R evisions en vue du partiel - Laboratoire de Recherce en
b ^a 2as^"logique" ˚tg Exercice 4 Cardinaux Soit A un ensemble a trois el ements distincts fa;b;cg 1 D ecrire en extension l’ensemble B = }(A) des parties de A 2 Quel est le cardinal de l’ensemble B? 3 Quel est le cardinal de l’ensemble des parties de B (on ne cherchera pas a le construire)? 4
Centrale 2012 Option MP Math´ematiques I
Il en d´ecoule que f∗gest a support compact inclus dans [−(A+B),A+B] I B - Produit de convolution de deux ´el´ements de L 2 (R) I B 1)hest par d´efinition uniform´ement continue si et seulement si pour tout ε>0 donn´e quelconque il existe β>0
Master 1 - LP - MPRI Sémantique des langages de - IRIF
Dé nition : Soient deux ensembles A ;B inclus dans U Univers L'intersection de A et B est A\B = fe 2 U j e 2 A et e 2 Bg L'union de A et B est A[B = fe 2 U j e 2 A ou e 2 Bg La di érence de A et B est AnB = fe 2 U j e 2 A et e =2 Bg Le complémentaire de A est A = U nA = fe 2 U j e =2 Ag P (A ) est l'ensemble de toutes les parties de l
Combinatoire - livres-mathematiquesfr
D e nition 2 On dit qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F si tout el ement de E est un el ement de F Dans ce cas on ecrit E ˆF qui se lit E est inclus dans F L’ensemble vide, not e ;est l’ensemble qui ne contient aucun el ement C’est un sous-ensemble de n’importe quel ensemble D e nition 3 Soit E un ensemble
G en eralit es sur les ensembles - livres-mathematiquesfr
D e nition 2 On dit qu’un ensemble Eest inclus dans un ensemble F si tout el ement de Eest un el ement de F Dans ce cas on ecrit EˆF qui se lit Eest inclus dans F Dans ce cas, on dit que Eest un sous-ensemble de F Par exemple, on a N ˆZ ou bien N ˆR: Si Ad esigne l’ensemble des nombres pairs, alors AˆN:
Exo7 - Cours de mathématiques
• Dans R2 ou R3, deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s’ils sont colinéaires Ils sont donc sur une même droite vectorielle • Dans R3, trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s’ils sont coplanaires Ils sont donc dans un même plan vectoriel v1 v2 0 e2 e3 e1 v1 v2 v3 Proposition 2
Algorithmes Gloutons - LIX
Donc B contient moins d’arbres que A, il existe alors un arbre T de B qui n’est pas inclus dans un arbre de A, c a d qu’il existe deux sommets u et v de T qui n’appartiennent pas au m^eme arbre de A sur le chemin de u a v dans T, il existe une paire de sommets cons ecutifs qui ne sont pas dans le m^eme arbre
La th eorie des ensembles Les ensembles
1 La th eorie des ensembles Nous nous contenterons dans ce cours d’une pr esentation el ementaire non axiomatique de la th eorie des ensembles, qui su t pour l’usage courant que l’on fait de cette notion aussi bien
CONDITIONS GENERALES DE VENTES SARTORIUS FRANCE
frais et taxes inclus dans les trente (30) jours calendaires suivant la date de la facture b) Mode de règlement : Le règlement des ommandes s’effe tue à réception de la facture, dans le délai indiqué ci-dessus, (i) par chèque ou (ii) par virement
dooxie - boostez votre imagination
lui au moment de sa participation au jeu, dans un délai de 15 jours maximum Il devra confirmer l’adresse d’envoi du lot dans un délai de 30 jours L’asene de réponse dans les 30 jours après réception de ce message vaudra abandon du lot par le gagnant
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Licence STS, semestre 4 2010{2011
Mathematiques pour l'Informatique (Info 229) 12 mars 2011 http://www.lri.fr/ ~paulin/MathInfoRevisions en vue du partiel
Exercice 1Logique.
