[PDF] CHAPITRE Les fractions algébriques

CHAPITRE Les fractions algébriques

Les fractions algébriques 1 Définition et exemples Définition Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables 1 Exemples 2 1 x2 x + est une fraction algébrique de la variable x Si par exemple x =2, cette fraction vaut 8 3 a b a b + − 2 est une fraction algébrique des variables a et b Si par exemple a =3 et b

Exercices sur les fractions algébriques

3ème Fractions algébriques 1 Exercices sur les fractions algébriques Question 1 Simplifie et énonce les conditions d’existence 1 4−1 3− 2

I Compétences à atteindre

2 3 4 Déterminer les conditions d’existence de fractions algébriques données C6 6 1 4 Utiliser les propriétés des fractions rationnelles pour résoudre les équations fractionnelles du 1 er degré à une inconnue et valider leur solution à l’aide des C E 6 1 5 Utiliser les propriétés des fractions rationnelles afin de

NOM : Formulaire de mathématiques

Fractions algébriques Conditions d’existence (CE) : Pour qu’une fraction algébrique existe (=calculable), il faut que son dénominateur soit différent de zéro Exemples : 1) 5 CE : 2 0 2 2 x xx x 2) 2 2 35 CE : 9 0 3 3 0 9 x x x x x x 3

Mathématiques : objectifs pour lexamen de juin 2016

Les fractions algébriques • Déterminer les conditions d'existence d'une fraction algébriquement • Simplifier des fractions algébriques • Effectuer une somme, une différence, un produit et un quotient de fractions algébriques

Objectifs pour lexamen de juin en mathématiques

Fractions algébriques ( chapitre 9 ) L'élève doit être capable de • donner les conditions d'existence d'une FA • simplifier des FA • additionner, soustraire, multiplier et diviser des FA • effectuer des exercices où interviennent plusieurs opérations sur les fractions algébriques Figures isométriques ( chapitre 6 )

Mémorial des sciences mathématiques

des fractions de B sur le corps des fractions de A Soient v une valuation de Krull (1) d'un corps K et V le groupe de valeurs correspondant noté additivement L'ensemble T+ des éléments positifs ou nuls de T est partagé en classes d'équivalence dites étages de T de la manière suivante :

CALCUL Traduit du russe par

§ 7 Fractions rationnelles Fractions rationnelles élémentaires et leur intégration 390 § 8 Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples 395 § 9 Intégration des fractions rationnelles 399 § 10 Intégration des fonctions irrationnelles 402 § 11 Intégrales du type ∫R(x, ax2 +bx+c) dx 404 12

Algebraic approximation in CR geometry

and hold under some geometric nondegeneracy conditions on these sets The situation considered in Theorem 1 1 goes beyond this setting and deals with the general case where M is allowed to be mapped to an arbitrary real-algebraic set by a non-algebraic holomorphic map In such a situation, the only known sufficient condition implying that a (con-

Sur la fonction exponentielle

lafonctionexponentielle, i'anm ch hermite, pkofesse a vl'écolepolytechniqueetalafacx ltÉ «essciences, mlmnhkdel'inslnit,mkmbheetrangerde l,vsociÉtÉroyalpf

[PDF] fraction algébrique théorie

[PDF] fraction algébrique definition

[PDF] fraction algébrique 3ème exercices

[PDF] domaine d'une fonction definition

[PDF] condition d'existence math

[PDF] condition de germination des graines 6eme

[PDF] pour germer une graine a besoin

[PDF] tp de germination des graines pdf

[PDF] conditions germination graines pdf

[PDF] la germination des graines cours pdf

[PDF] les étapes de la germination pdf

[PDF] tp germination graines 6ème

[PDF] conditions de germination d'une graine de haricot

[PDF] définition du travail selon karl marx

[PDF] le travail selon hegel

CHAPITRE 4

Les fractions algébriques

1. Définition et exemples

Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables1.

Exemples.

2 1 2x x+ est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple x=2, cette fraction vaut 8 3. a b ab -2 est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple a=3 et b=2, alors cette fraction est égale à 7.

Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne

s"annule pas. Retenons donc :

Condition d"existence :

a bb existeÛ ¹0

Exemples.

2 1 2x x+ existe Û+¹Û¹-xx101. a b ab -2 existe Û-¹Û¹a b a b0.

2. Simplification et amplification

a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m.

Simplification par

0m≠ : a

b a b m m

Exemples de simplification.

4 62
32
3x yx yx y=

×=2

2 (Simplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5 2ab b ab ab=×

×=b

b (Simplification par b) x x xx x xx 2 3 31

3 1 3+

× +=bgb g (Simplification par x+1)

Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du

numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le

numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction

par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur.

1 Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.

2Contre-exemples.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x+2

4 par 2 puisque 2 n"est pas un facteur du numérateur.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x x 21
1 + par x puisque x n"est pas un facteur du numérateur, ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par x+1 à condition de factoriser d"abord le numérateur : x xx x xxx21 11 1 1 11 11-

× +=-= -bgbgb g.

b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. L"amplification est donc le contraire de la simplification.

Amplification par m :

a b a b=× ×m m

Exemples d"amplification.

2 32
34
6x yx yx y=

×=2

2 (Amplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5

2ab ab ab

b=×

×=b

b (Amplification par b) xx x xx x x31

3 1 3 32

+bgb g (Amplification par x+1)

3. Somme et différence de fractions algébriques

Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur : a b c b a c b± =± Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques : a b c d a b c d ad bc bd± =× ±d db b

Expliquons :

· Dans la 1re formule les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d"additionner (ou de

soustraire) les numérateurs sur ce dénominateur commun.

· Dans la 2e formule les fractions n"ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier

chacune d"elles pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus

simple) est le produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est

le plus petit commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme. Donnons quelques exemples afin d"éclaircir la notion de ppcm. a b a b a b 46
3 12 2 12 3 2

12+ = + =+ ppcm 4 6 12,bg=

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2

xx x xx x x+ = + =+ ppcmx x x,2 2ch= 7 123
2035
609

6035 9

60a
xb yay xybx xyay bx xy- = - =- ppcm 12 20 60x y xy,bg=

3▪

4 13 14 1

1 13 1

1 1x xx

x xx x x+--=- + -bgb gb gbgb gb g ppcmx x x x+ - = + -1 1 1 1,bgbgbg + -4 1 3 1 1 1

4 4 3 3

1 1 7

1 1x x

x x x x x x x x xbgbgb gb g b gbg b gbg

Voici un dernier exemple plus compliqué :

1 1 1 4

213 2-++

--- +a a aaaa -1 11 14 1 1 11 1 14 1 1 11 14 1 1 11 14 1 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a ac h b g b gb g b g b g bgb gb g b g b g b g b gc hbgbgb g

4. Produit et quotient de fractions algébriques

Pour faire le produit de deux fractions, il est inutile de prendre un dénominateur commun : a b c d a c bd× =×

En particulier : acd

a c d a c d× = × =× 1

Laisser le dénominateur du

résultat sous forme factorisé !!

Avant de chercher le dénominateur commun,

il faut factoriser tous les dénominateurs !!

Remarquer les facteurs opposés a-1 et 1-a

Avant de chercher le dénominateur commun,

simplifier si possible les fractions !!

Le dénominateur commun est :

ppcma a a a a a- - - = -1 1 1 12 2, ,bgbgejbg

Factoriser le résultat si possible, i.e.

· laisser le dénominateur sous forme

factorisée et · factoriser si possible le numérateur du résultat

4Exemples.

3 25
23 5
2 215 4x y ax y ax ay× =× a aa a aa a a a aa a a a a aa a- + - +=+2

3 1 42

3 1 42 1

3 1 2 2 3 22

22

2b gbgchb gc hbgbgb gb gb g b g

Voici la formule donnant le quotient de deux fractions : a b c d a bc da bd cad bc= ¸ = × =

En particulier :

a b c a b c a bc a bc= ¸ = × =1 1 et : a c d a c da d cad c= ¸ = × =1 1

Exemples.

2 42
42
41
22
2 2 x xquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35