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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

M2IF Evry

Monique Jeanblanc

Universite d'EVRY

Mars 2009

2

Contents

1 Rappels7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6 Changement de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Mouvement Brownien 15

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8.1 Partie I : Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3 Integrale d'It^o29

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
3

4CONTENTS

4 Exemples45

4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5 Equations dierentielles stochastiques 51

5.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.3 Autres equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.5 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6 Girsanov59

6.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

7 Complements75

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

8 Processus a sauts 85

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

8.4 Temps de Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

8.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

1 Rappels, Corriges 91

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

CONTENTS5

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

1.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2 Mouvement Brownien, Corriges 101

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3 Integrale d'It^o, Corriges 113

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

3.5 Brownien geometrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

4 Exemples, Corriges 125

4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

4.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

4.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

4.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

5 Equations dierentielles stochastiques, Corriges 129

5.1 Equation Lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

5.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

5.3 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

5.4 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

6 Girsanov, Corriges 135

6.1 Resultats elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

6Rappels

6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

7 Complements, Corriges 141

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

8 Sauts, Corriges.149

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

8.3 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

Chapter 1

Rappels

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1

Ensembles appartenant a une tribu.

1. Montrer que siFest une tribu, et siAetBappartiennent aFavecAB, alorsBA2 F ouBAest l'ensemble des elements deBqui ne sont pas dansA. 2. Montrer que siCetDappartiennent aF, alorsCDdef=fC\Dcg [ fCc\Dgappartient a F.

Exercice 1.1.2

Exemples de tribus.

1.

Decrire la tribu engendree par un ensembleA.

2. Decrire la tribu engendree par deux ensemblesAetBdisjoints.

Exercice 1.1.3

Fonctions indicatrices.

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35