Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur

Exercices corrig´es Fonctions de deux variables Fonctions convexes et extrema libres Exercice 1 62 Soit la fonction fd´eﬁnie par f(x,y) = xαyβ ou` αet βsont des r´eels non nuls Soit C= {(x,y) ∈R2,x>0,y>0} On admet que Cest ouvert Etudier la convexit´e´ (ou la concavit´e) de fsur Cen discutant selon les valeurs de αet β Corrig´e

Fonctions de plusieurs variables : exercices

Fonctions de plusieurs variables : exercices 2D2 18/19 Exercice 1 1) Dans cette question dest la distance associ ee a la norme in nie de R2 a) Repr esenter sur les gures ci-dessous les boules B((0;0);1) et B((1;0);1) :

Fonctions de plusieurs variables - Cours et exercices de

Fonctions de plusieurs variables Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ﬁche sur www maths-france * très facile ** facile *** difﬁculté moyenne **** difﬁcile ***** très difﬁcile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 **T

Chapitre 8 Fonctions de deux variables

Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites, continuité

Feuille 2 – Fonctions de deux variables : limites, continuité, dérivées partielles et extrema locaux Exercice 1 Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (0,0), et, le cas échéant, calculer cette limite 1 f(x,y) = xy x +y 2 f(x,y) = (x +y)2 x2 +y2 3 f(x,y ) = x3 +y3 x2 +y2 4 f(x,y) = sinx −siny x −y 5 f(x,y

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

Composée de fonctions continues Exercices: Exercice A 1 9 La composée de fonctions continues est continue, nous allons expliciter cette propriété fondamentale dans quelques cas particuliers maintenant Proposition I 1 5 Soient et deux fonctions réelles déﬁnies sur un voisinage de t 0 et continues en t 0, on note x 0 = (t 0);y 0 = (t 0)

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l’ingénieur

On appelle fonction de deux variables déﬁnie sur D, le procédé qui consiste à associer à chaque couple (x,y) de D un réel unique On note généralement : f(x,y) = z On peut se représenter zcomme une « altitude » déﬁnie en chaque point du plan de base 1 1 3 Représentation graphique d’une fonction à deux variables

FONCTIONS d’une variable réelle à valeurs réelles EXERCICES

FONCTIONS d’une variable réelle à valeurs réelles EXERCICES EXERCICE 1 : Déterminer l’ensemble de définition des fonctions f suivantes : 1) 1 f:x lnx ,2) 2 2 4 4 2 1 lnx f:x x x-- + , 1 2 1 2 sinx f:x sinx-+ EXERCICE 2 : 1) Tracer, en justifiant, la courbe représentative de la fonction g:x x - -2 1 à partir de

Fonctions de plusieurs variables - Cours et exercices de

Exo7 Fonctions de plusieurs variables Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette ﬁche sur www maths-france * très facile ** facile *** difﬁculté moyenne **** difﬁcile ***** très difﬁcile

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Service Commun de Formation ContinueAnnée Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variableset applications pour l"ingénieur

Polycopié de cours

Rédigé par YannickPrivat

Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1

B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.

e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr ii

Avant-ProposCe cours présente les concepts fondamentaux de l"Analyse des fonctions de plusieurs variables.

Les premiers chapitres généralisent les notions de limite,dérivabilité et dévelopement limité, bien

connus dans le cas des fonctions d"une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-

malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs

nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : •l"optimisation (recherche d"extremums, minimisaton d"une énergie, etc.);

•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des

ondes, etc.); •l"intégration (calculs de moments d"inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation :le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l"étudiersérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours.

YannickPrivat

iii iv Table des matières1 Introduction à l"étude des fonctions de plusieurs variables 1

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . .. . . . . . . . 1

1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables . . . . . . 3

1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR. . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6

1.3 Fonction denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . .. . . . . . . 6

1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

2 Calculs de limites et continuité11

2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . .. . . . . . 12

2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Cas des fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

v viTABLE DES MATIÈRES

2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20

3 Notion de différentiabilité23

3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23

3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Fonctionsf:Rn-→Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25

3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . 27

3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35

4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.1.1 Différentiabilité des fonctions deRndansRp. . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Notion deC1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

5 Recherche d"extrema43

5.1 Problèmes liés à la recherche d"extrema . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43

5.1.1 Développement limité à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44

5.2.1 Hessienne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

5.2.2 Quelques notions d"Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

TABLE DES MATIÈRESvii

5.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

6 Introduction aux EDP51

6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51

6.1.2 Un exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3 Équation différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . 52

6.1.3.1 Équations différentielles homogènes du premier ordre à co-

efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.3.2 Théorème de structure des solutions . . . . . . . . . . . . 53

6.1.3.3 Équations différentielles homogène du second ordreà co-

efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Compléments de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55

6.2.1 Composition des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55

6.2.2 Exemple détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2.3 Quelques opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 56

6.3 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

6.3.1 Repère polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2 Changement de variables quelconque . . . . . . . . . . . . . . .. . 58

6.3.3 Trois méthodes de résolution explicite d"EDP . . . . . . .. . . . . 60

6.3.3.1 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.2 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

7 Transformée de Fourier69

7.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69

7.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.1.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . .. . . . 70

7.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71

7.2 Application à la résolution d"EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 72

7.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76

8 Calcul d"intégrales doubles et triples79

8.1 Calcul intégral dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.1 Quelques méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.2 L"intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80

viiiTABLE DES MATIÈRES

8.1.3 Introduction aux intégrales impropres . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

8.1.4 Visualisation graphique de l"intégrale . . . . . . . . . . .. . . . . . 82

8.2 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82

8.2.1 Intégrale double sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82

8.2.2 Intégrale double sur une partie bornée . . . . . . . . . . . . .. . . 83

8.2.3 Propriétés de l"intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 84

8.2.4 Changement de variable dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2.5 Changement de variable dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 Exemples d"intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 87

8.3.1 Intégration par piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.2 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.3 Un exemple d"application en Physique . . . . . . . . . . . . . .. . 89

8.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90

A Formulaire de trigonométrie93

B Limites95

B.1 Limite d"une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 B.2 Limite d"un produit d"une fonction par une constanteλnon nulle . . . . . 95 B.3 Limite d"un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 B.4 Limite d"un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

C Dérivées usuelles97

D Primitives usuelles99

E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels 101 E.1 Calcul matriciel dansR2,R3etRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 E.2 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 102 E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . .. . . . . . 104

Chapitre 1Introduction intuitive à l"étude desfonctions de plusieurs variablesCe chapitre a pour vocation d"initier la lecteur débutant aux objets que nous manipule-

rons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici d"un point de vue qualitatif; ils seront revus, améliorés etrigoureusement introduits par la suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je re- donne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d"une variable car il est nécessaire de bien maîtriser ce concept si l"on souhaite comprendre la notion de dérivée partielle.

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles

1.1.1 Exemple mathématique et définition

Considérons un rectangleABCD. On appellexla longueurABety, la longueurBC. On supposex >0ety >0. A B CDx y On appellep(x,y), le périmètre deABCD,A(x,y), l"aire de ce rectangle. On a alors : p(x,y) = 2(x+y)etA(x,y) =xy.

Définition 1.1.Produit cartésien.

•Leproduit cartésiende deux ensemblesEetF, notéE×Fest l"ensemble des couples dont le premier élément appartient àEet le second àF.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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