[PDF] Le second degré - AlloSchool

TD n°5 : Factorisation canonique - Math93

4 èmeOn cherche alors à factoriser en utilisant la 3 identité remarquable (quand ’est possible) : Ici on factorise avec : En effet ( )( ) Ce qui nous donne une forme factorisée de F 5 Vérification : On peut alors au rouillon, redévelopper l’expression o tenue pour vérifier le résultat

Forme canonique d’un trinˆome du second degr´e

En utilisant cette technique, factoriser chacun des trinomes suivants : x2 +6x+5 x2 +4x−5 4x2 +4x−3 x2 +4x+1 x2 −6x+7 4x2 −4x−4 Trouver la forme canonique d’un trinˆome du second degr´e On appelle forme canonique d’un trinome du second degr´e ax2 +bx+c son expression sous la forme a(x−m)2 +n avec m,n ∈ R

COMMENT METTRE UN TRINÔME SOUS FORME CANONIQUE

> [ ] } µ forme canonique [ le mettre sous la forme : ax 2 D E A partir de la forme initiale, on obtient la forme canonique en mettant tout d'abord en facteur a (coefficient de x2) (même si cela fait apparaître des fractions) On interprète ensuite la forme xkx2 robtenue, comme le début d'une identité remarquable

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les

Fiche méthode sur la forme canonique En regardant ce qui est en bleu , on a d’un côté 12x et de l’autre 2ab ; autrement dit « ab » doit correspondre à « 6x » et donc b = 6 On travaille donc avec ( x + 6)² Regardons ce qu’on obtient quand on développe : Et on veut : On a bien trouvé le même « début »

Forme canonique exos - Exercices de maths en vidéo

Exercices : forme canonique www bossetesmaths com Exercice Pour chacune des fonctions f polynômes du second degré ci-dessous, définies sur R par : a) f(x)=−4x2 −28x+15; b) f(x)=9x2 −36x+32;

Second degré Forme canonique d’un trinôme

Pour savoir s’il est possible de factoriser un trinôme du second degré, il faut d’abord en chercher la forme canonique ( ) puis comparer et Si ou si et sont de signes contraires, alors le trinôme est factorisable

Les fonctions de XCAS - ac-rouenfr

en calcul formel pour le lycée factoriser_sur_C(x^2+x+1) forme_canonique() Renvoie la forme canonique d'une expression du second degr

Le second degré - AlloSchool

On ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1 3 Forme canonique du trinôme Soit un trinôme du second degré : P(x)=ax2 +bx +c On factorise par a 6= 0, cela donne : P(x)=a x2 + b a x + c a x2 + b a x est le début de x + b 2a 2 =x2 + b a x + b2 4a2 Cela donne : =a x2 + b a x + b2 4a2 − b2 4a2 + c a =a " x + b 2a 2 − b2 4a2

Second degré Fiche d’exercices

Recopier et compléter pour obtenir la forme canonique f(x) = f(x) = f(x) = Dans chaque cas, déterminer la forme canonique de la fonction définie en utilisant la complétion du carré b) g(x) 3x2 12 a) f(x) = 2x2 — 2x+ 3 -5t2 20t + 20 f(x fest la fonction définie surR par f(x) = —3 x Dresser le tableau de signes de f(x)

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DERNIÈRE IMPRESSION LE4 octobre 2016 à 8:57

Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme2

1.1 Le trinôme du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Quelques exemples de formes canoniques. . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Forme canonique du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Racines du trinôme4

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Le discriminant est nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Le discriminant est négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Factorisation, somme et produit des racines6

3.1 Factorisation du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Somme et produit des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré8

4.1 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Le discriminant est nul ou négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Représentation de la fonction trinôme9

6 Équation paramétrique10

7 Équation, inéquation se ramenant au second degré12

7.1 Équation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.2 Inéquation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.3 Équation bicarrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.4 Somme et produit de deux inconnues. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Quelques problèmes du second degré14

8.1 Problème de résistance équivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8.2 Un problème de robinet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

8.3 Une histoire de ficelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

Définition 1 :On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme :

P(x) =ax2+bx+caveca?=0

Exemple :Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x) =x2+2x-8

P

2(x) =2x2+3x-14

P

3(x) =-x2+4x-5

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une

"astuce" qui consiste à rajouter un terme puis à l"ôter de façon à obtenir le début

d"un carré parfait.

Exemple :SoitP1(x) =x2+2x-8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de(x+1)2=x2+2x+1.

On ajoute 1 puis on le soustrait, ce qui donne :

P

1(x) =x2+2x

+1-1-8 = (x+1)2-9 forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : = (x+1)2-32 = (x+1-3)(x+1+3) = (x-2)(x+4)

Exemple :SoitP2(x) =2x2+3x-14

On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici 2. P

2(x) =2?

x 2+3 2x-7? x 2+3 2x? est le début de? x+34? 2 =x2+32x+916. Cela donne : =2? x 2+3

2x+916-916-7?

=2? x+3 4? 2 -916-7? =2? x+3 4? 2 -12116? forme canonique deP2(x)

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

1. LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2? x+3 4? 2 -?114? 2? =2? x+3

4-114??

x+34+114? =2(x-2)? x+7 2?

Exemple :SoitP3(x) =-x2+4x-5

On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici-1. P

1(x) =-?

x2-4x+5? x2-4x? est le début de (x-2)2=x2-4x+4. Cela donne : x2-4x +4-4+5? x-2)2-4+5? x-2)2+1? forme canonique deP2(x) On ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés

1.3 Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x) =ax2+bx+c

On factorise para?=0, cela donne :

P(x) =a?

x 2+b ax+ca? x 2+b axest le début de? x+b2a? 2 =x2+bax+b24a2. Cela donne : =a?? x 2+b ax+b24a2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? Théorème 1 :La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x) =a?

x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? ?Dans un cas concret, on n"utilise pas cette formule un peu difficile à mémori- ser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

PAUL MILAN3PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

Définition 2 :Les racines d"un trinômes ou "zéros" sont les solutions de l"équa- tion : ax2+bx+c=0 Définition 3 :On poseΔ=b2-4acappelédiscriminant L"équationax2+bx+c=0 devient en utilisant la forme canonique : a? x+b 2a? 2 -Δ4a2? =0 Le nombre de racines du trinôme dépend du signe deΔ, d"oùdiscriminant.

2.2 Le discriminant est positif

Comme le discriminantΔest positif, la forme canonique se factorise en : a x+b

2a-⎷

2a?? x+b2a+⎷ 2a? =0

On obtient alors deux solutions :

x+b

2a-⎷

2a=0 oux+b2a+⎷

2a=0

Soit, en appelantx1etx2les deux solutions

x

1=-b+⎷

2aoux2=-b-⎷

2a

Exemple :Résoudre dansR: 2x2+3x-14=0

•On calculeΔ:Δ=b2-4ac=32-4×2×(-14) =9+112=121=112 •Δ>0, il existe deux solutions distinctesx1etx2: x

1=-b+⎷

2a=-3+114=2 etx2=-b-⎷

2a=-3-114=-72

•On conclut par :S=?

-72; 2?

PAUL MILAN4PREMIÈRE S

2. RACINES DU TRINÔME

2.3 Le discriminant est nul

Comme le discriminantΔest nul, la forme canonique correspond à un carré par- fait. Elle se factorise en : a? x+b 2a? 2 =0

On obtient alors qu"une seule solution :x0=-b

2a

Exemple :Résoudre dansR: 3x2-18x+27=0

•On calculeΔ:Δ=b2-4ac=182-4×3×27=324-324=0 •Δ=0, il n"existe qu"une seule solutionx0:x0=-b2a=-186=3

•On conclut par :S={3}

2.4 Le discriminant est négatif

Comme le discriminantΔest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.

Exemple :Résoudre dansR:-x2+4x-5=0

•On calculeΔ:Δ=b2-4ac=42-4×(-1)×(-5) =16-20=-4

•Δ<0, il n"y a pas de solution.

•On conclut par :S=∅

2.5 Conclusion

Théorème 2 :Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminantΔ=b2-4ac.

•SiΔ>0 il existe deux racines distinctes :

x

1=-b+⎷

2aoux2=-b-⎷

2a •SiΔ=0 il n"existe qu"une racine (appelée racine double) : x 0=-b 2a

•SiΔ<0 il n"existe aucune racine réelle.

?Lorsque l"on pourra factoriser le trinôme, on ne calculera pas le discriminant.

On factorisera, puis on annulera chaque facteur.

Exemple :Déterminer les solutions des équations suivantes : a) 4x2-25=0 b) 9x2-6x+1=0

PAUL MILAN5PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

a) L"équation se factorise en utilisant la différence de deux carrés :

4x2-25=0?(2x-5)(2x+5) =0?x=5

2oux=-52

b) L"équation correspond à un carré parfait :

9x2-6x+1=0?(3x-1)2=0?x=1

3

Algorithme :On peut proposer l"al-

gorithme suivant pour résoudre l"équa- tion : Ax

2+Bx+C=0

Comme il y a trois cas à analyser, il faut

utiliser deux "Si".

On appelle les deux solutions, lors-

qu"elles existentXetY. ?Nous sommes dans le cas d"un tri- nômeA?=0.

Variables:A?=0,B,C,X,Y,Δréels

Entrées et initialisation

LireA,B,C

B

2-4AC→Δ

Traitement et sorties

siΔ>0alors -B+⎷Δ

2A→X

-B-⎷

2A→Y

AfficherX,Y

sinon siΔ=0alors -B2A→X

AfficherXsinon

Afficher "Pas de Solution"

fin fin

3 Factorisation, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a? x+b

2a-⎷

2a?? x+b2a+⎷ 2a? =0 En remplaçant par les racinesx1etx2, nous avons alors :a(x-x1)(x-x2) De même si le discriminant est nul. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a x+b 2a? 2 =0

En remplaçant par la racinex0=-b

2a, nous avons alors :a(x-x0)2

Exemples :

a) Factoriser le trinôme suivant :P(x) =2x2+3x-14 D"après le paragraphe précédent, les racines de ce trinôme sont :-7

2et 2 ,

donc :

P(x) =2?

x+7 2? x-2)

PAUL MILAN6PREMIÈRE S

3. FACTORISATION, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

Nous retrouvons la factorisation avec la forme canonique. b) Factoriser le trinôme suivant :Q(x) =3x2-18x+27 D"après le paragraphe précédent, l"unique racine de ce trinôme est 3 , donc :

Q(x) =3(x-3)2

?La racinex=3 est une racine double car on peut factoriser par(x-3)2 Théorème 3 :Lorsque le trinômeP(x) =ax2+bx+cadmet : •deux racinesx1etx2, alors :P(x) =a(x-x1)(x-x2)

•admet une racinex0, alors :P(x) =a(x-x0)2

•n"admet pas de racine, il ne peut pas se factoriser.

3.2 Somme et produit des racines

Soit le trinômeT(x) =ax2+bx+c. Nous nous plaçons dans le cas oùΔ>0. Il y a donc deux racinesx1etx2. Le trinôme peut alors se factoriser en :

T(x) =a(x-x1)(x-x2)

Développons le trinôme :

T(x) =a(x2-x2x-x1x+x1x2) =a?

x2-(x1+x2)x+x1x2? =ax2-a(x1+x2)x+ax1x2 On poseS=x1+x2etP=x1x2, on a alors :T(x) =ax2-aSx+aP En identifiant à :T(x) =ax2+bx+c, on obtient alors : -aS=b?S=-b aetaP=c?P=ca

Exemple :Soit le trinômeT(x) =2x2+3x-14

2et2,d"aprèsnotrerésultat:

S=-b a=-32ce qui se vérifie-72+2=--7+42=-32 P=c a=-142=-7 ce qui se vérifie-72×2=-7 Théorème 4 :Si un trinômeT(x) =ax2+bx+cadmet deux racines, alors la sommeSet le produitPdes racines sont égales à : S=-b aetP=ca

PAUL MILAN7PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

3.3 Application

Parfois, certaines équations admettent des solutions très simples que l"on ap- pellent "racines évidentes". Lorsque l"on connaît une telle solution, le produit des racines permet alors de trouver la seconde.

