CHAPITRE 1 : Divisibilité - Nombres premiers - Congruences
1 5 Divisibilité de toute combinaison linéaire par tout diviseur commun On appelle combinaison linéaire entière des entiers et l’entier + où et sont des entiers relatifs Exemple : −3 +4 est une combinaison linéaire entière de et Pour tout ∈ℤ, pour tout ∈ℤ, pour tout ∈ℤ∗:
Les trois axiomes fondamentaux Divisibilité dans : diviseurs
3) Si a b et si a c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c, α b + β c où α et β sont des entiers relatifs 4) Si a b et b≠0 alors a ≤ b Ainsi, tout entier non nul admet un nombre fini de diviseurs 5) Si a b et si b a alors a = ±b Démonstrations
Divisibilité dans Z - Coccimath
1 Étudier une divisibilité 2 Effectuer une division euclidienne 3 Utiliser une combinaison linéaire 4 Procéder par disjonction des cas pour démontrer une divisibilité 5 Déterminer des entiers vérifiant une égalité 6 Utiliser la divisibilité pour résoudre un problème 7 Connaître la non commutativité du produit matriciel 8
Chapitre 1 : Divisibilité et congruences dans
o Si divise et divise alors divise : transitivité de la divisibilité o Si divise , alors pour tout entier relatif , divise o Si divise et alors divise et plus généralement toute combinaison linéaire dans de et 2 3 Division euclidienne : (démonstration à connaître)
I Divisibilité - Evarin
La relation de divisibilité est une relation d'ordre sur b a ssi le reste de la div euclid de par ea b st nul b a b c b ja kc⇒+ (,) (,)a b q r a bq r r b∈ ∈ =+ ∈− 22, tq et ,0 1 { divcommunsà aetb divcommunsà betr} {= } Preuves: combinaison linéaire 2 22 ( , ) ( *) , * pgcd( , ) ( , ) ( *) ( , ) pgcd( , ) tel que
Question type - lycmassenamathsdebfr
Méthodes divisibilité 1 Divisibilité Question type Déterminer n tels que an+bdivise cn+d Méthode On sait que an+bdivise an+bet cn+d On va donc trouver une combinaison des deux qui supprime les n Ainsi , an+bsera diviseur d’un nombre On pourra trouver les valeurs possibles de n
EXERCICES avec correction:ArithmétiquedansZ 1 Divisibilité
1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 En déduire une écriture de 84 comme combinaison linéaire de 18480 et 9828 Correction H [000296] Exercice 10
a n n n - Maurimath
Alors d divise α et d divise β et divise toute combinaison linéaire de α et β Donc d divise −α + β2; d’où d divise 5 ceci signifie que d=1 ou 5 car un pgcd est toujours positif c) 1ère méthode : divisibilité(1) On sait que si a divise 2 nombres, il divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres
ROC : Restitution organisées des connaissances
Si a divise b et c alors a divise b +c, b −c ou toute combinaison linéaire de b et de c Démonstration : On sait que a divise b et c, donc il existe deux entiers relatifs k et k′ tels que : b =ka et c =k′a On a alors : b +c =(k +k′)a, b −c =(k −k′)a et αb +βc =(αk +βk′)a Donc a divise b +c, b −c et αb +βc PAUL MILAN 2
Cours de MATHÉMATIQUES - Wallis and Futuna
Comme a et −a ont les mêmes diviseurs dans Z, on se restreint à l’étude de la divisibilité dans N 1/ Tout diviseur positif d’un naturel non nul n vérifie : 1 6 d 6 n
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Méthodes divisibilité
1 Divisibilité
Question type
Déterminer n tels quean+bdivisecn+d
Méthode
On sait quean+bdivisean+betcn+d. On va donc trouver une combinaison des deux qui supprime les n . Ainsi ,an+bsera diviseur d"un nombre . On pourra trouver les valeurspossibles de n . On n"oubliera pas de vérifier que les valeurs trouvées répondent bien à la
