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Introduction au Calcul des Probabilit´es

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Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Bˆat. M2, F-59655 Villeneuve d"Ascq CedexIntroduction au

Calcul des Probabilit´es

Probabilit´es `a Bac+2 et plus si affinit´es...Charles SUQUET

L2 2005-2006

Table des mati`eres

1 Espaces Probabilis´es1

1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 ´Ev´enements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 La probabilit´e comme fonction d"ensembles. . . . . . . . . . .5

1.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.5 Remarques sur le choix d"un mod`ele. . . . . . . . . . . . . . .17

1.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2 Conditionnement et ind´ependance29

2.1 Probabilit´es conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.1.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.1.3 Quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.2 Ind´ependance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.2.1 Ind´ependance de deux ´ev´enements. . . . . . . . . . .36

2.2.2 Ind´ependance mutuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.2.3 ´Epreuves r´ep´et´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3 Variables al´eatoires discr`etes51

3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

3.2 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2.1 Variable al´eatoire discr`ete. . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2.2 Loi d"une variable al´eatoire discr`ete. . . . . . . . . . .53

3.2.3 Fonction de r´epartition. . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3.3 Lois discr`etes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.3.1 Lois de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´eels. . . . . . .58

3.3.3 Lois binomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.3.4 Lois hyperg´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . .59

3.3.5 Lois g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

i

3.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

3.3.7 Sur le caract`ere universel de la loi de Poisson. . . . . .70

3.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

4 Vecteurs al´eatoires discrets83

4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

4.2 Vecteurs al´eatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

4.3 Variables al´eatoires ind´ependantes. . . . . . . . . . . . . . . .86

4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

5 Moments des v. a. discr`etes97

5.1 Esp´erance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

5.2 Moments d"ordrer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

5.3 Variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

5.4 Covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

6 Loi des grands nombres131

6.1 Deux modes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

6.2 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . .133

6.3 Estimation d"une proportion inconnue. . . . . . . . . . . . . .134

6.4 Convergence presque sˆure des fr´equences. . . . . . . . . . . .136

6.5 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

6.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

7 Approximation gaussienne155

7.1 La courbe en cloche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

7.2 ´Etude graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

7.3 Le th´eor`eme de De Moivre-Laplace. . . . . . . . . . . . . . .163

7.4 Preuve du th´eor`eme de De Moivre-Laplace. . . . . . . . . . .166

7.4.1 ´Evaluation asymptotique deb(k,n,p). . . . . . . . . .167

7.4.2 Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

7.5 Vitesse de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

7.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

8 Variables al´eatoires r´eelles187

8.1 Sortie du cadre discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

8.2 Notion de variable al´eatoire r´eelle. . . . . . . . . . . . . . . .191

8.3 Variables `a densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

8.3.1 Densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

8.3.2 Moments des variables `a densit´e. . . . . . . . . . . . .198

ii

8.4 Lois `a densit´e classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

8.4.1 Lois uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

8.4.2 Lois exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

8.4.3 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

8.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

A Ensembles et d´enombrements211

A.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211 A.2 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 iii iv

Introduction

Issu du cours de Probabilit´es en DEUG MASS et MIAS, ce document s"adresse `a un public vari´e. Les ´etudiants de DEUG pourront y trouver une r´edaction d´etaill´ee de toutes les questions abord´ees en cours. Quelques d´eve- loppements vont au-del`a du strict programme et sont susceptibles d"int´eresser des lecteurs curieux ou plus avanc´es. Les outils math´ematiques utilis´es restent n´eanmoins strictement dans le cadre du DEUG. Ce premier tome1est consacr´e `a ce que l"on appelle lesprobabilit´es dis- cr`etes. Par rapport aux rudiments de calcul des probabilit´es enseign´es au lyc´ee, l"innovation est la prise en compte de l"infini. Cette notion s"introduit tr`es naturellement en calcul des probabilit´es, par exemple d`es qu"il s"agit de mod´eliser des temps d"attente. On ne peut pas ´etudier avec un espace Ω de cardinal fini une exp´erience al´eatoire aussi simple que :"on lance un d´e jusqu"`a la premi`ere obtention d"un six». Nous nous posons donc la question de la d´efinition et de l"´etude des probabilit´es sur desuniversΩ infinis. Il est possible au niveau du DEUG de faire une th´eorie assez rigoureuse si l"on veut bien faire l"impasse sur les probl`emes de construction (ou d"existence) de tels espaces probabilis´es infinis capables de mod´eliser correctement les exp´eriences al´eatoires envisag´ees. Le principal outil math´ematique utilis´e est celui dess´eries. Il permet une ´etude classique assez compl`ete des variables al´eatoires discr`etes. Cette ´etude d´ebouche sur deux grands th´eor`emes de convergence de la th´eorie des probabilit´es : la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaus- sienne qui sont discut´es dans des cas simples dans les deux derniers chapitres. Nous avons choisi de donner autant que possible des d´emonstrations de ces th´eor`emes dans ces cas particuliers. Ces d´emonstrations sont instructives en elles-mˆemes et peuvent ˆetre consid´er´ees comme une introduction au cours de Licence. Une autre particularit´e de ce document est la discussion sur les questions de vitesse de convergence `a propos des approximations (par une loi de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve `a ce sujet dans

la litt´erature des recettes qui, donn´ees sans justification, ressemblent plus `a1. Y en aura-t-il un deuxi`eme?

v de la cuisine2qu"`a des math´ematiques. Chaque chapitre contient une section d"exercices qui suit autant que pos- sible l"ordre d"exposition du cours3. Certains sont des applications directes du cours ou des sujets d"examen ou de D.S., d"autres des approfondisse- ments. Leur niveau de difficult´e n"a volontairement pas ´et´e indiqu´e a priori. De mˆeme, on ne trouvera pas dans cette introduction de plan de lecture d´etaill´e pour chaque DEUG. De telles indications pourront ˆetre donn´ees en cours ou en TD, mais je n"ai pas souhait´e cloisonner a priori une curiosit´e qui, pour un scientifique, est tout le contraire d"un vilain d´efaut... Je remercie tous les coll`egues qui m"ont aid´e directement ou indirectement `a r´ediger ce polycopi´e et plus particuli`erement MauriceChamontin, Sylvie Roellyet Marie-ClaudeVianoavec qui j"ai fait ´equipe en DEUG MASS et MIAS. Il va de soi qu"ils ne portent aucune responsabilit´e pour les quelques d´ebordements auxquels j"ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes4 que l"on ne manquera pas de trouver dans cette premi`ere ´edition5(septembre

1996).

Comme pr´evu ci-dessus, le deuxi`eme tome n"a toujours pas ´et´e ´ecrit et un certain nombre d"erreurs ont ´et´e d´etect´ees dans la premi`ere ´edition et corrig´ees dans la deuxi`eme6(septembre 1997). Je remercie tous ceux qui m"en ont signal´e et plus particuli`erement les ´etudiants de l"amphith´eˆatre de DEUG MASS 96-97 pour leur vigilance. Merci ´egalement `a MichelLifshitspour ses pr´ecisions sur l"historique du th´eor`eme de De Moivre-Laplace, `a Youri Davydovet MyriamFradonpour d"utiles discussions ainsi qu"`a tous les charg´es de TD de probabilit´es en DEUG MIAS pour leur participation active. Last but not least, merci `a DanielFlipoqui avec patience et disponibilit´e m"a fait b´en´eficier de ses comp´etences d"expert dans le traitement de texte scientifique L

ATEX2ε.

Les troisi`eme et quatri`eme ´editions de ce polycopi´e (septembre 1998 et

1999), ont b´en´efici´e des amendements et corrections sugg´er´es par Myriam

Fradon, JeanneDevolderet AnnePhilippe. C"est pour moi un plaisir de les en remercier ici. La cinqui`eme ´edition (septembre 2000) de ce polycopi´e s"est enrichie

(alourdie?) d"un chapitre sur les variables al´eatoires r´eelles qui s"est sub-2. Il y a souvent de bonnes raisons cach´ees derri`ere une recette qui peut paraˆıtre arbi-

traire...

