Unité C Identités trigonométriques
C-1 analyser des identités trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement – suite C-14 • utiliser des identités de base pour démontrer des identités trigonométriques (suite) Exemple 2 sin x 1 + cos x Soit l'identité = : 1 – cos x sin x π a) vérifie l'identité dans le cas précis où x = 3
Formulaire de trigonométrie circulaire
Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan(x) cos(x) = abscisse de M sin(x) = ordonnée de M tan(x) = AH cotan(x) = BK
Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses 6
6 1 rappel (fonctions trigonométriques) André Lévesque 6-5 identités trigonométriques une fonction ƒ(x) est périodique de période p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x) pour toute valeur de x Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π (k est un nombre entier) 1 sin(θ ± 2kπ)= sin θ 2 cos(θ ± 2kπ)= cos θ (cos θ, -sin θ)
trigonométrie, géométrie vectorielle et géométrie analytique
2 1 Vérification des identités trigonométriques 110 2 2 Equations trigonométriques 115 2 3 Les formules d’addition et de soustraction 127 2 4 Les formules pour des multiples d’angles 138 2 5 Les formules de transformation de produit en somme et de somme en produit 148 2 6 Les fonctions trigonométriques réciproques 153
Formulaire de trigonométrie - MATHEMATIQUES
Formulaire de trigonométrie Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente b 1 1 M(x) cos(x) sin(x) • M est un point du cercle trigonométrique
T sec 2 T I E sin 1I T
19 la multiplication par un conjugué aide à simplifier certaines expressions trigonométriques Simplifie sin 1 cos T T en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 1 cos T Explique comment cela aide à simplifier l’expression 2 2 sin 1 cos 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin u TT
FONCTIONS - Le Centre franco
trigonométriques, de la loi du sinus et de la loi du cosinus De plus, elle ou il utilise le radian dans des applications et montre des identités trigonométriques Unité 4 : Fonctions trigonométriques Durée : 18 heures Dans cette unité, l’élève détermine, au moyen de l’exploration, le lien entre la représentation
Partie 1
Pour définir ces notions, on utilise une table de vérité qui contient la liste des valeurs possibles pour Pet Q, et la valeur correspondante pour Pet Q, etc Cela est fait sur la figure 1 1 NB : le ou n’est pas exclusif : si les deux propositions sont vraie, « P ou Q » est vraie, au contraire de la valeur de ou dans l’expression
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de jolis théorèmes géométriques, des identités remarquables, en particulier trigonométriques ou relatives aux sommes de carrés et de cubes, et quelques résultats d'analyse et de combinatoire Les Mathématiques : des siècles de Jubilation 48 p 8,30 € * Réf MJU Les mathématiques sont le plus jubilatoire
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Unité C
Identités trigonométriques
C-3 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesDans l'unité qui suit, les élèves :
• examinent le graphique d'identités trigonométriques et les analysent; • vérifient les identités trigonométriques algébriquement, en utilisant les identités trigonométriques de base; • utilisent les identités relatives à la somme, à la différence et au double d'un angle pour le sinus, le cosinus et la tangente pour vérifier et simplifier des expressions trigonométriques.Méthodes pédagogiques
Les enseignants devraient mettre en oeuvre les méthodes pédagogiques proposées ici pour favoriser l'apprentissage des élèves et leur permettre notamment : • d'analyser les identités graphiquement, si c'est approprié; • d'utiliser diverses techniques algébriques pour vérifier des identités; • d'intégrer les identités de base pour résoudre des équations trigonométriques; • d'effectuer des activités d'enseignement différencié appropriées.Exercice d'algèbre
À l'aide de questions brèves et simples qui feront appel à un " calcul mental », les enseignants pourront réviser les concepts de l'algèbre tels que (voir l'annexe C-1) : • la décomposition en facteurs de trinômes; la différence des carrés; les facteurs communs; • les fractions complexes.Matériel
• outils graphiquesDurée
• 12 heuresIDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
Résultat d'apprentissage
généralRésoudre des équations
exponentielles, logarithmiques et trigonométriques et des identitésRésultat(s) d'apprentissage
spécifique(s)C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement C-4 • définir une équation et une identité trigonométrique Une fonction trigonométriqueest par définition une équation qui comprend au moins une fonction trigonométrique d'une variable. On appelle ces équations des identités trigonométriquessi l'équation est vérifiée quelle que soit la valeur des variables dans les deux membres. Si l'équation n'est pas une identité, elle est appelée équation conditionnelle. • examiner et analyser les graphiques des équations ou des identitésExemple 1
Trace le graphique de y= sin xet de y= sin (x+ θ).Solution
y= sin x y= sin (x+ θ) Ces graphiques permettent de constater que sin xαsin (x+ θ).Ce n'est pas une identité.
