Cours de théorie des corps

II Corps de caractéristique p 2 Tous les corps considérés sont commutatifs corps de caractéristique p // // ( ) Morphisme de Frobenius : est un morphisme de corps injectif Si est fini, c'est un automorphisme (car ) HP k p p p p p xx x y x Cy p fini de car , p 1({0}) (Fermat + n racines d'un polynôme) pp fini de car tel que p f p

TD 5 Extensions de corps - INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE

2 Supposons k de caractéristique 2 Montrer que les extensions quadratiques de k sont les corps de rupture des polynômes irréductibles sur k de la forme X2 −a ou X2 Exercice 8 (Degré du corps de décomposition) Soient k un corps et K un corps de décomposition d’un polynôme P sur k de degré n > 0 1 Montrer que le degré de K sur k

Corps et extensions de corps

BIl existe des corps de caractéristique p>0 qui ne sont pas ﬁnis, par exemple les fractions ration-nelles à coefﬁcients dans F p 1 11 Exercice Le seul morphisme de corps F pF pest l’identité 1 12 Proposition Tout corps de caractéristique nulle contient un unique sous-corps isomorphe à Q

ANNEAUX ET CORPS - IREM de la Réunion

Tout sous-anneau de A a la même caractéristique que A 5 2 A de caractéristique k " a ˛ A; ka = a + + a = 0 k termes /k est de caractéristique k car : k 1 ” k ” 0 [k] Mais attention à ne pas confondre caractéristique et cardinal : ( /k)×( /k) est de cardinal 2k mais de caractéristique k Cependant, si A est de cardinal fini

Chapitre 1 Bases de la géométrie projective

en caractéristique p), ce qui arrive souvent en caractéristique 2 Donc il y aura une première distinction à faire entre les corps de caractéristique nulle et les autres, en particulier les corps de caractéristique 2 Par ailleurs, les intersec-tions d’objets géométriques s’écrivant, grâce à un système de coordonnées,

Leçon 125 : Extensions de corps Exemples et applica- tions

Soit K un corps et P 2 K[X] un polynôme de degré n > 1 Alors il existe L un corps de décomposition de P sur K, unique au sens sui-vant : si L0 est un autre corps de décomposition de P sur K, alors il existe un isomorphisme entre L et L0 Proposition 29 Soit L: K une extension et soit P 2K[X] de degré n >1 Si L est un corps de