questionExercice résolu
Déterminer les entiers naturels n tels quen+ 1divisen+ 13: •Combinaison linéaire qui annule les n :n+ 13-(n+ 1) = 12. •Les diviseurs de 12 sont 1, 2 , 3 ,4 , 6 et 12 . •n+ 1doit être égal à ces diviseurs . On doit donc résoudre : n+ 1 = 1??n= 0 oun+ 1 = 2??n= 1 oun+ 1 = 3??n= 2 oun+ 1 = 4??n= 3 oun+ 1 = 6??n= 5 oun+ 1 = 12??n= 11 •On doit vérifier maintenant que les valeurs possibles de n fonctionnent , autrement dit , quand on remplace n par la valeur trouvée , est-ce quen+ 1divise bienn+ 13.En détail pour la première : sin= 0, alorsn+ 1 = 1etn+ 13 = 13et 1 divise bien 13 . Donc la première valeur est acceptée . On les vérifie toutes . Dans cet exemple , elles sont toutes acceptées . •Conclusion : Les valeurs de n cherchées sont 0 , 1 , 2 , 3 , 5 et 11 .Attention
La phase de vérification est très importante car on ne travaille pas par équivalence . On peut donc trouver des valeurs qui divisent la combinaison linéaire mais pas les éléments qui la composent . Exemple : 3 divise2 + 4et pourtant 3 ne divise ni 2 , ni 4 1Méthodes divisibilité
2 Division euclidienne
Question type
Déterminer selon les valeurs de n le reste de la division euclidienne dean+bparcn+bMéthode
On commence par écrire la division simple , par exemple3n+ 5 = 3(n+ 1) + 2 Ensuite , on vérifie que le reste est positif . Si ce n"est pas lecas , on diminue le quotient pour pouvoir augmenter le reste .Puis , on résout l"inéquation pour savoir si le reste est bienplus petit que le diviseur : ici ,
2< n+ 1
Enfin , on étudie les autres valeurs de n par disjonction des cas .Exercice résolu
Soit n un entier naturel . Déterminer selon les valeurs de n lereste de la division euclidienne de7n+ 5par3n+ 1 •On a immédiatement :7n+ 5 = 2(3n+ 1) +n+ 3 •On doit avoirn+ 3>0??n >-3. Pas de souci puisque n est un entier naturel .•Il faut regarder maintenant pour quelles valeurs de n ,n+3<3n+1??2<2n??1< n. On peut donc conclure déjà que pourn >1
, le reste de la division euclidienne de7n+ 5par3n+ 1estn+ 3•Etudions les autres valeurs de n par disjonction des cas :Sin= 1, alors12 = 4×3 + 0donc le reste est 0 .
Sin= 0, alors5 = 1×5 + 0donc le reste est 0
•Conclusion : sin >1, le reste estn+ 3; sinon , le reste est 0 .Attention
Ne pas oublier l"étape de disjonction s"il y a d"autres valeurs de n non traitées . 2Méthodes divisibilité
3 Congruences
Question type
Déterminer les restes dekndans la division euclidienne par a .Méthode
On commence par calculer les puissances de k en utilisant lescongruences pour en trouver une égale à 1 modulo a . Ensuite , on applique les propriétés des puissances .Exercice résolu
Déterminer les différents restes possibles de la division euclidienne de2npar 17. •On commence par chercher une valeur de n telle que2n≡1 [17]. On a :22= 4,23= 8,24= 16. Or on sait que16≡ -1 [17]et si on met-1au carré , on trouve 1 !! Eurêka ! (24)2≡1 [17]donc28equiv1 [17]
•Maintenant , on passe aux puissances égales aux multiples de8 : (28)k≡1k[8]et donc28k≡1 [17].
•Et les autres puissances :28k+1= 28k×2≡2 [17]. 28k+2= 28k+1×2≡4 [17].
28k+3= 28k+2×2≡8 [17].
28k+4= 28k+3×2≡16 [17]≡ -1 [17].
28k+5= 28k+4×2≡ -2 [17]≡15 [17].
28k+6= 28k+5×2≡ -4 [17]≡13 [17].
28k+7= 28k+6×2≡ -8 [17]≡9 [17].
•La conclusion , on liste les résultats :Le reste de la division euclidienne de2npar 17 est :
Sin= 8k: 1 ; sin= 8k+ 1: 2 ; sin= 8k+ 2: 4 ; sin= 8k+ 3: 8 ; sin= 8k+ 4: