217 Un anneau principal non euclidien
2 17 Un anneau principal non euclidien Référence : D Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, 1996 Leçons concernées : 122 On cherche à montrer qu’un certain anneau est principal mais non euclidien Pour cela on commence par énoncer une condition nécessaire lorsqu’un anneau A est euclidien Proposition 1
D´eveloppement : Un anneau principal non euclidien
D´eveloppement : Un anneau principal non euclidien Lec¸ons: 122 Th´eor`eme Soit ω= 1 + i 19 2 Z[ω] est principal mais non euclidien D´emonstration On pose A= Z[ω] Etape 1´ : G´en´eralit´es sur l’anneau A
Un anneau principal non euclidien - UNIGE
Un anneau principal non euclidien Références : Perrin,Cours d’algèbre,partieII 5 Onnoteα 1 i? 19 2 etA Zrαs,alorsAestunanneauprincipal,non-euclidien Théorème Démonstration Étape 1 : αestracinedeP T2 T 5,carα α 1 etαα 5 Ainsi,A a bα pa,bqPZ2 (estunsous-anneaudeC 1 DoncAestintègre;etcommeα 1 α,Aeststableparconjugaison
111: Anneaux principaux Applications
Théorème 2 outT anneau euclidien est principal La réciproque est fausse Exemple 10 L'anneau Z[1+i p 19 2] est principal non euclidien 1 5 Stabilité de la notion d'anneau principal Comme vu précédemment, la notion d'anneau principal n'est pas stable par passage à A[X]
Feuille d’exercices n 13 : Anneaux
Problèmes Exercice 13 (Un exemple d’anneau principal non euclidien) Ondémontred’abordlecritèresuivantdecaractérisationdenon-euclidiennité
COURBES ET FIBRES VECTORIELS EN TH EORIE DE HODGE -ADIQUE - BU
Bien sur,^ tout anneau euclidien est presque euclidien Proposition 1 9 Soit (B;deg) un anneau presque euclidien dont le stathme est multiplicatif, deg(ab) = deg(a)+deg(b) L’anneau Best principal si et seulement si pour tout x;y2Bnf0gde m^eme degr e, il existe a;b2Bv eri ant soit 16= deg(ax+ by)
Arithmétique - Dunod
La photocopie non autorisée est un délit 4 6 Classes modulo un sous-groupe 54 6 2 Anneau quotient 89 6 3 Anneau Z/nZ 91 9 1 Anneau principal 135
Commutative Algebra Tome I Elementary properties of rings and
Jun 13, 2017 · we will call those rings and use the appropriate adjectives for the other structures (e g non-commutative ring, non-commutative unital ring, etc ) Since we will always denote addition by + and multiplication by juxtaposition, we simply denote a ring by its symbol, which is usually Ror A(for the corresponding French term “anneau”)
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D´eveloppement : Un anneau principal non euclidien
Lec¸ons: 122.
Th´eor`eme.Soitω=1 +i⎷19
2 .Z[ω]est principal mais non euclidien. D´emonstration.On poseA=Z[ω].´Etape 1: G´en´eralit´es sur l"anneauA.On aω2=-92
+i⎷19 2 =-5 +ω, ainsiA={a+bω,(a,b)?Z2}. On en d´eduit queAest un sous-anneau deC. De plus,ω= 1-ωdoncAest stable par conjugaison.Aest int`egre carCest int`egre. D´eterminons les inversibles deA. On pose, pourz?A,N(z) =zz=|z|2.Commeω+ω= 1 etωω=14
+194= 5, on aN(a+bω) = (a+bω)(a+bω) =a2+ab+ 5b2?N, et on a aussi en passant `a la forme canoniqueN(z) =? a+b2 2 +19b24
Soientz,z??A. On aN(zz?) =N(z)N(z?) d"o`u siz|z?dansA, on a aussiN(z)|N(z?) dansN. Ainsi, siz=a+bω
inversible dansA,zdivise 1 doncN(z) diviseN(1) = 1 doncN(z) = 1. R´eciproquement, siN(z) = 1, on azz= 1 et
commez?A,zest inversible d"inversez. SiN(z) = 1, on a d"apr`es (?) queb= 0 d"o`u 1 =N(z) =a2+ab+5b2=a2,
ainsia=±1. CommeN(±1) = 1, on a les inversibles :A×={-1,1}.Etape 2:An"est pas euclidien.
Par l"absurde, supposonsAeuclidien, soit?:A\{0} →Nun stathme associ´e. SoitX={?(z),z?A\{-1,0,1}}. On a?(ω)?XdoncXpartie non vide deN, elle admet donc un plus petit ´el´ementm. Soitu?A\{-1,0,1}tel que?(u) =m. On au?= 0 etunon inversible doncN(u)≥2. Soitz?A\{-1,0,1}. Il existeq,r?Atels quez=uq+retr= 0 ou?(r)< ?(u). Par d´efinition deu,?(r)/?X doncr? {-1,0,1}. On a donc trois possibilit´es :z=uq-1,z=uqouz=uq+1, par suiteudivisez-1,zouz+1.On appelleP(z) cette propri´et´e.
On appliqueP(z) `az= 2 : ainsiudivise 1, 2 ou 3. Siudivise 1, alorsuinversible, impossible. On noteu=a+bω.
- Supposons queudivise 2 : alorsN(u) diviseN(2) = 4 doncN(u) = 2 ou 4. - Supposons queudivise 3 : alorsN(u) diviseN(3) = 9 doncN(u) = 3 ou 9.En appliquant maintenantP(z) `az=ω, on audiviseω-1,ωouω+1. DoncN(u) diviseN(ω-1) = 5,N(ω) = 5
ouN(ω+ 1) = 7, contradiction avecN(u)? {2,3,4,9}. DoncAn"est pas euclidien.Etape 3:Aest principal.
SoitIid´eal deAnon r´eduit `a{0}. SoitT={N(x),x?I\{0}}, c"est une partie non vide deNqui poss`ede donc
un plus petit ´el´ementk?N?, soity?Itel queN(y) =k. Soitx?I\{0}. On a dansC,z:=xy =xyN(y)=α+βωγ
o`u on peut supposerα,β,γ?Zpremiers entre eux dans leur ensemble etγ >0.- Siγ= 2 : alorsαouβest impair. Soitu=α+βω, ainsiz=u/2. AlorsN(u) =α2+αβ+ 5β2est impair :
soitv?Ntel queN(u) = 2v+ 1, alorszu-v=12N(u)-v) =12
- Siγ≥3 : par B´ezout, il existem,n,q?Ztels quenα+ (m+n)β-qγ= 1. Soitpun des entiers les plus proches demα-5nβγ . Soientu=m+nω,v=p+qω. On a zu-v=α+βωγ (m+nω)-(p+qω) =mα+mβω+αnω+βn(-5 +ω)γ -(p+qω) mα-5nβγ -p+β(m+n) +αn-qγγω=r+ωγ
AlorsN(zu-v) =r2+rω+ω
2=r2+rγ
+5γ +16 +59=3536 <1.
Etzu-v?= 0 sinonω=-rγ?R, ce qui est faux.
On a doncu,v?Atqzu-v?= 0,N(zu-v)<1. On aux-vy=y(zu-v)?= 0 etN(ux-vy)< N(y), contradictionavec la d´efinition deycarux-vy?I\{0}. Ainsiγ <2 doncγ= 1 etz=α+βω?A, doncx=yz?yAet comme
y?I,I=yAetAest principal.R´ef´erences B. Hauchecorne,Les contre-exemples en math´ematiques, Ellipses, p. 49. 1quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44