[PDF] Intégrales curvilignes, intégrales multiples - Exo7

Intégrales curvilignes, intégrales multiples - Exo7

Par suite, l’intégrale de w le long de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle 2 w = y2dx+x2dy est de classe C1 sur R2 et n’est pas fermée car ¶P ¶y = 2y 6= 2x = ¶Q ¶x On en déduit que w n’est pas exacte sur R2 L’intégrale de w le long d’un cercle parcouru une fois dans le sens

Exo7 - Exercices de mathématiques

4 =4g, on trouve la valeur de l’intégrale (ici le sup et l’inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine) Une autre façon de faire est considérer que f est une fonction en escalier (en «oubliant» les accidents en x = 0, x =1, x =2) dont on sait calculer l’intégrale 2 C’est la même chose pour R x

Exo7 - Exercices de mathématiques

69 Intégrale de Riemann209 70 Primitives 215 71 Intégrale généralisée217 72 Intégrale dépendant d’un paramètre223 73 Intégrale multiple 232 IX Séries 236 74 Fonction exponentielle complexe236 75 Séries numérique 237 76 Familles sommables247 77 Suites et séries de fonctions249 78 Séries entières 258

Intégrales doubles et triples - M—

l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples b) Changement de variables dans une intégrale double On admettra sans démonstration le théorème suivant: ZZ D f (x ,y )dxdy = ZZ ∆=ϕ−1(D) [ϕ u v)] J dudv

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI Calculdifférentieletintégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer Z 1 0 Z 1

Intégrales curvilignes et de surfaces

Un point multiple est un point qui n’est pas simple Définition 3 Un arc est dit simple si tous les points sont simples (i e si est injective) Définition 4 Un arc est dit fermé si (a) = (b) Définition 5 Un arc fermé est dit fermé simple si I est de la forme [a;b] ( fermé borné), (a) = (b) et la restriction de

Integral Calculus - Exercises

INTEGRAL CALCULUS - EXERCISES 42 Using the fact that the graph of f passes through the point (1,3) you get 3= 1 4 +2+2+C or C = − 5 4 Therefore, the desired function is f(x)=1 4

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et

cheminementeffectuéci-dessuspourlaconstructiondel’intégrale(pourlesfonctionsenescalier,puis pourlesfonctionsintégrables) 4 Théorème3 Soit Aune partie

1 Integrales´ doubles - univ-rennes1fr

Intégrales Généralisées - Claude Bernard University Lyon 1

2 En déduire que l’intégrale ????=∫ ln(1+ 2) 2 +∞ 1 Est convergente et déterminer sa valeur Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4 1 Calculer (????)=∫ 1 √ 2+1 ???? 1 A l’aide du changement de variable =√ 2+1 2 Montrer avec les règles de Riemann que ????=∫ 1 √ 2+1 +∞ 1 Converge 3 Calculer

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Exo7 Intégrales curvilignes, intégrales multiples Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**Calculer l" intégrale de la forme différentiellewle long du contour orientéCdans les cas suivants :

1.w=xx

2+y2dx+yx

2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et

(0;1)parcouru une fois dans le sens desycroissants.

2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2

H???Exercice 2**Soitw=x2dx+y2dy. Calculer l"intégrale dewle long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens

trigonométrique. Même question avecw=y2dx+x2dy. H???Exercice 3**Calculer les intégrales multiples suivantes

1.I=ZZ

D

2.I=ZZ

[1;1]2jx+yjdxdy.

3.I=ZZ

D xy dxdyoùDest la partie du plan limitée par les paraboles d"équations respectivesy=x2et x=y2.

4.I=ZZ

x

2+y26111+x2+y2dxdy.

5.I=ZZ

x6x2+y261dxdy(1+x2+y2)2.

6.I=ZZZ

06x6y6z61xyzdxdydz.

7.I=ZZZ

px+py+pz61zdxdydz. H???Exercice 4*** I(Un calcul de

R+¥

0sinxx

dx). 1

1.retRsont deux réels strictement positifs tels quer w=eyx

2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)

le long de ce contour orienté. 2.

En déduire

RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥

0sinxx

dx. H???Exercice 5***Soient(p1;p2;q1;q2)2]0;+¥[4tel quep1H???Exercice 6*** ICalculer le volume deB=f(x1;:::;xn)2Rn=x21+:::+x2n61g(boule unité fermée deRnpourk k2).

H???Exercice 7**Calculer le volume de l"intérieur de l"ellipsoïde d"équationx2+12

y2+34 z2+xz=1.

H???Exercice 8**** Inégalité isopérimétriqueUne courbe fermée(C)est le support d"un arc paramétrégde classeC1régulier et simple. On noteLsa

longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer que

A6L24p.

Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues. H???Exercice 9***2

CalculerI=ZZ

x 2a 2+y2b

261(x2y2)dxdy.

H???3 Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t212

2+t2t+t

t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): R

Cw=2ln2.2.

Z C w=Z 2p

0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z

2p

0(cos4t+sin4tcostsint)dt

Z 2p

0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z

2p 0

1sin(2t)2

sin2(2t)2 dt Z 2p 0

1sin(2t)2

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