Coloration de graphes: algorithmes et structures
Introduction Structure de graphes et coloration Structure des colorations Coloration de graphes: algorithmes et structures Nicolas Bousquet Semindoc - 18/04/2012
ALGORITHME DISTRIBUE PROJET : COLORATION DE GRAPHE
3 1 1 Algorithme de parcours du graphe de communication 3 1 1 1 Présentation de l’algorithme On généralise l’algorithme de CHANG et ROBERTS (algorithme d’élection dans un graphe en anneau) à un graphe de communication quelconque La difficulté réside dans le fait que la connaissance d’un graphe par un sommet se limite à ses
Coloration de graphes - unifrch
Coloration de graphes 4 Montrer qu’un graphe est 2-coloriable si et seulement si il ne possède pas de cycle de longueurimpaire 2 Algorithme glouton
Allocation de Fréquences par Coloration de Graphes
1 3 Le problème de coloration 1 3 1 Définition On suppose maintenant connue une modélisation de notre réseau d'antennes en tant que graphe simple non-orienté On formule ici un problème équivalent au problème d'allocation de fréquences sur un graphe simple non-orienté : celui de la coloration de graphe
Exemple de coloration de graphe - Free
Nombre maximum de Encadrement du Algorithme de coloration Conclusion Page d’accueil Page de garde JJ II J I Page 15 / 16 Retour Plein ´ecran Fermer Quitter 7 Conclusion On sait que le nombre chromatique est compris entre 3 et 6; et on vient de trouver une coloration possible en 4 couleurs Donc le nombre chromatique est compris entre 3
Coloration des sommets ou des arêtes
L'algorithme séquentiel de coloration n'utilisera jamais plus de ( G) + 1 couleurs, ce qui prouve que ˜(G) ( G) + 1 pour tout graphe G Ce nombre de couleurs est nécessaire pour la clique à k sommets puisque il faut alors kcouleurs et que le degré maximum est k 1
Coloration dun graphe
Coloration d'un graphe 1 Activité Pour une coupe du monde de football, les équipes qualifiées sont réparties en « poule » de quatre équipes Chaque équipe rencontre une et une seule fois les trois autres Toutes les équipes de la même poule, jouent le même jour un match et un seul
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Allocation de Fréquences par Coloration de
Graphes
Table des matières
Introduction ............................................................................................................................................................ 2
1 Généralités ...................................................................................................................................................... 2
1.1 Mise en évidence du phénomène d'interférence .......................................................................................... 2
1.2 Graphes, définitions ....................................................................................................................................... 5
1.3 Le problème de coloration ............................................................................................................................. 7
1.3.1 Définition .................................................................................................................................................... 7
1.3.2 Complexité ................................................................................................................................................. 7
1.4 Quelques propriétés de ߯
1.4.1 Encadrements ............................................................................................................................................ 8
1.4.2 Graphes de Mycielski ................................................................................................................................. 9
2 Graphes quelconques : des algorithmes d'approximation ........................................................................... 11
2.1 Coloration séquentielle : l'algorithme glouton ............................................................................................. 11
2.2 Une première heuristique, Welsh & Powell ................................................................................................. 12
2.3 Deuxième heuristique, DSATUR ................................................................................................................... 13
3 Graphes triangulés : un algorithme linéaire de résolution exact ................................................................. 17
3.1 Généralités sur les graphes triangulés .......................................................................................................... 17
3.1.1 Définitions, propriétés ............................................................................................................................. 17
3.1.2 Une caractérisation des graphes triangulés ............................................................................................. 18
3.1.3 Coloration séquentielle ............................................................................................................................ 20
3.2 Rappel : Parcours en largeur - BFS. .............................................................................................................. 20
3.3 Mots et Ordre Lexicographique .................................................................................................................... 23
3.4 Parcours en largeur lexicographique - Lex_BFS ........................................................................................... 25
3.5 Affinage de partition, implémentation ......................................................................................................... 28
3.6 Reconnaissance de graphes triangulés ......................................................................................................... 30
4 Résultats expérimentaux .............................................................................................................................. 32
4.1 Complexité temporelle des algorithmes ...................................................................................................... 32
4.2 Efficacité moyenne ....................................................................................................................................... 34
4.3 Le benchmark de DIMACS ............................................................................................................................ 35
Conclusion et perspectives .................................................................................................................................... 38
Bibliographie ......................................................................................................................................................... 38
Webographie ......................................................................................................................................................... 38
Dossier de TIPE Ȃ Allocation de Fréquences par Coloration de GraphePage 2
Introduction
Avec le développement des réseaux de télécommunication modernes, on assiste au dĠploiement d'un
transport de l'information entre les diffĠrentes antennes, afin de satisfaire audž diffĠrents acteurs du
marché : les opérateurs doivent être en mesure de transmettre les communications de leurs clients
respectifs, sans se gêner entre eux, le tout en minimisant le coût de ces opérations.Ce problème est généralement qualifié de "Problème d'Allocation de Fréquence" : étant donné un
réseau d'antenne, il faut pouvoir allouer différentes fréquences aux antennes émettrices et réceptrices de
sorte qu'elles puissent véhiculer de l'information sans interférer. On s'intéresse ici au cas d'une allocation
simple de fréquence, et on montrera dans quelle mesure il est possible de résoudre le problème grâce au
formalisme de la théorie des graphes.Pour cela on étudiera dans un premier temps comment modéliser le problème d'allocation de
fréquences, après avoir mis en évidence le phénomène d'interférence. Dans un deuxième temps il s'agira
d'exposer quelques méthodes de résolution approchées, puis d'établir un algorithme linéaire de
résolution exacte dans le cas très particulier des graphes triangulés. Enfin on terminera par une étude
comparative des résultats expérimentaux obtenus avec les divers algorithmes exposés.1 Généralités
1.1 Mise en évidence du phénomène d'interférence
On montre ici par une modélisation simple comment la réception de plusieurs signaux par une même
antenne peut entrainer un brouillage de l'information, empêchant la réceptrice de capter correctement le
signal qui lui est destiné.Le signal sonore étant une perturbation du milieu ambiant qui se propage (variation de la pression
dans l'air par exemple), on s'intéresse généralement à l'amplitude d'une telle perturbation. En radio AM
par exemple (AM pour Amplitude Modulation), le signal audio ݑ module un signal de plus haute
fréquence appelé "porteuse", signal sinusoïdal de fréquence ݂. Le signal de plus haute fréquence
transportant plus d'énergie, il va voyager plus facilement. On obtient alors un signal modulé de la forme
Dossier de TIPE Ȃ Allocation de Fréquences par Coloration de Graphe