3. Ces exercices ne se substituent pas aux s´eances de TD et `a leurs fiches d"exercices

mieux adapt´ees `a chacun des publics concern´es.

4. Dont le nombre suit une loi de Poisson.

5. Remerciements anticip´es `a tout lecteur qui m"aidera `a r´eduire le param`etre de ladite

loi pour la prochaine ´edition.

6. Qui ne pr´etend pas en ˆetre exempte, voir exercice5.7pour une mod´elisation.

vi stitu´e `a la promesse ´electorale d"un deuxi`eme tome. Le titre a chang´e en cons´equence. La sixi`eme ´edition (septembre 2001) comprend quelques exercices sup- pl´ementaires. La septi`eme est inchang´ee, sauf la correction d"un quarantaine (sic) de fautes de frappe ou d"orthographe. La plupart m"ont ´et´e signal´ees par DenisBitouz´ede l"Universit´e du Littoral que je remercie pour sa lecture attentive. Je saisis l"occasion de cette huiti`eme ´edition (septembree 2003) pour remercier ´egalement AzzouzDermoune, JeanneDevolder, Daniel Flipo, MyriamFradon, MargueriteZani, Gw´ena¨elleCastellanet Lau- renceMarsallepour la diffusion de ce polycopi´e `a leurs ´etudiants des DEUG MIAS et MASS et de la pr´eparation au C.A.P.E.S. et `a l"Agr´ega- tion Interne.Villeneuve d"Ascq, septembre 2003. Ce polycopi´e est disponible sur Internet, au format PDF, `a l"adresse URL suivante :http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ vii viii

Chapitre 1

Espaces Probabilis´es

1.1 Introduction

La th´eorie des probabilit´es fournit des mod`eles math´ematiques permet- tant l"´etude d"exp´eriences dont le r´esultat ne peut ˆetre pr´evu avec une totale certitude. En voici quelques exemples :Exp´erienceR´esultat observable

Lancer d"un d´eUn entierk? {1,...,6}Pr´el`evement denobjets en sortieNombre d"objets d´efectueux

d"une chaˆıne de productiondans l"´echantillon

Questionnaire `a 100 questionsSuiteωde 100 r´eponsesbinairesω? {oui,non}100Lancer d"une pi`ece jusqu"`a laUn entierk?N: le tempspremi`ere obtention de piled"attente du premier succ`es

Mise en service d"une ampouleDur´ee de vieT?RLancer d"une fl´echette sur une ciblePoint d"impact

Mouvement d"un grain de pollenUne fonction continue : dans un liquidela trajectoire M´elange de deux gazR´epartition spatiale de deux types de mol´ecules Bien que le r´esultat pr´ecis de chacune de ces exp´eriences soit impr´evisi- ble, l"observation et l"intuition nous am`enent `a penser que ces ph´enom`enes ob´eissent `a certaines lois. Par exemple si on jette 6000 fois le d´e, on s"attend `a ce que le nombre d"apparitions de la face"3»soitvoisinde 1000. Si on met en service 100 ampoules, leurs dur´ees de vie observ´ees serontconcentr´ees autour d"une certaine valeur moyenne.1

Chapitre 1. Espaces Probabilis´es

La th´eorie des probabilit´es permet de donner un sens pr´ecis `a ces consi- d´erations un peu vagues. Lastatistiquepermet de confronter les mod`eles probabilistes avec la r´ealit´e observ´ee afin de les valider ou de les invalider. Par exemple si quelqu"un a 60 bonnes r´eponses sur 100 au questionnaire, est- il l´egitime de consid´erer qu"il a"mieux fait»que le hasard? Sur lesnobjets pr´elev´es en sortie de chaˆıne,ksont d´efectueux. Peut-on en d´eduire quelque chose sur la qualit´e de la production globale? 1.2

´Ev´enements

La th´eorie moderne des probabilit´es utilise le langage des ensembles pour mod´eliser une exp´erience al´eatoire. Nous noterons Ω un ensemble dont les

