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Exercice 3 5 points

Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit f la fonction définie est dérivable sur l'ensemble des nombres réels R telle que : f(x)=(x+1)ex

1. Calculer la limite de f en +∞ et en -∞.

2. On note

f' la fonction dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)=(x+2)ex

3. Dresser le tableau de variations de

f sur R.Partie B

On définit la fonction gm sur R par :

gm(x)=x+1-me-xet on note Cm la courbe de la fonction gn dans un repère (O,⃗i,⃗j) du plan.

1. a. Démontrer que

gm(x)=0 si et seulement si f(x)=m. b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe Cm avec l'axe des abscisses en fonction du réel m.

2. On a représenté en annexe 2 les courbes C0,Ce et C-e(obtenues en prenant

respectivement pour m les valeurs 0, e et -e). Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.

3. Etudier la position de la courbe

Cm par rapport à la droite d d'équation y=x+1 suivant les valeurs du réel m.

4. a. On appelle D2 la partie de plan comprise entre Ce,C-e, l'axe (Oy) et la droite

x=2.

Colorier D2 sur l'annexe 2.

b. Dans cette question, a désigne un réel positif, Da la partie de plan comprise entre Ce,C-e, l'axe (Oy) et la droite d'équation x=a.On désigne par a(a) l'aire de cette partie du plan exprimée en unités d'aire.

Démontrer que pour tout réel a positif :

a(a) = 2e-2e1-a

En déduire la limite de

a(a) quand a tend vers +∞.

S Antilles-Guyane juin 2013

ANNEXE 2

Exercice 3 à rendre avec la copie

S Antilles-Guyane juin 2013

CORRECTION

Partie A

Pour tout nombre réel x : f(x)=(x+1)ex

1 . limx→+∞(x+1)= +∞ et limx→+∞

ex= +∞ donc limx→+∞f(x)= +∞ . f(x)=xex+ex limx→-∞ex= 0 et limx→-∞xex= 0 donc limx→-∞f(x)= 0

2. f est dérivable sur R

On dérive un produit et

(ex)'=ex f'(x)=1×ex+(1+x)ex=(2+x)ex3. Pour tout nombre réel x : ex> 0, donc le signe de f'(x) est le signe de : x+2 Tableau de variations de f x-∞-2+∞ f'(x)-0+ f(x)0 -e-2+∞ f(-2)=-e-2=-1 e2

Partie B

gm(x)=x+1-me-x m ∈ ℝ 1. a. gm(x)=0 ⇔ x+1-me-x=0 ⇔ x+1=me-x=m ex ⇔ (x+1)ex=m ⇔ f(x)=m b. Le nombre de points d'intersection de l'axe des abscisses et de la courbe Cm est le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.

En considérant le tableau de variations de f

. m < -e-2 zéro point d'intersection . m = -e-2 un point d'intersection . -e-2< m < 0 deux points d'intersection . 0  m un point d'intersection

2 . - e < - e-2

C-e a aucun point d'intersection avec l'axe des abscisses donc

C-e est la courbe 1 ( en rouge )

. e  0 Ce a un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses donc

C2 est la courbe 3 ( en bleu )

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. Remarque Pour m = 0 g0(x)=x+1 donc C0 est la courbe 2 c'est à dire la droite d'équation : y=x+1.

3. gm(x)-(1+x)=(1+x)-me-x-(1+x)=-me-x

. si m < 0 alors gm(x)-(1+x)> 0 donc Cm est au dessus de d. . si m = 0 alors g0(x)-(1+x)=0 donc

C0= d.

. si m > 0 alors gm(x)-(1+x)< 0 donc Cm est en dessous de d. 4. a. b. C-e est au dessus de d sur R , Ce est en dessous de d sur R donc C-e est au dessus de Ce sur R g-e et ge sont continues sur R. a > 0 donc l'aire a(a), en unités d'aire, de D2 est égale à : ∫0a (g-e-ge)(x)dx. a(a) = ∫0a

2e1-xdx

h(x)=2e1-x=2eu(x) avec u'(x) = -1

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H(x)=2(e1-x

-1)=-2e1-x H est une primitive de h sur ℝ. a(a) = H(a) - H(0) = -2e1-a+ 2e a(a) = 2e - 2e1-a U.A. lima→+∞(1-a)= -∞ et limx→-∞ ex= 0 donc lima→+∞ e1-a= 0

La limite de

a(a) en +∞ est égale à 2equotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Partie A

1. Calculer la limite de f en +∞ et en -∞.

2. On note

3. Dresser le tableau de variations de

On définit la fonction gm sur R par :

1. a. Démontrer que

2. On a représenté en annexe 2 les courbes C0,Ce et C-e(obtenues en prenant

3. Etudier la position de la courbe

4. a. On appelle D2 la partie de plan comprise entre Ce,C-e, l'axe (Oy) et la droite

Colorier D2 sur l'annexe 2.

Démontrer que pour tout réel a positif :

En déduire la limite de

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ANNEXE 2

Exercice 3 à rendre avec la copie

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CORRECTION

Partie A

Pour tout nombre réel x : f(x)=(x+1)ex

1 . limx→+∞(x+1)= +∞ et limx→+∞

2. f est dérivable sur R

On dérive un produit et

Partie B

En considérant le tableau de variations de f

2 . - e < - e-2

C-e est la courbe 1 ( en rouge )

C2 est la courbe 3 ( en bleu )

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3. gm(x)-(1+x)=(1+x)-me-x-(1+x)=-me-x

C0= d.

2e1-xdx

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H(x)=2(e1-x

La limite de