Noyau et image des applications linéaires
Image d’une application lin´eaire : le cas g´en´eral Proposition Soit f : E → F une application lin´eaire Alors l’image de f est un sous-espace vectoriel de F ; si le syst`eme de vecteurs (c 1, ,c n) engendre E (en particulier si c’est une base de E), alors l’image de f est engendr´ee par le syst`eme (f(c 1), ,f(c n)) Et ca
Noyau et image des applications linéaires
Image d’une application lin eaire D e nition Si f : E F est une application lin eaire, son image, not ee Imf, est donc l’ensemble des vecteurs de F de la forme f(v) avec v 2E : Imf := ff(v)jv 2Eg: Exemple L’image de la projection p := (x;y;z) 7(x;y) de R3 sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d’ equation z = 0
Cours - Applications lineaires - Christophe Bertault
1 2 IMAGE D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL PAR UNE APPLICATION LINÉAIRE Théorème (Image d’un sous-espace vectorielpar une application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈L(E,F) •Pour tout sous-espace vectoriel A de E, l’image f (A)de A par f est un sous-espace vectoriel de F
Chapitre 16 : Applications linéaires
L’image d’une application linéaire f :E → F est l’ensemble Im(f)={y ∈ F ∃x ∈ E,f(x)=y} Remarque 3 Les lettres Ker sont les premières du mot allemand Kernel qui signifie, comme vous auriez pu le deviner, noyau Proposition 3 Si f :E → F est une application linéaire, alors l’image d’un sous-espace vectoriel
Chapitre VI Applications linéaires
Illustration : L’image par une application linéaire d’un espace vectoriel de dimension est toujours un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à Exemples : i) L’image par d’une droite est une droite ou un point ii) L’image par d’un plan est un plan, une droite ou un point
Applications linéaires
18 3 Image d'une famille de vecteurs par une application linéaire 196 Nous allons dé nir la notion d'application linéaire Ce chapitre complétera celui que nous avons fait sur les espaces vectoriels Il est très important de le maîtriser pour bien comprendre le programme de deuxième année en algèbre linéaire
Chapitre 5 Applications linéaires - univ-angersfr
§2 Image et noyau d’une application linéaire Définition Soit f :Rm → Rn d’une application linéaire, de la forme
1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
Proposition 1 7 Soient u: EF une application linéaire entre R-espaces vectoriels 1 Si uest surjective, alors l'image d'une famille génératrice de Eest une famille génératrice de F 2 Si uest injective, alors l'image d'une famille libre de Eest une famille libre de F Preuve (i) Soit (e i)
Représentation matricielle des applications linéaires
b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice Noyau, image et rang d’une matrice Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul Condition d’inversibilité d’une matrice triangulaire
Applications linéaires, matrices, déterminants
1 Montrer que est une application linéaire 2 )Donner une base de ker( ), en déduire dim( ( ) 3 Donner une base de ( ) Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4 On considère l’application ℎ:ℝ2→ℝ2 définie par : ℎ( , )=( − ,−3 +3 ) 1 Montrer que ℎ est une application linéaire 2 Montrer que ℎ est ni injective ni
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