´el´ements repr´esentent tous les r´esultats possibles ou´ev´enements ´el´ementaires

d"une exp´erience al´eatoire donn´ee. Les´ev´enements(ou´ev´enements compos´es)

seront repr´esent´es par des parties (sous-ensembles) de Ω. Il n"est pas toujours facile de trouver un ensemble Ω permettant de mod´eliser l"exp´erience al´eatoire. Voici une r`egle pratique pour y arriver : les ´ev´enements ´el´ementaires sont ceux qui contiennentl"information maxi- malequ"il est possible d"obtenir de l"exp´erience. Par exemple si on jette un d´e, l"´ev´enementA:"obtention d"un chiffre pair»n"est pas ´el´ementaire. Il est compos´e des trois ´ev´enements ´el´ementaires 2, 4, 6 :A={2,4,6}. Ici Ω ={1,2,3,4,5,6}. De mˆeme si on lance trois fois une pi`ece de mon- naie, les ´ev´enements ´el´ementaires sont des triplets comme (p,f,p) indiquant le r´esultat pr´ecis de chacun des trois lancers. Ici Ω ={f,p}3. L"´ev´ene- mentB"obtention de pile au deuxi`eme des trois lancers»est compos´e :

B={(f,p,f);(f,p,p);(p,p,f);(p,p,p)}.

Avec ce mode de repr´esentation, les op´erations logiques sur les ´ev´ene- ments :"et»,"ou»,"n´egation»se traduisent par des op´erations ensem- blistes : intersection, r´eunion, passage au compl´ementaire. Voici un tableau de correspondance entre les deux langages.2Ch.Suquet,Probabilit´es 1.2. ´Ev´enementsNotationsVocabulaire ensemblisteVocabulaire probabiliste ∅ensemble vide´ev´enement impossible

Ωensemble plein´ev´enement certain

ω´el´ement de Ω´ev´enement ´el´ementaire

Asous-ensemble de Ω´ev´enement

ω?Aωappartient `aALe r´esultatωest une desr´ealisations possibles deAA?BAinclus dansBAimpliqueBA?Br´eunion deAetBAouBA∩Bintersection deAetBAetBA

ccompl´ementaire deA´ev´enement contraire deAdans Ω

A∩B=∅AetBsont disjointsAetBsont incompatiblesLes op´erations logiques sur les ´ev´enements peuvent bien sˆur faire interve-

nir plus de deux ´ev´enements. Ainsi, siA1,...,Ansont des ´ev´enements, n i=1Ai=A1?A2··· ?An est l"ensemble desωqui sont dans l"un au moins desAi. C"est donc l"´ev´ene- n i=1Ai=A1∩A2··· ∩An est l"ensemble desωqui sont dans tous lesAi. C"est donc l"´ev´enement"r´ea- aux r´eunions et intersections d"une suite infinie d"´ev´enements : i?N?Ai=+∞? i=1Ai={r´ealisation de l"un au moins desAi,i?N?}, i?N?Ai=+∞∩ i=1Ai={r´ealisation de tous lesAi,i?N?}. Ces op´erations logiques sur des suites d"´ev´enements sont tr`es utiles pour analyser des ´ev´enements complexes `a l"aide d"´ev´enements plus simples et, comme nous le verrons plus tard, calculer ainsi des probabilit´es. A titre d"illustration, examinons la situation suivante.Ch.Suquet,Probabilit´es3

Chapitre 1. Espaces Probabilis´es

Exemple 1.1Alice et Bruno lancent le mˆeme d´e `a tour de rˆole (Alice com- mence). Le gagnant est le premier `a obtenir un"six».

On s"int´eresse aux trois ´ev´enements

A={victoire d"Alice},

B={victoire de Bruno},

D={Il n"y a pas de vainqueur}.

La simplicit´e de leur d´efinition est trompeuse. Leur structure compliqu´ee peut ˆetre analys´ee `a l"aide des ´ev´enements plus simples suivants : F n={fin de la partie aun-i`eme lancer}, n?N?, S j={lej-`eme lancer donne un"six»}, j?N?. Commen¸cons parD. Il est clair queDse r´ealise si et seulement si le"six» n"apparaˆıt `a aucun lancer, autrement dit si et seulement si quel que soit j?N?, l"´ev´enementScjest r´ealis´e. D"o`u : D=?quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19