Exemple: Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher On tire simultanément de l’urne 3 boules et l’on considère
PROBABILITÉS - Maths & tiques
- La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart-type) de la série des x i pondérés par les probabilités p i L'écart-type est donc une caractéristique de dispersion "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire Propriétés : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω
Séries regroupées par modalités
IIÉcart type Dé nition 2 La variance , notée V et donnée par V x n 1 x x 1 2 n 2 x x 2 2 n p x x p 2 n 1 n 2 n p L' artcé type , noté ˙, est une caractéristique de dispersion : ˙ x Õ V x Remarques 1 L'écart-typereprésentel'éloignement(écart)moyendesaleursv aveclamoyenne Plus l'écart-type est grand plus les aleursv sont
2Bac SEco Chapitre9: Probabilité (Résumé)
Écart-type de X: XVX Exemple : On lance 3 fois de suite un dé Le joueur gagne 6 dirhams s’il n’obtient aucun 1 et aucun 2 et il perd 3 dirhams dans le cas contraire La variable aléatoireX égale au gain du joueur, ne peut prendre que les valeurs −3 et 6 On a : 3 3 48 6 627 pX et 19 31 6 27
Probabilités – Terminale S
l’écart - type est le nombre σ défini par : σ = V Exercice n°5 : Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros
1STMG Statistiques descriptives, classe de 1 STMG - Free
3 2 Variance et écart type Dé nition : La variance de la série est le nombre noté V dé ni par :::: Propriété : La ariancev est aussi donnée par la formule ::::
Le théorème de la limite centrée facultatif
de moyenne 1,75 et d’écart-type 0,15 La taille du deuxième sondé suit une loi normale T 2 de moyenne 1,75 et d’écart-type 0,15 etc Ces variables aléatoires sont indépendantes donc la taille moyenne des 100 sondés suit approximativement une loi normale T de moyenne 1,75 m et d’écart-type 015 100, = 015 10, = 0,015 m
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2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
I.Probabilité
1)Généralités
Lors d'une expérience aléatoire :
L'univers
est l'ensemble des éventualités.Un événement A est une partie de l'univers
Un événement élémentaire, est un événement ne comportant qu'un seul élément. L'événement contraire de l'événement A est l'événement noté formé de tous les éléments de n"appartenant pas à A.L'événement A ŀ B (noté aussi "A et B") est l'événement formé des éléments de
appartenant à A et à B.L'événement A
appartenant au moins à l'un des événements A ou B. Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ŀ B = Si n ee e et si à chaque éventualité i e on associe un nombre i pe tel que: i pe et n pe pe pe, On dit que l'on a défini une loi de probabilité sur La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événementsélémentaires qui le constituent.
2)Propriétés :
Pour tous événements A et B : P(
i pe ; pp P(A
(si A et B sont incompatibles alors p(A Pour une loi équirépartie :
nbred élèmentsde A nbredecas favorablespAnbred élèmentde nbredecas possibles3)Variable aléatoire
Définition : Une variable aléatoire
X définie sur un univers est une fonction qui
à chaque éventualité associe un réel xi. La probabilité pour que X prenne la valeur i x est alors notée i pXx ou i p . 28Définir la loi de probabilité de
X, c"est donner (sous forme d"un tableau) la
probabilité de chacun des événements i Xx .Espérance mathématique de
X : ik ii i EXpx u¦ i x x x k x i pXx p p k p2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
Variance de X :
VX EX E X=
in ii i px E XÉcart-type de
X : XVX
Exemple :
On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur gagne 6 dirhams s'il n'obtient aucun 1 et aucun 2 et il perd 3 dirhams dans le cas contraire.La variable aléatoire
X égale au gain du joueur, ne peut prendre que les valeurs 3 et 6.On a :
pX et pX pX EX VX et XII.Probabilités conditionnelles
1.Définition:
Etant donné deux événements A et B (
) d'un univers . On appelle probabilité de B sachant A, le réel noté p (ou pBA) tel que : pppOn a alors :
AB pABpAPBpBpA2.Formule des probabilités totales
Si n AA A forment une partition de (2 à 2 incompatibles et leur union forme),Alors pour tout événement B, on a :
n pBpABpAB pAB n AAnA pA p B pA p B pA p B3.Représentation par un arbre pondéré
Le cas le plus fréquent correspond à la partition la plus simple (A et ). Si on connaît les probabilités de B et par l'intermédiaire de A et , on a l'arbre suivant : 29Le produit des probabilités inscrites sur chaque branche d'un chemin donne la probabilité de l'intersection des
événements placés sur ce chemin.
A pApB pAB i x Total i pXx 12BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même noeud estégale à 1 (loi des noeuds).
pp La probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E. pB p p B p p BExemple :
On dispose de trois urnes
ABetC la première contient 1 boule rouge et 5 boules vertes, la deuxième contient 3 boules rouges et une boule verte, et la troisième contient 1 boule rouge et 2 boules vertes. On choisit l'une des urnes au hasard et on tire une boule de cette urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?Soient
ABetC les événements correspondants au choix de l'urne. Ils forment une partition de l'univers et on a pA pB pC Soit R l'événement " tirer une boule rouge ». La formule des probabilités totales nous donne: pR pA R pB R pC R , Donc: ABC pRpApRpBpRpCpR . Or A pR , B pR et C pR .On a donc
pR4.Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : A pBpB pABpApBExemple :
Une association de 96 membres propose différentes activités à ses adhérents, dont l'athlétisme et le basketball. Douze membres s'inscrivent pour l'athlétisme, Trente-deux pour le basketball dont quatre pour les deux. On prend au hasard la fiche d'un adhérent. On note A et B les événements : • A " l'adhérent est inscrit pour l'athlétisme ». • B " l'adhérent est inscrit pour le basketball ». Les événements A et B sont-ils indépendants ? En est-il de même pour A et B ? On peut représenter les événements dans un tableau double entrée ci-contreOn calcule les probabilités suivantes :
PA B et PA PB
A TotalB 4 28 32
8 56 64
Total 12 84 96
2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
III.Loi binomiale
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles (contraire l'une de l'autre) On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes 30Étant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d'obtenir un succès S est p. Le schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendante cette