La factorisation de polynˆomes
La factorisation de polynˆomes Les polynoˆmes de degr´e un sont tous de la forme a1x + a0 On les appelle des fonctions lin´eaires Les fonctions3x+2,x−1 et−3x+4 sont toutesdes exemples de fonctionslin´eaires
Chapitre 4 : Polynômes
4 Le résultat précédent implique qu’un polynôme de degré 4 est toujours factorisable mais cela ne signifie pas qu’il possède nécessairement une racine réelle Par exemple X4 +2X2 +1 est factorisable mais ne possède aucune racine réelle (c’est clair?) Exemple 8 ♥ Factoriser les polynômes suivants : 1 P (X)=X3 +X2 +4; 2 Q
Factorisation de polynômes de degré 3 - SiteWcom
Factorisation de polynômes de degré 3 Théorème(admis) Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle fi, alors ce polynôme est factorisable par (x¡fi) on a alors : P(x) ˘(x¡fi)£Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2 Utilisation: Le polynôme P(x) ˘x3 ¡4x2 ¡7x¯10 admet comme racine évidente le nombre 1
OLYNÔMES 4 Polynômes - Apprendre en ligne
a4bc f –3a3b2c d –a4bc3 g –5a 2b+2a b h –5ab 3+2ab +3ab 4 2 Polynômes Définitions Un polynôme est une somme ou différence de monômes Le degré d'un polynôme par rapport à une lettre est la plus grande puissance à laquelle cette lettre est élevée dans le polynôme Exemple : le polynôme 1 3 ax4–3bx+2 est de degré 4
TD n 15: Polynômes
Montrer que X (X −2)divise (X − 1)4 +(X −1)2 −2et calculer le quotient Exercice 5 Soit P(X)=X4−2X3+6X2−2X +5 Montrer que i est racine de P En déduire une factorisation dans C [X]puis dans R[X](en produit de polynômes irréductibles) de P Exercice 6 Factoriser X4 − 14X2 +24X − 8 en facteurs irréductibles sur R[X] sachant
Polynômes - Lycée privé Sainte-Geneviève
En examinant le terme de degré n+1de chaque côté de l’égalité (X2 −1)Q′ =2XQ, on obtient nan =2an En divisant par a n 6=0 , on a n=2 (1c) D’après la question précédente, il suffit de chercher Q∈ Gparmi les polynômes de degré 62
9 Polynômes
2 CHAPITRE 9 POLYNÔMES Exemple 9 1 La fonction P:xx2 3x5 +2x3 +x 4 est un polynôme de degré 5 et de coefficient dominant égal à 3 La fonction Q:x(2x 3)8 est un polynôme de degré 8 et de coefficient dominant
NOM : POLYNOMES 1ère S
1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9 2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle 3) La fonction polynôme Pdéfinie par P(x) = x5 +x4 +7x+1 n’a pas de racines positives 4) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales
1 Opérations sur les polynômes - Exo7
(a) A=X5 +3X4 +2X3 X2 3X 2 et B=X4 +2X3 +2X2 +7X +6 (b) A=X6 2X5 +2X4 3X3 +3X2 2X et B=X4 2X3 +X2 X +1 Indication H Correction H Vidéo [006957] Exercice 5 1 Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q, alors le quotient et le reste de la
1 Fonctions polynôme de degré 2
Exemple 5 Factoriser les trinômes suivants (utiliser les résultats de l’exemple 2) : 1 −5 x2 +8 2 2 3 x2 − +1 3 4 x2 +6 + 9 4 3 2 Signe du trinôme ax2 +bx+cavec a6=0 Soit le trinôme ax2+bx+c avec a 6= 0 et ∆ son discriminant • Si ∆ > 0, le trinôme s’annule en deux réels distincts x1 et x2 Si x1 < x2, le tableau de signes
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NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 1
Parmi les 5 affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles
sont fausses, donner un contre-exemple.1)Si une fonction polynôme est de degré3, alors son carré est de degré9.
2)Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.
3)La fonction polynômePdéfinie parP(x) =x5+x4+ 7x+ 1n"a pas de racines positives.
4)Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
5)Siest une racine de deux fonctions polynômesRetS, alors,R(x)S(x)est factorisable parx.D. LE FUR 1/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 2
Démontrer que la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x2+x1possède une racine réelledans l"intervalle
[0 ; 1].Il n"est pas demandé de la calculer.
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234563210123456789D. LE FUR 2/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 3
On considère les fonctionsfetgdéfinies surRparf(x) =x3etg(x) =x2+x1. On note(Cf)et(Cg)leurs représentations graphiques respectives. Calculer les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(Cg).IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg)65432101234563210123456789D. LE FUR 3/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 4
On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x3+ 6x29x+koùkest un nombre réel.1)Déterminer la valeur du réelkpour que4soit une racine deP.
