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GÉOMÉTRIE Repérage sur le cercle 1 et trigonométrie

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I REPÉRAGE SUR UN CERCLE (VIDÉO 1)

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Repérage sur le cercle et trigonométrie - Seconde

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1 – CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

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appelle cercle trigonométrique Le périmètre de ce cercle est 2 π On considère la droite graduée ∆ tangente au cercle en I Pour un réel x repéré sur la droite ∆, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle par "enroulement" de la droite ∆ sur le cercle On dit que M est l'image sur le cercle du réel x

Fonctions trigonométriques

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Première S Cours angles orientés - trigonométrie I Repérage

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Chapitre 5 : Fonctions trigonométriques

1 re-Spécialité mathématiques, 2019-2020

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

1.1. Cercle trigonométrique

Définition 1.

Dans un repère orthonormé(O;I,J), on appellecercle trigonométrique, le cercleCde centreOet de rayon1sur lequel on a choisi un sens de parcours de

IversJappelésens direct.

sens direct O IJ C

Remarque 1.

Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d"une montre. Sens indirect : sens négatif, sens horaire, sens rétrograde.

Remarque 2.Comme le cercle trigonométrique est de rayon1, son périmètre est de longueur2π.

1.2. Le radian et longueur d"arc

Définition 2.

À chaque réelx, on associe un pointMsur le cercle trigonométrique. Ce réelxest lié à l"angle au centre ?IOMetxest la mesure enradiande l"angle?IOM. OIJ M xrad Remarque 3.Il y a proportionnalité des mesures en degrés et des mesures en radians d"un angle. Exemple 1.Un quart d"un angle plat a pour mesure180

4= 45◦ouπ4radians.

Exemple 2.Compléter le tableau suivant :

Mesure en degrés03045180360

Mesure en radiansπ

2 2π 3π Exemple 3.Donner la mesure en radians des angles suivants :

150◦2110◦3185◦475◦

Exemple 4.Donner la mesure en degré des angles suivants :

1π7rad

25π6

33π8

49π14

La longueurld"un arc de cercle de rayonRet d"angle au centre de mesureαen radian (0?α?2π) estl=R×α.

Propriété 1.l=R×α

α rad

Exemple 5.Soit(O;I;J)un repère orthonormé etC(O,4)le cercle de centreOet de rayon4. SoitM le point du cercleCtel que?IOM=7π

8. Calculer la longueur de l"arc?IM(Arrondir à l"unité).

1/4

1.3. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé(O;I,J), on considère le cercle trigonométriqueCde centreOet la droiteD

tangente au cercle au pointI. On gradue cette droite avec tous les nombres réels, le pointIcorrespondant

au nombre0. On enroule cette droite, dite droite des réels, autour du cercle. ?Chaque réelxde la droiteDvient s"appliquer sur un unique pointMdu cercle trigonométriqueC, appelé image dexsurC. ?À tout pointMdu cercle trigonométrique correspond une infinité de gra- duations sur la droiteD. En effet, tout pointMdu cercleCest l"image d"un réelx; il est alors aussi l"image des réelsx+ 2π,x+ 4π, ...,x-2π, x-4π, ...

Propriété 2.

D OIJ A1x M C

Exemple 6.Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, placer les longueurs suivantes :π4,-π4,π2,-π2,

3π

4,-3π4,5π4,7π4,-π4,πet0.

00 C IJ

1.4. Point image et nombres réels associés

Sixetx?désignent des nombres réels tels quex-x?=k×2πoùkest un nombre entier relatif (k?Z),

alorsxetx?ont le même point image sur un cercle trigonométrique.

Propriété 3.

Preuve.Un cercle trigonométrique a pour longueur2π. Donc les points images de nombres réelsxetx?

tels quex-x?=k×2πoùk?Z, sont espacés dektour(s) complet(s) et ils sont confondus.

Exemple 7.Dire si les deux nombres réels ont le même point image sur le cercle trigonométrique.

1π4et17π4

2-8π5et9π5

32π3et-5π6

4-π2et27π2

SiMest le point d"un cercle trigonométrique, image d"un nombreréelx, alorsMest aussi le point image des nombres réelsx+k×2πoùkest un nombre entier relatif (k?Z).

Propriété 4.

Exemple 8.Donner deux nombres réels positifs et un nombre réel négatifayant le même point image

sur le cercle trigonométrique que les nombres réels suivants :

1π2π2

3π4

4-3π5

2/4

2. Cosinus et sinus d"un nombre réel2.1. Cosinus et sinus

Définition 3.

