[PDF] Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire

Sommes, produits, récurrence

Exemple 3 : Calcul de la somme des cubes des entiers Nous allons prouver par récurrence la propriété P n: Xi=n i=0 i3 = n2(n+1)2 4 Pour n = 0, nous avons iX=n i=0

Lycee´ Thiers

Cette expression se lit “somme, pour k variant de 1 à n, de u indice k” La lettre k est un indice “muet”, ce qui signifie que S ne dépend pas de k L’indice muet peut parfaitement être remplacé par n’importe quelle autre symbole (pourvu que celui-ci ne soit pas déjà utilisé dans le contexte du calcul)

Calcul mathématique avec Sage

Calcul mathématique avec Sage 3 lien,MarcMezzarobba,ClémentPernetetNicolasThiéryd’écrireunlivresur Sage,tousontréponduprésent

Notes on Calculus II Integral Calculus

Introduction These notes are intended to be a summary of the main ideas in course MATH 214-2: Integral Calculus I may keep working on this document as the course goes on, so these notes will not be completely

St1 - CALCUL DE LA VARIANCE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE SIMPLE

5 : somme( On peut alors compléter la ligne de calcul afin d’obtenir la valeur de V (écran 14) 3) Utilisation d’une autre formule pour retrouver la valeur de V On utilise à présent la formule : V = Σ n i x i 2 – x2 Le calcul de la variance peut alors être fait en allant rechercher les valeurs de N, x et Σx2 en tapant sur la

CALCULER Calculs de base

Vous voulez calculer la somme de ces deux cellules : Vous devez vous placer dans la cellule où vous voulez que le résultat soit affiché Vous tapez sur la touche "=" et ensuite le nom de la première cellule ("A1") suivi du signe "+" et enfin du nom de la deuxième cellule ("A2")

Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire

Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire I) Notions de dénombrements Pour une grande partie des calculs de probabilité discrète, on cherche à calculer le nombre

Estimation d’un intervalle de confiance par inversion de la

Le calcul analytique de la matrice de Fisher est également réalisé sur la feuille de calcul (non visible à l’écran) L’erreur relative des termes de la matrice est inférieure à 3 10-3 Ajustement Maximum de vraisemblance Loi de probabilité : WEIBULL (3 paramètres) Bêta : 2,70389632 Sigma : 7,6776401

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Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire

I)Notions de dénombrements

Pour une grande partie des calculs de probabilité discrète, on cherche à calculer le nombre

d'événements réalisables, le nombre d'événements favorables, etc. D'où la nécessité d'utiliser des outils

de dénombrement et d'analyse combinatoire.

Dans tout ce paragraphe, E désigne ensemble à n éléments que l'on suppose distinguables.

1.Permutations

On appelle permutation des n éléments de l'ensemble E toute disposition ordonnées de ces n

éléments.

Remarque :

Deux permutations ne différent donc que par l'ordre des n éléments distinct qui la composent. Le

nombre de permutations de n éléments est le nombre de manières possibles d'ordonner ces n éléments.

Exemple :

les permutations de l'ensemble (1,2,3) sont : (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)(3,2,1).

Propositions :

Le nombre de permutations à n éléments est n! (n factorielle)

Démonstration :

On démontre ce résultat par récurrence. Il y a

1! manières de permuter 1 élément.

Supposons qu'il y en a

(k-1)!pour la permutation de (k-1) éléments. Alors étant donné k

éléments, on en choisit 1 parmi k, ce qui donne k possibilités, et il reste (k-1) éléments

à ordonner, soit

(k-1)! possibilités. Le total fait donc k(k-1)!=k!Par convention on pose

0!=1Exemple :

Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire les n boules l'une après

l'autre (on s'intéresse à l'ordre), sans les remettre dans l'urne (on n'autorise pas de répétition). Le

nombre de tirages possibles est le nombre de permutations de l'ensemble (1,2,..,n), c'est à dire n!.

2.Arrangement sans répétition

Définition :

On appelle arrangement sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments de E, toute

disposition ordonnée de p éléments de E.

Remarque :

Un arrangement de n éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble E est une permutation.

Dans un arrangement on se contente de p éléments pris parmi les n, tel que p avoir une permutation)

Exemple :

Les arrangements à 2 éléments de l'ensemble (1,2,3) sont (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)Proposition :

le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est

An p=n! (n-p)!=n∗(n-1)∗...∗(n-p+1)Démonstration : il y a n façons de choisir le premier élément de l'arrangement parmi les n éléments de l'ensemble. Pour le deuxième élément de l'arrangement il y a (n-1) façons de le choisir, puisqu'il ne doit pas y avoir répétition d'un élément.

En itérant on vérifie qu'il y a

(n-p+1) façons de choisir le p ième élément de l'arrangement. Au total, le nombre d'arrangements est donc n(n-1)....(n-p+1).

