Configurations du plan en seconde

D M n°1 : Configurations du plan CORRIGÉ 2nde 4 Exercice 1 1) Dans le triangle OAB, les droites (BM) et (AM) sont des hauteurs du triangle AOB puisqu'elles passent par un sommet et qu'elles sont perpendiculaires à la droite qui porte le côté opposé Le point M, qui est leur point d'intersection est donc l'orthocentre du triangle AOB

Chapitre 3 GEOMETRIE CONFIGURATIONS DU PLAN

CONFIGURATIONS DU PLAN 1°) Longueur d’un segment 3°) Exemple d’étude de configuration du plan Soit (O, I, J) un repère orthonormé

Configurations du plan en seconde - parallélogrammes

Le parallélogramme en seconde Page 1/7 Faire des mathématiques avec GéoPlan Configurations du plan en seconde Parallélogrammes – Rectangles Exercices avec GéoPlan : parallélogrammes, problèmes d'alignement Sommaire Théorème de Varignon 1 Thalès et parallélogramme 2 Projections orthogonales 3 D'un parallélogramme à l'autre 4

Note , / 20

D S n°1 : Configurations du plan, milieux, distances 2nde 4 Vendredi 30 septembre, Calculatrices autorisées, 1h Ce sujet est à rendre avec la copie Note Exercice 1 , / 9 Exercice 2 , / 11 Note , / 20 Il faut toujours prouver vos affirmations (sauf mention contraire de l'énoncé); et,

nde 9 COURS Repérage dans le PLAN Nov 2020

Un repère étant donné, tout point M du plan possède un et un seul couple de coordonnées Réciproquement, à tout couple de coordonnées, on peut associer un seul point M du plan Notation : désigne l'abscisse du point M etg son ordonnée 2) Repères orthonormaux (ou orthonormés) Un repère est orthonormé (ou orthonormal)

Seconde Chapitre II : Année scolaire Repères/Coordonnées

Un repère étant donné, tout point M du plan possède un et un seul couple de coordonnées Réciproquement, à tout couple de coordonnées, on peut associer un seul point M du plan Notation : M(x; y) x désigne l'abscisse du point M et y son ordonnée

Declic 2nde ProgrammeCS3 - Hachette Education

Application du programme de mathématiques Seconde (2009-2010), paru au BO n° 30 du 23 juillet 2009, à l’aide du manuel Déclic 2nde, édition 2004, et du manuel Déclic 1re ES, Obligatoire et option, édition 2005 2 GÉOMÉTRIE

Exo7 - Cours de mathématiques

• Si A,B sont deux points donnés du plan, alors on peut construire, à la règle et au compas, le symétrique de B par rapport à A Pour cela, il sufﬁt juste de tracer la droite (AB) et le cercle de centre A passant par B Cette droite et ce cercle se coupent en B bien sûr et aussi en B0= s A(B), le symétrique de B par rapport à A A B

Un exemple de progression en classe de seconde

Équipe Académique Mathématiques – Bordeaux Page 1/8 2017 Un exemple de progression en classe de seconde Cette poposition de pogession est bâtie su une tame ui est l’étude de fonction, outil indispensable à tous les élèves uel ue soit leu futu choix d’oientation

L’outil vectoriel et géométrie analytique

dans le plan euclidien En cela il se différencie de la force en physique qui elle a un point d’application Cependant, il y a bien un rapport très étroit entre

Le parallélogramme en seconde Page 1/7 F

Configurations du plan en seconde

Parallélogrammes Rectangles

Exercices avec GéoPlan : parallélogrammes, problèmes d'alignement.

Sommaire

Théorème de Varignon

1. Thalès et parallélogramme

2. Projections orthogonales

3. D'un parallélogramme à l'autre

4. Translation et alignement

5. Trisection d'un angle droit !

6. La bille

7. Parallélogramme et bissectrice

8. Parallélogramme inscrit

9. Calculs d'aire dans un rectangle

: http://debart.pagesperso-orange.fr/index.html Document Word : http://www.debart.fr/doc/parallelogramme_seconde.doc Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/parallelogramme_seconde.pdf Page HTML : http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/parallelogramme_classique.html Document n° 64, réalisé le 22/2/2004, mis à jour le 16/1/2010

Le parallélogramme en seconde Page 2/7 F

Théorème de Varignon

Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme. Ce résultat est valable quel que soit le quadrilatère convexe, concave ou croisé. Il peut être démontré dès la classe de quatrième grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle. En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme), le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère, l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.

Si ABCD est par exemple un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux

quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes. Pour un quadrilatère, les milieux et des côtés, les milieux des deux côtés opposés et des diagonales forment des parallélogrammes. Ces trois parallélogrammes ont même milieu : le centre de gravité G du quadrilatère. Les droites qui joignent les milieux des côtés et les milieux des diagonales se coupent en G qui est leur milieu. Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli est surtout connu pour avoir assis en France les idées

de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de

Newton.

Le parallélogramme en seconde Page 3/7 F

1. Thalès et parallélogramme

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que :

DM = x DC

M' est le point de la droite (BC) tel que :

'BM x 1 BC Montrer que les points A, M et M' sont alignés.