2)Pour la valeur dekdonnée à la question précédente, résoudre l"inéquationP(x)<0.Illustration
O~ i~ j(Cf)32101234563210123456789D. LE FUR 4/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 5
Résoudre l"inéquation
2x2+ 3x10x3+ 7x214x+ 8>0.
On pourra, s"il y a lieu, factoriser le numérateur et le dénominateur puis faire un tableau de signes.Illustration
O~ i~ j(Cf)654321012345620161284048121620D. LE FUR 5/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 6
On considère la fonction polynômePdéfinie par :P(x) =x35x2+ 3x+ 1.On note,et
ses racines (elles existent!).1)Ecrire en fonction de,et
la forme (totalement) factorisée deP(x).2)Montrer que :++
= 5,+ = 3et =1.3)Sachant que= 2p5et= 1, calculer (simplement) la troisième racine
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234561210864202468D. LE FUR 6/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 7
On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x2+ 12(4x+ 2)2.1)Montrer quePest une fonction polynôme dont on précisera le degré.
2)Résoudre l"équationP(x) = 0.Illustration
O~ i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 120110
100
90807060504030201001020
D. LE FUR 7/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 8
Le but de cet exercice est de montrer qu"un entierNest divisible par9si et seulement si la somme de ses chiffres
est divisible par9. A l"entierNqui s"écritanan1a2a1a0dans le système décimal, on associe le polynômeP(x) =anx2+an1xn1++a2x2+a1x+a0:
Ainsi, on a :N=P(10).
Un exemple.
Au nombreN= 9873, on associe la fonction polynômeP(x) = 9x3+ 8x2+ 7x+ 3. On a bien :N=P(10).1)SoitSla somme des chiffres deN. Montrer queS=P(1).
2)On poseP0(x) =P(x)S. Montrer que1est racine deP0(x).
3)En déduire queP(x) = (x1)Q(x) +SoùQest un polynôme de degrén1.
4)Montrer queN= 9Q(10) +S. En déduire queNest divisible par9si et seulement siSest divisible par9.D. LE FUR 8/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 9
On considère l"expression :f(x) =
x+p1 +x23+ xp1 +x23.1)Démontrer que(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3et que(ab)3=a33a2b+ 3ab2b3.
2)Démontrer quefest une fonction polynôme dont on précisera le degré.
3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 20 18 16 14 12 10 864202468101214161820
D. LE FUR 9/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 10
On considère la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x4+x37x213x6.1)Quel est le degré deP?
2)Montrer quex=1est une racine deP.
3)Déterminer une fonction polynômeQdu troisième degré telle queP(x) = (x+ 1)Q(x).
4)Déterminer les racines deQ. On pourra s"inspirer des questions précédentes.
5)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration
O~ i~D. LE FUR 10/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 11
Résoudrex46x2+ 8 = 0etx4x212 = 0.D. LE FUR 11/ 50NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 12
Soientfetgles fonctions définies parf(x) = 1x2etg(x) =x24x+ 2pour toutxréel. On note(Cf)et(Cg)leurs courbes représentatives respectives dans un repère(O;!i ;!j).1)Dresser les tableaux de variations defetg.
2)Résoudre l"inéquationg(x)60et interpréter graphiquement.
3)Tracer(Cf)et(Cg)en précisant les coordonnées des points d"intersection éventuels.
IllustrationO~
i~ j(Cf)(Cg) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 87654321012345678
D. LE FUR 12/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 13
Factoriser surR:P(x) =x41.
IllustrationO~
i~ j(Cf)65432101234562101234567891011121314D. LE FUR 13/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 14
On donne la fonction rationnellefdéfinie par :f(x) =2x3+ 11x27x20x 22x3.1)Quel est l"ensemble de définition def?
2)Factoriser le numérateur et le dénominateur def, puis simplifier l"expression def(x).
3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.
IllustrationO~
i~ j(Cf)A654321012345684048121620
D. LE FUR 14/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 15
Résoudre les équations :
x3+x2+x+ 1 = 0On pourra remarquer quex3+x2=x2(x+ 1).
3x3+x2+ 3x+ 1 = 0On pourra remarquer que3x3+x2=x2(3x+ 1).D. LE FUR 15/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 16
Déterminer une fonction polynômePde degré3admettant1,3et4pour racines et telle queP(2) = 90.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 56403632282420161284048121620
D. LE FUR 16/ 50
NOM : POLYNOMES 1ère S
Exercice 17
On considère la fonction polynôme définie par :Q(x) = 2x37x+ 2:
1)Vérifier que2est une racine deQ.
2)FactoriserQet résoudre l"équationQ(x) = 0.
IllustrationO~
i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4036