Applications linéaires, matrices, déterminants

Soient E et F deux K-espace vectoriels de dimensions ﬁnies Soient B et C des bases respectives de E et F Soit u 2L(E,F) Notons A ˘MatB,C(u) On a : rg A ˘rg(u) Proposition 12 En particulier, le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire qui lui est canoniquement associée

1 Noyau et image d’une matrice - a IEZZI

4 En déduire la matrice de passage P de la base Bà la base B0et calculer son inverse P 1 5 Ecrire la matrice A 0 de l’application linéaire f dans la base B 0 et vériﬁer que A 0 = P 1 AP Exercice 13 * Dans R 3 , on considère les vecteurs

Noyau et image des applications linéaires

Base de l’image d’une application lin eaire : exemple Exo corrig e Donnez une base de l’image de (x;y;z) 7(x + y + 2z;y z;x + 3y) On prend les g en erateurs comme on sait faire, et on enl eve ceux qui sont en trop

ALG 10 Matrices et applications linéaires

linéaire de E dans F est entièrement déﬁnie par l’image d’une base de E Il est facile de calculer les coordonnées de l’image f (x) d’un vecteur x connaissant celles de x et la matrice de f dans les bases de départ et d’arrivée Proposition 10 6 (Calcul des coordonnées d’un vecteur image u(x))

I Théorie du rang COMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et

I Théorie du rangCOMPLEMENTS SUR LES MATRICESI 1 Image et noyau d’une matrice A2M n;p(K) Complément sur les matrices 1Image et noyau d’une matrice A2M n;p(K) • Application canoniquement associée à A C’est l’application f A 2L(Kp;Kn) de matrice A dans les bases canoniques On note :•KerAˆKp le noyau de l’application f A

Cours - Site mathématique de Christophe Bertault

Déﬁnition-théorème (Image d’une matrice) Soit A∈Mn,p(K)de colonnes C1, ,Cp • Déﬁnition : On appelle image de A et on note Im A l’image de son application linéaire canoniquement associée

ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

Théorème (Caractérisation des isométries par l’image d’une base orthonormale) Soient E 6= 0E un espace euclidien, f ∈ L(E)et B une base orthonormale de E Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est une isométrie vectorielle de E (ii) f (B)est une base orthonormale de E