[PDF] I- L’ensemble des nombres complexes

Racines n-i`emes d’un nombre complexe Racines de l’unit´e

Racines n-i`emes d’un nombre complexe Racines de l’unit´e Applications Dans un document pr´ec´edent, on a introduit le corps des nombres complexes afin que tout nombre r´eel ait une racine carr´ee On va voir ici que l’on a obtenu beaucoup plus et que, pour tout entier n 6= 0, tout nombre complexe non nul poss`ede n racines n-i`emes

Les nombres complexes - Racines de nombres complexes

Si l’addition ou la soustraction d’un nombre entier de tours à l’argument d’un nombre complexe ne change rien à ce nombre, il n’en est pas de même d’une fraction de tour Un nombre complexe possède donc n racines n-ièmes distinctes qui correspondent à n valeurs successives de k, par exemple celles comprises entre 0 et n 1

Racines n-ièmes d’un nombre complexe Résolution d’une

Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation i z z 4 Écrire la solution sous forme algébrique Exercice 5 Soit (E) l’équation complexe : 2z z 1 0 z 1 1 Démontrer que z = x + iy avec x et y réels est solution de (E) si et seulement si : °¯ ° ® ­ 2x 1 y 0 x 2 x 3y 2 1 0 ( ) 2

NOMBRES COMPLEXES(2) - AlloSchool

J) LES RACINES n-EME D’UN COMPLEXE NON NUL 1) Les racines n-ième de l’unité : a)On appelle racine n-ième de l’unité tout complexe ???? qui vérifie : un 1 b)L’unité admet racines n-ème qui s’écrivent de la forme : 2 S n k i ue k Où ???? ∈ {0,1,2, , ( − 1)} 2) Les racines n-ème d’un nombre complexe non nul Le nombre

Travaux dirigés - Complexes

– savoir représenter les racines n-ièmes d’un nombre dans le plan complexe – savoir utiliser le calcul des racines n-ièmes d’un nombre complexe pour la factorisation de certains polynômes ou pour des applications géométriques Exercice 30 1 Quelles sont les racines quatrièmes de l’unité? (Formes exponentielle et algébrique) 2

I- L’ensemble des nombres complexes

V-1 Racine carr ee d’un nombre complexe Proposition 10: tout un nombre complexe non nul Z= a+ ib ou a;b 2R admet deux racines complexes Remarque 3 :la recherche des racines carr ees est donn ee par la r esolution du syst eme (s) Soit z= x+ iytel que z2 = Zon a : z2 =Z, 8

Complexes polynômes - 2010

0 0 12 Racines d'un polynôme et géométrie : Soit P = X4 +aX3 +bX2 +cX +d un polynôme de C[X] Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes : a) Les images des racines de P forment un parallélogramme dans le plan complexe b) ∃k ∈ C , tel que P(X +k) soit un polynôme bicarré c) P0 et P000 ont une racine commune

Chapitre 8 : Nombres complexes, polynômes et fractions

8 1 11 Racines d’une équation du second degr corps, noté C, est appelé le corps des nombres complexes Un nombre complexe, i e un élément de C, est donc

Exo7 - Cours de mathématiques

Racines carrées, équation du second degré Vidéo — partie 3 Argument et trigonométrie Vidéo — partie 4 Nombres complexes et géométrie Fiche d'exercices ⁄ Nombres complexes Préambule L’équation x +5 = 2 a ses coefficients dans N mais pourtant sa solution x = 3 n’est pas un entier naturel Il faut ici

Les nombres complexes - Paris Descartes

Les nombres complexesModule d’un nombre complexe On appellemoduledu nombre complexe z, le nombreréel: jzj= p z z = ˘ x2 + y2 É jzj= j zj= j zj, jxj jzj, jyj jzj É jzj= 0, z = 0 É jz z 0j= jzj jz0j É jz + z 0j jzj+ jz0j Attention : Ne pas confondremodule d’un nombre complexe avecvaleur absolue La notation est la mêmemais: É Si z 2R

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Mohammadia ANNEE 2017-2018Nombres complexes

I- L'ensemble des nombres complexes

I-1 Forme algebrique d'un nombre complexe

Denitions et proprietes1: :

l' ensembleCdes nombres complexes contientRet verie les proprietes suivantes : 1.