Exemples :

1) Résoudre l"équation : 2x2-5x+3=0

•x1=1 est racine évidente car 2(1)2-5(1) +3=2-5+3=0

•P=ca=32doncx2=Px1=32

S=? 1 ;3 2?

2) Résoudre l"équation : 5x2+2x-3=0

•x1=-1 est racine évidente car 5(-1)2+2(-1)-3=5+2-3=0

•P=ca=-35doncx2=Px1=35

S=? -1 ;3 5?

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

SiΔ>0, le trinôme se factorise en :P(x) =a(x-x1)(x-x2) En supposant quex1?x2, dressons un tableau de signes : x x-x1 x-x2 a(x-x1)(x-x2)-∞x2x1+∞ --0+ -0++ signe de a0signe de - a0signe de a Conclusion :Le signe du trinôme est du signe deaà l"extérieur des racines et du signe de-aà l"intérieur.

Exemple :Signe de-3x2+7x+6

Il n"y pas de racine immédiate, calculons alors de discriminant :

Δ=72-4(-3)(6) =49+72=121=112

Comme le discriminant est positif, le trinôme admet deux racines : x

1=-7+11

-6=4-6=-23etx2=-7-11-6=-18-6=3 Comme le coefficient devantx2est négatif(-3), le trinôme est négatif à l"exté- rieur des racines et positif à l"intérieur.

PAUL MILAN8PREMIÈRE S

5. REPRÉSENTATION DE LA FONCTION TRINÔME

Nous avons alors le tableau de signes suivant :

x -3x2+7x+6 -∞-233+∞ 0+0-

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

SiΔ=0, le trinôme se factorise en :P(x) =a(x-x0)2 Comme(x-x0)2est un carré, il est soit nul soit positif. Donc le trinôme est soit nul soit du signe dea. x a(x-x0)2-∞x0+∞ signe de a0signe de a Si le discriminant est négatif, il n"a donc pas de racine. Il possède donc un signe constant. On montre alors qu"il est du signe dea.

4.3 Conclusion

Théorème 5 :Le signe du trinôme dépend du discriminant :

•SiΔ>0, par rapport au racines,

le trinôme est du signe deaà l"extérieuret du signe de-aà l"intérieur. •SiΔ=0, le trinôme est soit nul, soit du signe dea. •SiΔ<0, le trinôme est toujours du signe dea.

5 Représentation de la fonction trinôme

Théorème 6 :La représentation de la fonction trinômefest une parabole Pdont les caractéristiques dépendent du signe du coefficientaet du signe du discriminantΔ. Les coordonnées du sommet S de la parabole sont : S? -b

2a;-Δ4a?

Démonstration :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =ax2+bx+c

La forme canonique de la fonctionfest donc :

f(x) =a? x+b 2a? 2 -Δ4a2? =a? x-b2a? 2 -Δ4a

PAUL MILAN9PREMIÈRE S

TABLE DES MATIÈRES

On pose alors :α=-b2aetβ=-Δ4a.

On a donc :f(x) =a(x-α)2+β

?on retrouve le résultat de seconde Les variations de la fonctionfdépendent du coefficienta:

•a>0

x f(x)

La parabole est dirigée vers le haut

•a<0

x f(x)

La parabole est dirigée vers le bas

Les coordonnées du sommet S sont donc :S(α;β) •SiΔ>0 la parabole coupe deux fois l"axe des abscisses. •SiΔ=0 la parabole est tangente à l"axe des abscisses. •SiΔ<0 la parabole ne coupe pas l"axe des abscisses. On peut résumer ces résultats par le tableau suivant :

Δ>0Δ=0Δ<0

a>0

Sβα

O ?x2?x1 Sα O ?Sβ O a<0 ?Sβ O?x2 ?x1 ?S O

Sβα

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