Soit un repère orthonormé(O;I,J)etCle cercle trigonométrique de centreO.

Mest le point deCimage du nombre réelx.

lecosinusdex, notécos(x), est l"abscisse deM. lesinusdex, notésin(x), est l"ordonnée deM. OIJ M cosxsinx x Pour tout nombre réelxet tout nombre entier relatifk,

-1?cos(x)?1 -1?sin(x)?1

cos(x+k×2π) = cos(x)sin(x+k×2π) = sin(x)

cos2(x) + sin2(x) = 1

Propriété 5.

2.2. Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Tableau des valeurs remarquables :

xen radians0π 6 4 3 2π xen degrés030456090180 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 210
cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20-1 O 6 ⎷3 21
2 4 ⎷2

2⎷

2 2 3 1

2⎷

3 2 21
1 ♣Démonstration 1.Calcul decos?π 3? etsin?π3? ?voir feuille d"exercices. ♣Démonstration 2.Calcul decos?π 4? ?voir feuille d"exercices.

Exemple 9.Soitxun nombre réel de l"intervalle?

0;π

2? tel quecos(x) =35. Calculersin2(x). Donner le signe desin(x), en déduire sa valeur.

Exemple 10.Sachant quesinx=-⎷

3avec-π2< x <0, déterminer la valeur exacte decosx.

3/4

3. Fonctions cosinus et sinus3.1. Fonction cosinus

Définition 4.

Lafonction cosinus, notéecos, est la fonction définie surRparcos :x?→cos(x).

O-2π-3π2-π-π2

2π3π

22πy= cosx

1 -1xx cos -π-π20π2π -1-1 11 -1-1 00 Pour tout nombre réelxon acos(-x) = cos(x), la fonction cosinus est paire.

Propriété 6.

Remarque 4.La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. OIJ M N x -x

La fonction cosinus est une fonction périodique de période2π, dite "2π-périodiques » :

Pour tout nombre réelxon acos(x+k×2π) = cos(x), aveckun nombre entier relatif.

Propriété 7.

Remarque 5.La courbe représentative de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur

2π-→OI.

3.2. Fonction sinus

Définition 5.

Lafonction sinus, notéesin, est la fonction définie surRparsin :x?→sin(x).

O-2π-3π2-π-π2

2π3π

22πy= sinx

1 -1xx sin -π-π20π2π 00 -1-1 11 00 0 Pour tout nombre réelxon asin(-x) =-sin(x), la fonction sinus est impaire.

Propriété 8.

Remarque 6.La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l"origine du repère.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] 1 Repérage sur le cercle trigonométrique

Chapitre 5 : Fonctions trigonométriques

1. Repérage sur le cercle trigonométrique

1.1. Cercle trigonométrique

Définition 1.

IversJappelésens direct.

Remarque 1.

1.2. Le radian et longueur d"arc

Définition 2.

4= 45◦ouπ4radians.

Exemple 2.Compléter le tableau suivant :

Mesure en degrés03045180360

Mesure en radiansπ

150◦2110◦3185◦475◦

1π7rad

25π6

33π8

49π14

Propriété 1.l=R×α

α rad

8. Calculer la longueur de l"arc?IM(Arrondir à l"unité).

1.3. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Propriété 2.

4,-3π4,5π4,7π4,-π4,πet0.

1.4. Point image et nombres réels associés

Propriété 3.

1π4et17π4

2-8π5et9π5

32π3et-5π6

4-π2et27π2

Propriété 4.

1π2π2

3π4

4-3π5

2. Cosinus et sinus d"un nombre réel2.1. Cosinus et sinus

Définition 3.

Mest le point deCimage du nombre réelx.

 -1?cos(x)?1 -1?sin(x)?1

cos2(x) + sin2(x) = 1

Propriété 5.

2.2. Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Tableau des valeurs remarquables :

2⎷

2⎷

Exemple 9.Soitxun nombre réel de l"intervalle?

0;π

Exemple 10.Sachant quesinx=-⎷

3avec-π2< x <0, déterminer la valeur exacte decosx.

3. Fonctions cosinus et sinus3.1. Fonction cosinus

Définition 4.

O-2π-3π2-π-π2

2π3π

22πy= cosx

Propriété 6.

Propriété 7.

2π-→OI.

3.2. Fonction sinus

Définition 5.

O-2π-3π2-π-π2

2π3π

22πy= sinx

Propriété 8.

-1?cos(x)?1 -1?sin(x)?1

cos2(x) + sin2(x) = 1