Il c ontientun nombr enot ep ari tel que i2=1

2. T outnombr ec omplexes' ecritd'une mani ereunique sous l aforme z=a+ib oua;b2R la formez=a+ib oua;b2Rs'appelle la forme algebrique de z a s' appelle la partie reelle dez, on la note parRe(z) =a b s'appelle la partie imaginaire dez, on la note parIm(z) =b iR=fibjb2Rgs'appelle l'ensemble des nombres complexes imaginaires pures. le nombre complexeaibs'appelle le conjugue de z , on le note parz=aib 3. L esop erations+etsurRse prolongent surCet les regles de calcul restent les m^emes

Soitz=a+ib;z0=a0+ib0ou a;b;a0;b02R

z= 0,a= 0etb= 0 z=z0,a=a0etb=b0 zz0 z+z0= (a+a0) +i(b+b0) zz0=aa0bb0+i(ab0+a0b) z+z0=z+z 0 zz0=zz 0

Siz6= 0alors1z

=aa

2+b2iba

2+b2etz0z

=z01z 1z ) =1z z0z ) =z 0z et8n2Z:z n=z n

4.+etsont commutatives et associatives

5.est distributive par rapport a+dansC

6.

T outnombr ec omplexenon nul p ossedeun inverse

On dit que(C;+;)est un corps .Proposition 1:: Soitz2C

1.Re(z) =z+z

2 etIm(z) =zz 2i

2.z2R, Im(z) = 0,z=z

3.z2iR, Re(z) = 0,z=z

Exercice 1::Montrer que les applications suivantes sont des bijections et donner leur inverse 1. f:R27!C (a;b)7!a+ib 2. f:C7!C z7!z 3. f:C7!C z7!z+ 2z I-2 Represenation geometrique d'un nombre complexe SoitPle plan muni d'un repere(O;~i;~j)orthonormal. Pour tout pointM(a;b)2Pon a!OM=a!i+b!jon posez=a+ib z s'appellel'axe de M( oul'axe du vecteur!OM)et on noteM(z)pour dire le point M d'axe z .et on ecrit :aff(M) =aff(!OM) =z reciproquement pour tout nombre complexez=x+iy oux;y2R,on lui associe un point M(x,y) du planP, le point M s'appellel'image de z l'application f:P 7!C

M(a;b)7!z=a+ibest bijective.

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Mohammadia ANNEE 2017-2018l'application

g:P 7!C!u7!aff(!u)est bijective. Proposition 2:: Soit A , B et C des points du planPd'axes respectivementzA,zBetzcon a :

1.aff(!AB=zBzA

2. le milieu du se gment[A;B]a pour axe :zI=zA+zB2 3. Si A,B et S sont distincts, alors : A;BetCsont alignesssizCzBz CzA2R

I-3 Module d'un nombre complexe

Denition 1:Soitz=a+ib ou a;b2Run nombre complexe . le nombre reelpa

2+b2s'appelle le module de z , on le note par :

jzj=pa

2+b2=pzz

Remarque1:le modulejzjest la distance OM avec M est l'image de z Proposition 3:Soit z et z' deux nombres complexes on a :

1.jzj= 0,z= 0

2.jzj2=jzj2= (Re(z))2+ (Im(z))2

3.kRe(z)j jzjetkIm(z)j jzj

4.82R;jzj=jjjzj

5. In egalitetriangulair ejz+z0j jzj+jz0j6.jjzj jz0jj jzz0j

7.jzz0j=jzjjz0j

8.jzz

0j=jzjjz0jsiz06= 0

9.8n2N;jznj=jzjn

II- GroupeUdes nombres complexes de module 1

II-1 Denition deU

Denition 2::

