Sous-groupes distingu´es, groupes quotients
Sous-groupes distingu´es, groupes quotients Par Nicolas Lanchier 1 1 Propri´et´es classiques Th´eor`emes d’isomorphismes D´efinition 1 1 Soient Gun groupe et Hun sous-groupe G On dit que Hest distingu´e dans G, ce que l’on note H⊳ G, si Hest invariant par automorphismes int´erieurs, i e xHx−1 = H ∀ x∈ G
4 Groupes : sous-groupes distingu es, quotients
4 Groupes : sous-groupes distingu es, quotients Rappel : Sous-groupe normal (ou distingu e) On dit qu’un sous-groupe H ˆGest normal (ou distingu e) si pour tout x2Gon a xH= Hx Exercice 4 1 1 Montrer que le sous-groupe H= fid;(12)gˆS 3 n’est pas distingu e, et expliciter les classes a droite et a gauche modulo H 2
3 Groupes : sous-groupes distingu es, quotients
3 Groupes : sous-groupes distingu es, quotients Rappel : Sous-groupe normal (ou distingu e) On dit qu’un sous-groupe H ˆGest normal (ou distingu e) si pour tout x2Gon a xH= Hx Exercice 3 1 1 Montrer que le sous-groupe H= fid;(12)gˆS 3 n’est pas distingu e, et expliciter les classes a droite et a gauche modulo H 2
2 Sous-groupes distingués, quotients
2 Sous-groupes distingués, quotients Rappel : Sous-groupe distingué On dit qu’un sous-groupeH ⊂G est distingué (ou normal) si pour tout x ∈G on a xH =Hx Exercice 1 1 Montrer que le sous-groupeH ={id,(12)} ⊂S3 n’est pas distingué, et expliciter les classes à droite et à gauche modulo H 2
Groupes quotients, sous-groupes distingu´es
Groupes quotients, sous-groupes distingu´es 1 U n exemple : les groupes dont tous les ´el´ements sont d’ordre 2 2 Sous-groupes distingu´es D´efinition d’un sous-groupe distigu´e `a partir du noyau d’un homomorphisme Exemples et r´esultats • Cas des groupes ab´eliens • Le centre d’un groupe
103 Exemples de sous-groupes distingu´es et de groupes N Z
103 Exemples de sous-groupes distingu´es et de groupes quotients Applications Introduction: Les sous-groupes distingu´es et les groupes quotients jouent un rˆole fondamental en th´eorie des groupes, que ce soit concernant la classification (notion de simplicit´e) ou pour les simplifications obtenues par passage au quotient Soit Gun
Groupes, morphismes de groupes, sous-groupes distingués et
On note le groupe dérivé D(G) le sous-groupe de Gengendré par les commutateurs(c’est-à-direlesélémentsdelaforme ghg 1 h 1 ,g;h2G) a) MonterqueD(G) estunsous-groupedistinguédeG
Groupes, actions de groupes Groupes, sous-groupes
Sous-groupes distingu es, groupes quotients Exercice 7 Soit Gun groupe Montrer que Int(G) (ensemble des automorphismes int erieurs de G) est un sous-groupe distingu e de Aut(G) (groupe des automorphismes de G) Exercice 8 ( ) Soit Gun groupe, et Hun sous-groupe d’indice 2 Prouver que Hest un sous-groupe distingu e de G Exercice 9
Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Soit f : G H un morphisme de groupes finis Soit G0un sous-groupe de G d’ordre premier à l’ordre de H Montrer que G0ˆker(f) Indication H [002148] Exercice 14 Soit G un groupe fini et H et K deux sous-groupes de G On suppose que H est distingué dans G, que jHjet jG=Hjsont premiers entre eux et jHj=jKj Montrer que H =K Correction H
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