CHAPITRE 5 - sorbonne-universitefr
Chapitre 5 Application à la théorie des coques élastiques minces 119 (5 1 3) be (u,v) =eam (u,v) +e3af (u,v), où am et a f sont respectivement les formes bilinéaires symétriques d'énergie de
CHAPITRE 5 Les Coques de Révolution à Paroi Mince
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cours Plaques et Coques chapitres 1-2
Cours plaques et Coques 1 2 4 Propriétés géométriques En un point d’une surface, la courbure de Gauss K, ou courbure totale, est le produit des courbures principales : K = 1/ (rmax x rmin) et la courbure moyenne H est : H = ½ x (1/ rmax + 1/
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5 9 Théorie des coques minces –Hypothèses Cours Plaques et Coques – Bel Hadj Ali N 3 Hypothèse de faible épaisseur L’épaisseur t de la coque est petite vis‐à‐vis du rayon de courbure minimal rminde la
Erwan Faou Quelques aspects géométriques en théorie des
théorie des coques, et l’autre l’intégration géométrique J’ai effectué ma thèse sous la direction de Monique Dauge à l’Université de Rennes 1 Auparavant, j’avais étudié la géométrie riemanienne, et effectué un stage de DEA sur ce thème sous la direction de Harold Rosenberg, à l’Université de Paris 7
CHAPITRE 4 La Théorie des Plaques à Paroi Mince
La Théorie des Plaques à Paroi Mince Introduction et hypothèses Théorie des plaques de Kirchhoff Plaques rectangulaires Plaques circulaires Différents appuis Différents types de chargement Hypothèses Déplacements latéraux et les rotations de la mi-épaisseur sont petits ( w
THEORIE DES POUTRES
rapidement des résultats exploitables : théorie des poutres (abordée dans cette 3 ème partie du cours de MdM), théorie des plaques et coques 1 1 2 Corps prismatique ou « poutre » Les corps étudiés dans cette partie seront supposé être des poutres Nous appellerons
Théorie de l’architecture III
Danish Architect”, Zodiac, n° 10, 1959 Ces principes fondent en quelque sorte la monumentalité de l’Opéra de Sydney: un socle surélevé accueille des coques nervurées, inspirées du mon anique et dont la fragilité, par contraste, est une réponse émotionnelle et romantique aux éléments du monde naturel
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CHAPITRE 4
La Théorie des Plaques à Paroi Mince
Introduction et hypothèses
Théorie des plaques de Kirchhoff
Plaques rectangulaires
Plaques circulaires
Différents appuis
Différents types de chargement
Hypothèses
Déplacements latéraux et les rotations de la mi-épaisseur sont petits ( w << t et <<1 ) Les dimensions sont grandes par rapport à l'épaisseur a/t > 10 et b/t > 10 Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire Lignes droites normales au plan mi-épaisseur demeurent droites après chargement (flexion des poutres) déplacement suivant l'épaisseur seulement Surface à la mi-épaisseur est un plan neutre x y xy = 0 La contrainte normale à la surface de la mi-épaisseur est négligeable z 0Flexion d'une poutre
y z x M M axe neutre RO M MFlexion d"une poutre (suite)
Rz RdRdd)zR( IJIJ'H'G xu
xxx axe neutre RO MM AB D EIJA' B'
D' E'I J z zGH G' H' d x z zy zeffet dePoisson
Relation déplacements-déformations
Plaques minces (Théorie de Kirchhoff)
xv yu= yv= xu= xyyx 000 z v yw= zu xw= zw= yzxzz M x z yx M x M y M yFlexion d'une plaque suivant plan xz
x wz =u w 22x x wz x u = w w H ywz = v 22
y ywzyv = yxwz2xv yu = 2 xy 1 z y b a hxM M
Suivant plan yz
Suivant plan xz
M x plan neutre M w z dx O r x d x z u = z du = z dT = -dw/dx
Relations w, r, ,
221 xw xw xxr x 22
1 yw yw yr y yxw xw yyw xrr yxxy 2 11 xx rz1 yy rz1 xyxy rz12 wwQww
Q QHHQ V
2222
22
11yw xwEzE yxx wwQww
Q QHHQ V
2222
22
11xw ywEzE xyy yxwEzG xyxy 2 1 Rayons de courbures - déplacementsDéformations - rayons de courbure
Contraintes - déplacements
Équilibre d'un élément de la plaque
M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM x x w dxxMM xy xy w dyyMM xy xy w dyyMM y y w dyyQQ y y dxxQQ x x dy dzz = M x2t 2 t-x dzz = M y2t 2 t-y dzz = M xy2t 2 t-xy dz = Q xz2t 2 t-x dz = Q yz2t 2 t-yMoments et contraintes dans une plaque
2222
yw xwDM x wwww 22 22
xw ywDM y yxwDM xy 2 )1( )1(12 23
EtD
D est la rigidité en flexion de la plaque
12 3 EtDPour une poutre en flexion
2max, 6 t M= x x 2max, 6 tM= y y 2max, 6 tM= xy xyContraintes maximales dans la plaque
Expressions des moments
Différence de 1/(1-
210% si = 0.3
Équation de Lagrange (1811)
M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM x x dxxMM xy xy dyyMM xy xy w dyyMM y y w dyyQQ y y dxxQQ x x dy Dp yw yxw xw 44224
44
2 D pw 4
Équilibre des forces suivant z
0 w wwwpxQ xQ yxÉquilibre des moments suivant x
yyxy QyM xMÉquilibre des moments suivant y
xx xy QxM yM 02 22222
pyM yxM xM yxyx substitution de et dans
Équation différentielle de Lagrange
Conditions aux rives
00 2222
axax yw xwandw 00 axax xwandw 00 axxy xxx yMQVandM 0)2(0 23
33
22
22
axax yxw xwDandyw xwD supports simplessupports encastrés supports libres a) b) c)