1. Donner la table de verite de la formule (P)Q)_(P^:Q). Cette formule est-elle une tautologie?
2. Construire une preuve en deduction naturelle de la formule :
(8x;P(x))Q)) :Q) 8x;:P(x)Correction :
1. La formule est une tautologie dont la table de verite est :PQ:QP)QP^ :Q(P)Q)_(P^ :Q)TTFTFT
TFTFTT
FTFTFT
FFTTFT
2. On noterala suite de formules(8x;P(x))Q);:Q;P(x)` :Qhyp` 8x;P(x))Qhyp`P(x))Q8E`P(x)hyp`Q)E(8x;P(x))Q);:Q;P(x)` ?:E(8x;P(x))Q);:Q` :P(x):I(8x;P(x))Q);:Q` 8x;:P(x)8I(8x;P(x))Q)` :Q) 8x;:P(x))I`(8x;P(x))Q)) :Q) 8x;:P(x))I
Exercice 2Fonctions.SoientXun ensemble,Aun sous-ensemble deXetfune application deX dansX.1. Comparer les ensemblesA,f1(f(A)) etf(f1(A)). Si un ensemble est inclus dans l'autre on
donnera une preuve, sinon on fournira un contre-exemple. 2. A quelle condition surfa-t-on une egalite entreAetf1(f(A))? demontrer ce resultat. 3. A quelle condition surfa-t-on une egalite entreAetf(f1(A))? demontrer ce resultat.Correction :
1. On af(f1(A))Af1(f(A)). En eet six2f(f1(A))alors9y2f1(A);f(y) =x
commey2f1(A)on af(y)2Adoncx2A. Par ailleurs six2Aalorsf(x)2f(A)donc x2f1(f(A)). Les inclusions sont strictes. Si on prend pourAun ensemble a deux elementsfa;bgetfune fonction telle quef(a) =f(b) =a. On af1(fag) =fa;bgetf(fag) =fagdoncf1(f(fag)) = fa;bg 6=fag. On af1(fbg) =;doncf(f1(fbg)) =; 6=fbg. 12. Sifest injective, alorsf1(f(A)) =A. Il sut de montrerf1(f(A))A(l'autre sens ayant
ete demontre a la question precedente pour n'importe quelle fonction). Soitx2f1(f(A)), on af(x)2f(A)donc il existey2Atel quef(x) =f(y)et commefest injective, on ax=yet doncx2A.3. Sifest surjective, alorsf(f1(A)) =A. Il sut de montrerAf(f1(A)). Soitx2A, il
existeytel quef(y) =xdoncy2f1(A). et commef(y) =x, on en deduit quex2f(f1(A)). Exercice 3ModelisationOn cherche a modeliser une base de donnees de livres dans une bibliotheque. Pour cela, on se donne comme primitif l'ensemblestringdes cha^nes de caracteres et on utilisera egalement l'ensembleNdes entiers. Sur l'ensemblestring, on utilisera le predicattuqui dit que le mottappara^t comme un sous-mot du motu.1. Expliciter en langage naturel les caracteristiques de votre base (quelles informations sur un livre
sont representees dans la base : titre, disponibilite, ...)2. Indiquer quel ensemble vous permet de representer la base de livres (on pourra introduire des
ensembles intermediaires pour representer certaines informations, les ensembles devront ^etre choisis precisement).3. On suppose donnee une base particuliereBqui est un element de l'ensemble que vous avez deni
precedemment. Exprimer sous forme d'une denition par comprehension l'ensemble des auteurs qui ont ecrit un livre dont le titre contient le mot logiqueet dont un exemplaire au moins est disponible dans la bibliotheque.Correction :
1. (a) Un livre sera represente par ses auteurs, un titre (eventuellement une edition). Chacun
de ces elements peut se voir comme une chaine de caracteres. Les auteurs peuvent se representer par des ensembles non vides nis d'auteurs. (b) Un exemplaire d'un livre est compose d'un numero (unique) qui permet de l'identier et d'un livre. On pourrait egalement associer a un exemplaire une information qui permet de positionner l'exemplaire dans la bibliotheque (sous la forme d'une chaine de caracteres ou d'un code). (c) Pour les livres empruntes, on peut garder pour chaque exemplaire l'information du nom de l'emprunteur et de la date de retour.2. On introduit les ensembles suivants :
auteurs=fX2}(string)jXni^X6=;g titre=string livre=auteurstitre exemplaire=Nlivre emprunteur=string date=f(d;m;y)2NNNj1d31^1m12^2010yg emprunt=exemplaireemprunteurdate On modelise une base comme un ensemble d'exemplaires et un ensemble d'emprunts (les exem- plaires empruntes) c'est-a-dire :base=}(exemplaire)}(emprunt). On peut restreindre les ensembles admissibles : on peut decider que tous les exemplaires qui apparaissent dans un emprunt restent repertories dans le premier ensemble. base1=f(books;out)2basej 8x2exemplaire;(9m2emprunteur;9d:2date;(x;m;d)2
out))x2booksg. 2 Au contraire on peut vouloir qu'un livre emprunte passe de l'ensemble des exemplaires a l'ensem- ble d'emprunts. ce qui revient a avoir : base2=f(books;out)2basej 8x2exemplaire;(9m2emprunteur;9d:2date;(x;m;d)2
out))x62booksg.3. L'ensemble qui nous interesse est en prenant par exemple la deuxieme modelisation de la base et
en ecrivantBsous la forme(Bb;Bo): fa2stringj 9as:auteurs;9t2titre;9i2N;(i;(as;t))2Bb^a2as^"logique"tg Exercice 4CardinauxSoitAun ensemble a trois elements distinctsfa;b;cg.1. Decrire en extension l'ensembleB=}(A) des parties deA.
2. Quel est le cardinal de l'ensembleB?
3. Quel est le cardinal de l'ensemble des parties deB(on ne cherchera pas a le construire)?
4. L'ensemble des applications deNdansAest-il denombrable?
Correction :
1.B=}(A) =f;;fag;fbg;fcg;fa;bg;fa;cg;fb;cg;fa;b;cggcet ensemble a8 = 23elements.
2. SiAest de cardinalnalors l'ensemble des parties deAa pour cardinal2ndonc}(B)a pour
cardinal28= 256.3. L'ensemble des fonctions deN!An'est pas denombrable. En eet on a montre que l'ensemble
des parties deNn'etait pas denombrable. Si on construit une application injective de}(N)dans N!Aalors on aura montre queN!An'est pas denombrable (sinon par composition on aurait une application injective de}(N)dansNdonc une bijection de}(N)dans un sous ensemble deNet donc}(N)serait ni ou denombrable).
A chaque sous-ensemblePde}(N)on associe la fonctionfP2N!Atelle quefP(x) =asi x2PetfP(x) =bsinon. On verie que cette fonction est bien injective. Exercice 5Denition recursive de fonction.La fonctionfibsur les entiers naturels est denie par les equations suivantes : fib(0) = 1fib(1) = 18n2N;2n)fib(n) =fib(n1) +fib(n2) { Donner le systeme d'inference qui denit la relation correspondant a ces equations. { Donner le principe d'induction associe a cette denition. { Montrer que ces equations denissent une application deNdansN.Correction :
{ La relation correspondant a ces equations est denie par le systeme d'inference :fib(0;1)fib(1;1)2nfib(n2;x)fib(n1;y)fib(n;x+y)
{ Le principe d'induction s'ecrit pour une proprieteP(n;m), si les trois conditions suivantes sont veriees :