On noteUl'ensemble des nombres complexes de module 1

U=fz2Cjjzj= 1g

l'ensemble image deUest le cercle de centre 0 et de rayon 1 c'est le cercle unite du plan

II-2 Denition deei

Notation1:Pour tout2R, on poseei= cos+isin

Proposition 4::

U=feij2Rg

II-3 Relations d'Euler

Formules d'Euler: Pour tout2Rsin=ei+ei2icos=ei+ei2

Proposition 5::

1. l'applic ations:R7!U x7!eixest surjective

2.8;02R,

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Mohammadia ANNEE 2017-2018ei(+0)=eiei0

ei(0)=eie i08 n2Z;(ei)n=ein e i=ei ei= 1, 9k2Z;= 2k,= 0[2]

II-4 Formule de Moivre

82R;8n2N: (cos+isin)n= cosn+isinnII-5 Linearisation et factorisation d'expression trigonometriques

Exercice 2:lineariser les expressions suivantescos3,sin3etcos2xsin2x

Exercice 3:factoriser les expressioncos+cos

III- Forme trigonometrique d'un nombre complexe

Denition 3:Soitz2Cet M son image .

On appelle argument de z tout reeltel que :

!i ;!OM) [2] on note=arg(z) on posejzj=;=arg(z)le couple(;)s'appelle un couple de coordonnees polaires de M(z) z s'ecrit sous la forme z=cos+isin ou >0 cette ecriture s'appelle la forme trigonometrique de z et l'ecriture z=eiou >0 s'appelle la forme exponentielle de z Proposition 6:: Soitz=a+ib2Cou a;b2Ret=arg(z)alors : cos=apa

2+b2etsin=bpa

2+b2

Proposition 7:: Soitz;z02C

arg(zz0) =arg(z) +arg(z0) [2] arg(z) =argz) [2] arg(1z ) =arg(z) [2]arg(z) =+arg(z) [2] arg(zz

0) =argzargz0[2]

8 nZ;argzn=nargz[2]

Exemple1:

Donner la forme trigonometrique des nombres complexes suivants :i;1 +i;1i;1 +ip3;j=12 +ip3 2

Exercice 4::

IV- Racine n-ieme de l'unite - equationzn=a

Soitn2N

Denition 4:on appelle racine n-ieme de l'unite toute nombre complexetel quen= 1

Proposition 8:Les racines n-ieme de l'unite sont

k=ei2kn ;k= 0;1;::n1 http://mathscpge.wordpress 1TSI1

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Mohammadia ANNEE 2017-2018Remarque2: Les racines n-ieme de l'unite forment geometriquement un polygone regulier de n cotes inscrit

dans le cercle unite . les racines troisiemes de l'unite sont1;jetjforment un triangle equilateral , les racines

quatrieme de l'unite sont1;1;ietiforment un carre ... les racines sixiemes forment un hexagone Exercice 5:: Soitune racine n-ieme de l'unite . calculer

1 ++2+::::+n1

Proposition 9:Soita=reiou r >0et2R.

L'equationzn=aadmet n racines complexes distincts deux a deux z k=npre i2kn ;k= 0;1;::n1 vocabulaire:

Toute racine de l'equationzn=as'appelle une racine n-ieme de a . si n = 2 alors on parle de racine caree

si n= 3 alors on parle de racine cubique

Exercice 6:donner les racines cubique de1 +i

V- Equation de seconde degre

V-1 Racine carree d'un nombre complexe

Proposition 10:tout un nombre complexe non nulZ=a+ib ou a;b2Radmet deux racines complexes Remarque3:la recherche des racines carrees est donnee par la resolution du systeme(s)

Soitz=x+iytel quez2=Zon a :

z 2=Z,8 :x 2y2=a 2xy=b xquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3