- suite xy xy MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesRÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
On trouve à la fin de cette unité des activités d'apprentissage à l'appui de l'enseignement différencié (voir les annexes C-2 àC-7, p. C-42 à C-47).
CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
Ressources imprimées
Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Exercices
cumulatifs et réponses.Supplément au document de
mise en oeuvre, Winnipeg,Man., Éducation et Formation
professionnelle Manitoba, 2000.Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Solutions des
exercices cumulatifs.Supplément au document de
mise en oeuvre, Winnipeg,Man., Éducation et Formation
professionnelle Manitoba, 2000.Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Cours destiné à
l'enseignement à distance,Winnipeg, Man., Éducation et
Formation professionnelle
Manitoba, 2001.
C-5Calcul mental
Simplifie :
cos a)π tan β sin β b) sin 2β- cos
2 sin β c) sin 2 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-6 • examiner et analyser les graphiques des équations ou des identités (suite)Exemple 2
Sur le même système d'axes, trace le graphique de y= sin 2xet de y= 2 sin x.Solution
y= sin 2x y= 2 sin x Les graphiques permettent de constater que l'équation n'est pas vérifiée pour toutes les valeurs : ce ne sont pas des identités. Remarque :La méthode des graphiques ne permet pas de démontrer (vérifier) une identité. xy xy MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriquesRÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
Ressource imprimée
Mathématiques pré-calcul
Secondaire 4 : Cours destiné à
l'enseignement à distance,Winnipeg, Man., Éducation et
Formation professionnelle
Manitoba, 2001.
- Module 3, Leçons 1 et 2 C-7 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-8 • énoncer les huit identités trigonométriques de baseIdentités inverses
1 sin xcsc x= tan x= sin xcos x
1 cos xsec x= cot x= cos xsin x
1cot x= tan x
Identités de Pythagore
cos 2 x+ sin 2 x= 1Variations : cos
2 x= 1 - sin 2 x sin 2 x= 1 - cos 2 x •utiliser des identités pour trouver des autres fonctions circulaires Les identités de base peuvent remplacer la méthode du cercle unitaire ou du triangle rectangle pour trouver des autres fonctions circulaires.Exemple
Trouve cos xsi cot x= 2 et sin x< 0.
Solution
cot 2 x+ 1 = csc 2 x 2 2 + 1 = csc 2 x5 = csc
2 x = csc 2 xÉtant donné que sin x< 0, alors csc x= - et
-1 -sin x= ou . 5 - suite 5 5 5 cos 2 x+ sin 2 x= 1 cos cossin cos cos 2 2222
1x xx xx+= cos sinsin sin sin 2 22
22
1x xx xx+= 1 22
+=tan secxx cot csc 22
1xx+= (division par cos 2 x)(division par sin 2 x) MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques
RÉSULTATS D'APPRENTISSAGE
PRESCRITS
STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES
5CommunicationsQRésolution
LiensQRaisonnement
Estimation etQ=Technologie
Calcul Mental Visualisation
C-9Problème
-5Si tan β= et cos β> 0, trouve la valeur exacte de sin β.13 MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques NOTESSTRATÉGIES D'ÉVALUATION
C-1 analyser des identités
trigonométriques graphiquement et les vérifier algébriquement - suite C-10 • utiliser des identités pour trouver des autres fonctions circulaires (suite)Exemple - suite
Solution - suite
Ainsi, cot x= 2
cos x= 2sin x cos x= 2 sin x • utiliser des identités pour simplifier des fonctions trigonométriquesExemple
Simplifie le plus possible l'expression suivante : sin x+ cos 2 xcsc x csc xSolution
sin x+ cos 2 xπcsc xsin xcos 2 xcsc x= +csc xcsc xcsc x sin x= + cos 2 x1 sin x = sin 2 x+ cos 2 x = 1 125225
cos ou 55x- MATHÉMATIQUESPRÉ-CALCULSECONDAIRE4• Identités trigonométriques