TD 1 R ecurrence, somme et produit

Calcul de la somme ou du produit des termes consécutifs d’une suite sur calculatrice Le 23-12-2015 Exemple tiré du DM pour le 4-1-2016 en TS 2 1 1 1 k n n k u k nMin 1 u prod suite 1 1/ K , K,1, n n 2 Pour le modèle TI-83 « évolués » (par exemple, TI 83 Premium CE), on doit remplir : Suite : Expr : 1 1/ K 2

Exercices 3 Sommes, produits et coefﬁcients binomiaux

Simpliﬁer la somme Sn ˘ nX¡1 k˘0 cos Calculer V En déduire W Exprimer W en fonction de X et Y Montrer, sans calcul, que X ˘ Y En déduire X puis Z

TD 1 R ecurrence, somme et produit

2 Somme et produit Exercice 9 (*) Soit un entier n 4 Calculer la somme Xn k=4 5k Exercice 10 (*) Soient deux entiers n et m tels que m n, calculer la somme Xn k=m k Exercice 11 (**) Calculer, pour tout entier n 0, le produit Yn k=0 3k: Exercice 12 (*) Soient p et n deux entiers tels que 1 p n Exprimer, en fonction de deux factorielles

Notations - mathscpgefileswordpresscom

6 la somme d’une suite t elescopique : Xn i=m (a i a i+1) = a m a n+1 7 Si (a i) i2N) est une suite arithm etique alors Xn i=m a i= (n m+ 1) a m+ a n 2 8 Si (a i) i2N) est une suite g eom etrique de raison q6= 1 alors Xn i=m a i= a m a n+1 1 q Exemple 1 : Calculer la somme Xn k=1 k= 1 2 Xn k=1 (k+ 1)2 k2 1) = n(n+ 1) 2 Exemple 2 : Xn k=1 k2

1 Additionner et soustraire des nombres relatifs

1 Calculer les sommes suivantes A˜=˜3˜+˜(−8) B˜=˜5,2˜+˜(− −8,4) Solution • −3 et −8 sont négatifs Leur somme est négative, on ajoute leurs distances à zéro A˜=˜−3˜+˜(−8) A˜=˜−(3˜+˜8) A˜=˜−11 • 5,2 et −8,4 sont de signes contraires Leur somme est négative (car 8,4˜>˜5,2), on soustrait leurs

First Prepa - Meknès -1ECS2 Nombres complexes 2018-2019

1 Calculer la somme des racines n ième de l’unité 2 Calculer le produit des racines n ième de l’unité 3 Calculer la somme S 1 = nX 1 k=0 (k+1)k 4 Calculer la somme S 2 = nX 1 k=0 C n k 5 Calculer la somme S 3 = nX 1 k=0 jk 1j Exercice 9 : 1 Résoudre pour x2R, l’équation eix= 1: On considère x2Rn2ˇZet on note S= Xn k

Exemples de suites - Mathématiques en ECS1

nX 1 k=0 u k= nX 1 k=0 v k+ nX 1 k=0 = (u 0 ) 1 na 1 a + n Méthode 3 2 (Somme des npremiers termes d'une suite arithmético-géométrique) Exercice 3 3 Déterminer le terme général des suites suivantes et calculer la somme des npremiers termes : 1 ˆ u 0 = 2 8n2N;u n+1 = 2u n+ 1 2 ˆ v 1 = 1 8n2N;v n+1 = 3v n 1 3 3Suites récurrentes

Calcul mathématique avec Sage

Calcul mathématique avec Sage 3 lien,MarcMezzarobba,ClémentPernetetNicolasThiéryd’écrireunlivresur Sage,tousontréponduprésent

1 Matlab solution to diﬀusion-reaction problems

maximum yield = 1− k2CB0 k1CA0 with CA0 and CB0 representing the pore mouth concentrations Pore diﬀusion resistance causes the yield to decrease from the above maximum value Maximum yield is realized only at low values of the Thiele parameters Example simulated with matlab for a particular case illustrates this point ) Consider φ1 = 2

II – MANIPULATIONS DE BASE - Texas Instruments

Somme des termes L'idée est de définir une seconde suite par vu vnn n=+−−11 avec v0 =0 On obtient dans vn+1la somme des termes jusqu'à u n Récurrence linéaire d'ordre 2 Etudions par exemple uu u nn n=−32−−12avec u 0 =2 et 1 1 On remplace la relation de définition par le système : uu v vu nn n nn =− = RS T−− − 32 11 1

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Lycee Janson de Sailly Annee 2020-2021

ECS1 TD 1

Recurrence, somme et produit1. Recurrence

Exercice 1.(*)

Soit (un) la suite denie paru0=85

et8n2Nun+1= 6un3.

Demontrer par recurrence que :8n2Nun= 6n+35

Exercice 2.(*)

Soit (un) la suite denie paru0= 0 et8n2Nun+1=1+2un2+un.

Demontrer par recurrence que :8n2N;0< un1.

Exercice 3.(**)

Demontrer par recurrence que :8a2R+8n2N(1 +a)n1 +na.

Exercice 4.(***)

Demontrer par recurrence que :8n4n22n.

Exercice 5.(***)

Demontrer les propositions suivantes :

1.8n2N;2!4!:::(2n)!((n+ 1)!)n

2.8n2N;2nX

k=1(1)k1k =nX k=11n+k Exercice 6.(*) Demontrer les proprietes suivantes :

1)8n1;(n+ 1)!nX

k=1k!

2)8n2N;nY

k=1k k:k! = (n!)n+1

3)8n2N;nY

k=1(4k2) =nY k=1(n+k)

Exercice 7.(*)

Montrer par recurrence que, pour toutn0 et pour toutp0, on a n X k=0 k+p p =n+p+ 1 p+ 1 1

Exercice 8.(*)

Montrer que, pour tout entiern1, on anY

k=1(n+k) = 2nnY k=1(2k1):2. Somme et produit

Exercice 9.(*)

Soit un entiern4. Calculer la sommenX

k=45 k.

Exercice 10.(*)

Soient deux entiersnetmtels quemn, calculer la sommenX k=mk.

Exercice 11.(**)

Calculer, pour tout entiern0, le produitnY

k=03 k:

Exercice 12.(*)

Soientpetndeux entiers tels que 1pn. Exprimer, en fonction de deux factoriellesnY k=pk.

Exercice 13.(**)

1. Exprimer ces pro duits al'aide de pu issancesde 2 et de factorielles : nY k=1(2k) etnY k=1(2k1):

Exercice 14.(**)

Simplier l'expression :

nX k=1k(k+ 1)!pour toutn1.

Exercice 15.(**)

Calculer, pour toutn2, les sommes suivantes :

nX k=0kn k nX k=0kn k 2 knX k=01k+ 1 n k 2

Exercice 16.(**)

Soitn2N. On considere les sommes

A n=nX k=0 n k ; B n=nX k=0(1)kn k ; S n=X 02kn n 2k etTn=X

02k+1n

n 2k+ 1 1.

Calculer AnetBnen fonction den.

En d eduireSnetTnen fonction den.

D eterminer

nX k=0 2n 2k

Exercice 17.(*)

Montrer pour tous entiers naturelsk,petn:n

k nk pk=p k n p.

Exercice 18.(***)

Montrer les formules suivantes pour tout (p;n)2N2. 1. pX k=0 n k nk pk = 2 pn p 2. pX k=0(1)kn k nk pk = 0 3.

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