Exemple :

Dans une urne contenant

n boules distinguables (numérotées) on tire les p boules

l'une après l'autre (on s'intéresse à l'ordre), sans les remettre dans l'urne (on n'autorise pas de

répétition). Le nombre de tirages possibles est le nombre d'arrangements sans répétition à p éléments

de l'ensemble

1,2,...,n, c'est à dire An

p A3

2=3∗2=6n-p+1=3-2+1=2

3.Combinaison sans répétition

Définition :

On appelle combinaison sans répétition de p éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble

E toute disposition non ordonnée de p éléments de E.

Remarque :

Deux combinaisons ne diffèrent que par la nature des éléments qui la composent, l'ordre de ces

éléments est indifférent.

Exemple :

Les combinaisons à deux éléments de l'ensemble

1,2,3 sont : 1,2,1,32,3.

(C'est le cas du loto par exemple, car l'ordre n'est pas important)

Proposition :

Le nombre de combinaisons sans répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est

Cnp=n!

p!(n-p)!

Démonstration :

Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n éléments est

An p=n! n-p =

Pour une combinaison de

p éléments donnés il y a p! arrangements différents de ces p

éléments (correspondant au nombre de permutations des p éléments de la combinaison) est donc au

final le nombre de combinaisons sans répétitions de p éléments pris parmi n éléments est donc Anp p!=n! p!(n-p)

Exemple :

Dans une urne contenant n boules distinguables on tire p boules simultanément (donc sans

ordre et sans répétition, le nombre de tirages possibles est le nombre de combinaison sans répétition à

p éléments de l'ensemble 1,2,...,n, c'est à dire CnpC32=3 !

2!(3-2!)=3∗2

2∗1=3

Proposition :

On a les propriétés suivantes :

•Cn p=Cn n-pn!

Exemple :

7 salariés sont convoqués pour un contrôle médical

2 vont avoir un cardiogramme et les 5 autres font une prise de sang

1)De combien de façons peut-on choisir les deux personnes qui commenceront la visite par un

électrocardiogramme ?

2)De combien de façons peut-on choisir les 5 personnes qui commenceront la visite par une prise

sang ?

Solution :

Il y aC72 façons de choisir 2 parmi 7, C72=7!

5!(7-5)!=7∗6

2!=21=

Exemple :

L'un d'eux s'appelle JEAN

De combien de façons peut-on constituer le groupe des 5 personnes qui commencent par la prise de sang

si l'on impose ; a)Que Jean fasse partie du groupe b)Que Jean n'en fasse pas partie

Réponse :

a) Si Jean fait partie du groupe " prise de sang », il ne reste plus qu'à choisir 4 personnes parmi 6 ce

qui donne possibilités, soit 15 groupes possibles b)Si Jean ne fait pas parti de ce groupe il faut choisir 5 salariés parmi 6 ce qui donne possibilités, soit 6 groupes possibles Constat : 15+6= 21. On retrouve le nombre total de groupes de 5 personnes choisies parmi 7

Proposition : Le triangle de PASCAL

On appelle triangle de Pascal le tableau de nombres suivants :

Grâce à et et

1 11 1 21 1331
14641

15101051

1615201561

Proposition : Formule du binôme de Newton

Exemple :

Exercice :

E étant un ensemble fini de cardinal n déterminant le nombre de parties de E (de combinaison) sans oublier

l'ensemble vide () et E lui-même.

Solution :

L'ensemble de toutes les parties de E comprend :

-L'ensemble vide 1 (partie -Les parties de E à 1 éléments, il yen a -Les parties de E à 2 éléments, il y en a -Les parties de E à (n-1) éléments, il y en a -L'ensemble E soit 1 () partie

Donc en tout, il y a parties.

En appliquant la formule du binôme de Newton avec a=1 et b=1, on obtient : = . Donc si card (E)=n, le nombre de parties de E est donc

4.Changement avec réflexion

Définition :

On appelle arrangement avec répétition de à éléments pris parmi les n éléments de l'ensemble E toute

disposition ordonnée de p éléments, non nécessairement distincts de E.

Exemple :

Les arrangements avec répétition à 2 éléments de {1,2,3} sont (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),

(3,2), (3,3)

Proposition

Le nombre d'arrangement avec répétition de p éléments de l'arrangement parmi les n éléments de l'ensemble

et donc au total, le nombre d'arrangement avec répétition est.

Exemple :

Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire p boules l'une après l'autre (on

s'intéresse à l'ordre) en les remettant dans l'urne après chaque tirage (on accepte les répétitions), le nombre

de tirages possibles est le nombre d'arrangement avec répétition à p éléments de l'ensemble {1,2,3, .....,n}

c.-à-d.

Exemple :

n=3, p=2, 

5. Combinaison avec répétition

Définition :

On appelle combinaison avec répétition de p éléments pris parmi les n éléments d'un ensemble E toute

disposition non ordonnée de p éléments, non nécessairement distincts de E.