2. Projections orthogonales

ABCD est un parallélogramme.

I, J, K, L sont les projections orthogonales

des sommets sur les diagonales.

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

3. D'un parallélogramme à l'autre

Les points P, Q, R et S sont les points

d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.

Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que

PQRS est alors un losange.

Le parallélogramme en seconde Page 4/7 F

4. Translation et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.

C' est le projeté orthogonal de C sur (AM),

D' est le projeté orthogonal de D sur (BM),

M' est le projeté orthogonal de M sur (AB).

(BB') et (CC') se coupent en I. Montrer que les points M, M' et I sont alignés.

Indications :

Dans la translation de vecteur

CB la droite (MM') est globalement invariante, (CC') a pour image la hauteur issue de B du triangle MAB, (DD') a pour image la hauteur issue de A du triangle MAB. Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB. L'image réciproque du point H est I, point de concours des trois droites (CC'), (DD') et (MM').

Les points M,

5. Trisection d'un angle droit !

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités. Le point O complète le triangle équilatéral EFO. C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O. Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD =

Calculer tan(DCA) et tan(FCB).

Le parallélogramme en seconde Page 5/7 F

6. La bille

Calculer l'aire de la surface hachurée.

AB = 2, BC = 1.

Le cercle a pour rayon r =

2 - 1.

L'aire de la surface hachurée est (3 - 2

2 ) + 1.

7. Parallélogramme et bissectrice

Résoudre par une méthode géométrique, dans R, l'équation 412xx
= 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d)

passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la

longueur BJ. Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 2 1 . Donc BC = 2 AM 2 CE et B est le milieu de [EC].

Dans le triangle JAM, EB = AM/2, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le

milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ]. On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.

Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est

parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).

(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice,

d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 2 MA Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que MB MA . Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1)

et A(4). Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = 1x et MA = 4x

Le parallélogramme en seconde Page 6/7 F

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant 2MB MA C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 412xx
= 0, soit x = 2 ou x = -2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

8. Parallélogramme inscrit

Étant donné deux points A et B et deux droites (d1) et (d2) sécantes tracer un parallélogramme

ABCD tel que C appartienne à (d1) et D appartienne à (d2).

Indications

La translation de vecteur

BA transforme la droite (d1) en (d'). (d2) et (d') se coupe en D.

La translation de vecteur

AB transforme D en C.

Le parallélogramme ABCD est solution.

9. Calculs d'aire dans un rectangle

ABCD est un rectangle de centre O.

Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,

tels que AM = CN.

Les deux triangles verts ont la même aire.

Le parallélogramme en seconde Page 7/7 F

L'aire du parallélogramme rouge est égale à celle des deux triangles.

Indications pour la solution

C est l'image de A dans la symétrie de centre O. : les points M et N sont symétriques par rapport à O. Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM), (DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme. Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ, ils ont même aire.

La translation de vecteur

AB même aire. d'aire égale à celle des deux triangles. Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales. Les

ADJ et DBI.

quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Configurations du plan en seconde - parallélogrammes

Le parallélogramme en seconde Page 1/7 F

Configurations du plan en seconde

Parallélogrammes Rectangles

Sommaire

Théorème de Varignon

1. Thalès et parallélogramme

2. Projections orthogonales

3. D'un parallélogramme à l'autre

4. Translation et alignement

5. Trisection d'un angle droit !

6. La bille

7. Parallélogramme et bissectrice

8. Parallélogramme inscrit

9. Calculs d'aire dans un rectangle

Le parallélogramme en seconde Page 2/7 F

Théorème de Varignon

Newton.

Le parallélogramme en seconde Page 3/7 F

1. Thalès et parallélogramme

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que :

M' est le point de la droite (BC) tel que :

2. Projections orthogonales

ABCD est un parallélogramme.

I, J, K, L sont les projections orthogonales

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

3. D'un parallélogramme à l'autre

Les points P, Q, R et S sont les points

Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que

PQRS est alors un losange.

Le parallélogramme en seconde Page 4/7 F

4. Translation et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.

C' est le projeté orthogonal de C sur (AM),

D' est le projeté orthogonal de D sur (BM),

M' est le projeté orthogonal de M sur (AB).

Indications :

Dans la translation de vecteur

Les points M,

5. Trisection d'un angle droit !

AB = BC = 3 et BC = AD =

Calculer tan(DCA) et tan(FCB).

Le parallélogramme en seconde Page 5/7 F

6. La bille

Calculer l'aire de la surface hachurée.

AB = 2, BC = 1.

Le cercle a pour rayon r =

L'aire de la surface hachurée est (3 - 2

7. Parallélogramme et bissectrice

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d)

Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la

Le parallélogramme en seconde Page 6/7 F

8. Parallélogramme inscrit

Indications

La translation de vecteur

La translation de vecteur

Le parallélogramme ABCD est solution.

9. Calculs d'aire dans un rectangle

ABCD est un rectangle de centre O.

Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,

Les deux triangles verts ont la même aire.

Le parallélogramme en seconde Page 7/7 F

Indications pour la solution

La translation de vecteur

ADJ et DBI.