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Composition des applications lin´eaires

D´edou

Novembre 2010

Exemple de composition

Exercice r´esolu

Calculez la compos´eeg◦favec

g:= (x,y)?→?x+y x-y? ,f:= (x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z

2x+ 2y+ 2z?

.Solution

On calcule

(g◦f)(x,y,z) = (g(f(x,y,z)) (par d´efinition de la composition) =g(3x+ 5y+ 7z,2x+ 2y+ 2z) (par d´efinition def) = (5x+ 7y+ 9z,x+ 3y+ 5z) (par d´efinition deg).

La compos´eeg◦fest donc

(x,y,z)?→?5x+ 7y+ 9z x+ 3y+ 5z?

Exercice

Exo 1

Calculez la compos´eeg◦favec

g:= (x,y)?→?2x+y x+ 2y? ,f:= (x,y,z)?→?3x+ 3y+ 3z

2x+ 4y+ 6z?

Lin´earit´e de la composition : ´enonc´e

Proposition

La compos´ee de deux applications lin´eaires est encore lin´eaire.

Plus formellement, ¸ca se lit :

?p,q,r?N,?f?Lq,r,?g?Lp,q,g◦fest lin´eaire.

Lin´earit´e de la composition : preuve

Soientp,q,rtrois entiers,fdansLq,retgdansLp,q. Pour montrer queg◦fest lin´eaire, il faut montrer : ?λ,μ?R,?u,v?Rr,(g◦f)(λu+μv) =λ(g◦f)(u)+μ(g◦f)(v).

On a (g◦f)(λu+μv)

=g(f(λu+μv)) (par d´efinition de la composition) =g(λf(u) +μf(v)) (par lin´earit´e def) =λg(f(u)) +μg(f(v)) (par lin´earit´e deg) =λ(g◦f)(u) +μ(g◦f)(v) (par d´efinition de la composition).

Carte de visite des compositions

On rappelle queLp,qd´esigne l"ensemble des applications lin´eaires deRqdansRp. p,q,r:Lp,q×Lq,r→Lp,r (g,f)?→g◦f (g,f)?→(v?→g(f(v)).

Et il faut voir ¸ca comme suit :

R rf-→Rqg-→Rp.

Surcharge pour les compositions

Notation

On note toutes les compositions d"applications avec le seul signe◦.Exo 2 Sachant quehest dansLp,qetfdansLr,s, dites quelles sont les compositions (lin´eaires) figurant dans la formule d"associativit´e (h◦g)◦f=h◦(g◦f). Associativit´e de la composition : ´enonc´e

Proposition

La composition des applications lin´eaires est associative.

Plus formellement, ¸ca se lit :

Associativit´e de la composition : d´emonstration Soientp,q,r,s,f,g,hcomme dans l"´enonc´e. On doit montrer (h◦g)◦f=h◦(g◦f) autrement dit ?u?Rs,((h◦g)◦f)(u) = (h◦(g◦f))(u).Soit doncu quelconque dansRs. Par d´efinition de la composition, on a ((h◦g)◦f)(u) = (h◦g)(f(u)) =h(g(f(u))). Et de mˆeme (h◦(g◦f))(u) =h((g◦f)(u)) =h(g(f(u))). On a donc bien ((h◦g)◦f)(u) = (h◦(g◦f))(u). Cqfd.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29