Exemple :

Les combinaisons avec répétition à deux éléments de l'ensemble {1,2,3} sont: {1,1},{1,2},{1,3},{2,2},{2,3} et {3,3}

Proposition :

Le nombre de combinaisons avec répétition de p éléments pris dans un ensemble à n éléments est

Exemple :

Dans une urne contenant n boules distinguables (numérotées), on tire p boules en les remettant dans l'urne

après chaque tirage (on accepte les répétitions). On ne s'intéresse pas à l'ordre d'apparition des boules. Le

nombre de tirages possible est le nombre de combinaisons avec répétition à p éléments de l'ensemble {1,2,

.....,n} c.-à-d. .

Exemple d'avant

.n=1, p=2,  ==6

6.Permutation avec répétition

Définition :

Supposons que le n éléments de l'ensemble E se répartissent en l (petit L) catégories. Il y éléments de

type 1, éléments de type 2,......., éléments de type l.

Au total :

On appelle permutation avec répétition de n éléments de l'ensemble E, toute disposition où figure fois un

élément de type 1, fois un éléments de type 2, ..........., fois un éléments de type l.

Remarque :

La permutation avec répétition n'est pas un cas particulier d'arrangement avec répétition, contrairement au

cas sans répétition. La " répétition » n'agit pas dans le même contexte pour permutation et l'arrangement. 2

points :

-Dans le cas des permutations, répétition signifie qu'un type d'éléments donné de l'ensemble E peut

être présent plusieurs fois.

-Dans le cas d'arrangement, répétition signifie qu'un même élément de l'ensemble E peut être

réutilisé plusieurs fois.

Proposition :

Le nombre de permutations avec répétition des n éléments de l'ensemble E (répartissant l catégories) :

éléments de type 1,....., éléments de type l , avec ++.....=n est :

Démonstration :

Il y a n! permutations différentes des n éléments de l'ensemble. Pour obtenir le nombre de permutations

avec répétition il faut considérer le fait que les éléments d'un même type vont fournir une même

permutation. Or le nombre de permutations identiques fournies par les éléments de type k est . Au total

le nombre de permutations avec répétition est

Exemple 1:

Dans une urne contenant n boules de l couleurs différentes avec boules de couleur , boules de

couleur C2, ......., boules de couleur Cl (avec n1+n2+......nl=n) sans les remettre dans l'urne ( la

répétition joue au niveau des couleurs). Le nombre de tirages possibles distincts est le nombre de

permutations de ces n boules avec répétition des l couleurs, c.-à-d.

Exemple 2 :

Quel est le nombre de tirages distincts possibles qu'on peut faire à partir de 5 boules, en sachant qu'il y en a

2 blanches et 3 noires.

n=5, n1=3 (tirages distincts possibles)

7.Pratique du dénombrement

Soit une expérience aléatoire E composée de r expériences successives, la première pouvant produire un

résultat quelconque parmi n1 résultats possibles, la deuxième produisant un résultat quelconque parmi n2

résultats possibles,....., la rième pouvant produire un résultat quelconque parmi nr résultats possibles.

Le nombre total de résultats possibles pour l'expérience aléatoire E est le produit de n1*n2 *n3*.....*nr.

Autrement dit, le nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire un choix et un

choix est obtenu en effectuant le produit du nombre de ces choix. ((etproduit))

Exemple :

Calculons le nombre de plaques minéralogiques distinctes disponibles par département quand la numérotation comprend 4 chiffres et 2 lettres.

·On choisit 4 chiffres parmi 10 avec ordre et avec remise et on choisit 2 lettres parmi 26 avec ordre et

avec remise. Le nombre total de possibilités est =

·Si une expérience aléatoire E peut être réalisé de r manières différentes, la première fournissant n1

résultats distincts possibles,......, la rième fournissant nr résultats distincts possibles, alors le nombre

total de résultats possibles = n1+n2 +.......+nr.

Autrement dit le nombre de choix possibles pour une expérience aléatoire consistant à faire 1 choix

ou 1 choix est obtenu en effectuant la somme du nombre de ces choix. ((ousomme)).

Exemple :

Dans une urne contenant 49 boules numérotées de 1 à 49, on tire simultanément 6 boules. Calculons le

nombre de tirages possibles ayant (au moins) 5 numéros entre 1 et 6.

·Au moins 5 bons numéros c'est exactement 5 bons ou exactement 6 bons numéros. Il y a 1 seul

tirage donnant 6 numéros entre 1 et 6. Le nombre de tirages possibles avec exactement 5 bons numéros est (on choisit sans ordre et sans remise 5 numéros parmi les 6 bons numéros et on choisit 1 numéro parmi les 43 numéros.

Au total : 1+ tirages possibles.

8.Synthèse

On considère une urne de n boules distinguables, où on effectue p tirages successifs. Combien il y a-t-il de

tirages possibles ?

SANS REMISEAVEC REMISE

AVEC ORDRE

SANS ORDRE

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