[PDF] COMMENT ETUDIER LE SIGNE D’UNE EXPRESSION

Le tableau De signe - eZsciences

Fiche outil n° 1 : Le tableau de signe Propriété intellectuelle de eZsciences Version 1 0 8 Retour Sommaire Seconde ligne : Le signe de "(2????+1)" change à partir de "????= 1 2" Or pour connaître le signe de chacune des cases associées, il est possible d’utiliser directement la forme inéquation

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Seconde 4 Tableau de signes - M ethode Tableau de signes Pour etudier le signe d’une expression de la forme (2x+4)( x+3) ou 2x 2 x+ 6 par exemple, il faut faire un tableau de signes Il faut d ej a que l’expression consid er ee soit un produit (ou un quotient) de termes de la forme ax+ b Etape 1 : On r esoud, pour chaque membres de l

Les tableaux de signe - SFR

Les tableaux de signe Le tableau de signe d’une expression algébrique est utilisé pour : • Résoudre des inéquations autres que celles du premier degré • Et surtout, établir le tableau du signe de la dérivée pour en déduire les variations d’une fonction 1) Signe d’une expression du 2 ème degré

ableauT de signe

ableauxT de signe Exercice 2 Application À partir de chaque représentation graphique : 1 déterminer la ou les aleur(s)v pour la(les)quelle(s) : (a)la fonction n'est pas dé nie; (b)la fonction est éventuellement nulle; 2 établir le tableau de signes de cette fonction 0 1 1 x y C m 0 1 1 x y C g 0 1 1 x y C h Correction exercice 2

ableauT de signe

ableauxT de signe Exercice 2 Application À partir de chaque représentation graphique : 1 déterminer la ou les aleur(s)v pour la(les)quelle(s) : (a)la fonction n'est pas dé nie; (b)la fonction est éventuellement nulle; 2 établir le tableau de signes de cette fonction 0 1 1 x y C m 0 1 1 x y C g 0 1 1 x y C h Exercice 3 Application

Exercices corrigés sur les tableaux de signe d’un quotient

Tableau de signe de C(x) : x Sgn x− 4 Sgn 3x+2 Sgn C(x) −∞ − − + −2 3 0 0 − + − 4 0 0 + + + +∞ Conclusion : S = ò −∞;− 2 3 ï ∪]4;+∞[4 Pour tout réel x tel que x2 − 9 6= 0 : x+1 x2 − 9 6 0 ⇐⇒ x+1 x2 − 32 6 0 ⇐⇒ x+1 (x−3)(x+3) {z } =D(x) 6 0 x+1 = 0 ⇐⇒ x = −1 x− 3 = 0 ⇐⇒ x = 3 x+3

Seconde - Tableau de signes et de variations de fonctions

4 Mettre en évidence une relation entre le tableau de valeurs et le tableau de variations Exercice 2732 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2;10] dont seul le tableau de variations ci-dessous est donné: 2 0 3 4 7 10 3 8 0-2 0 1 x Variation de f 1 Décrire, en français, les variations de la fonction f sur l

ÉTUDE DE FONCTIONS

Pour étudier le signe de la dérivée il faut chercher la valeur qui l’annule puis dresser un tableau de signe f 0(x) ˘0 ()2x¯2 ˘0)x ˘¡1 x f 0(x) ¡1 ¡1 ¯1 ¡ 0 ¯ www sunumaths com 1 M DIAGNE

COMMENT ETUDIER LE SIGNE D’UNE EXPRESSION

Soit le signe du trinôme est immédiat, du signe de a Soit le trinôme est partout du signe de a sauf entre ses racines où il est du signe contraire de a Exemples : étudier le signe des trinômes : 1 4x² - 36 (a=3 ; pour trouver les racines, résoudre l’équation 4x² - 36 =0 en utilisant une identité remarquable ) 2

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COMMENT ETUDIER LE SIGNE D'UNE EyPRESSION ?

Connaître les signes évidentsH imméTiaWV. ¾ Pour tout nombre réel x, x² eVW positif, (signe +dans un tableau), (x²0). ¾ Pour tout nombre réel x, -x² eVW négatif (Vigne - TanV un Wableau)H (-x²0).

¾ x 0H pour WouW nombre réel poViWif x.

¾ ex L 0 pour WouW réel x.

ConnaŠtre les signes Ġǀidents en fonction de l'interǀalle d'appartenance de dž J

¾ Si x [1 ; 5]H alorV xL0

¾ Si x [-6 ;-3]H alorV x K0.

Il est fondamental de connaŠtre la nature de l'expression dont on veut étudier le signe J

1°) SommeV Te Vigne éviTenW

¾ Somme de deux nombres positifs J x²+1 L0H 2x+x² 0 Vi x 0H 5x2+10x >0 si x[1 ; 5]. ¾ Somme de deux nombres négatifs J -3-džϸ ф0 car somme d'un nombre VWricWemenW nĠgatif et d'un rĠel négaWif ou nul. (-3-x² = -3 + (-x²))

2°) Somme du type ax+b (aт0).

On peut soit J

¾ Résoudre les inéquations ax+b<0, puis ax+b<0 et en déduire les intervalles sur leVquelV ax+b eVW négaWif (Te Vigne -) ou poViWif (Te Vigne +) .

Si aф0, ne pas oublier le changement de sens de l'inĠgalitĠ au moment de la diǀision par a.

Si a < 0 alors le tableau Te VigneV eVW Tu Wype J Si a > 0 alors le tableau Te VigneV eVW Tu Wype J NxempleV J éWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J

2x+3 ; 4x-5 ; -10x+3 ; 2+4x ; 1+x ; 5-8x ; 6-3x ; -x+10 ; 1-x ; 3-x ; -x+1 .

3°) Somme du type ax²+bx+c (Wrinôme Tu VeconT Tegré) J bien repérer a = H b= Hc=

¾ Si le trinôme eVW complet (aт0,bт0,cт0), alors calculer le discriminant = b²-4ac J bien veiller à ce que b ne prenne paV " froiT » en l'entourant par des

Ensuite appliquer les règleV VuivanWeV J

Si K 0, alors le trinôme est du signe de a et n'admet aucune racine. Si = 0 alorV le trinôme est du signe de a WouW en aTmeWWanW une racine TiWe

Touble Xo = b

a Nn réVuméH TanV ceV Teux caV ( K0 ou = 0)H Vi a eVW négaWifH alorV le Wrinôme eVW négaWif ; Vi a eVW poViWifH alorV le Wrinôme eVW poViWif. (Je TiV bien a ! ). Si L 0 H alorV le Wrinôme eVW parWouW Tu Vigne Te a (encore lui !)H Vauf enWre leV racineV où il eVW Tu Vigne conWraire Te a. Comme ǀous l'aǀez compris un trinôme du second est la plupart du temps du

" fin » cH alorV il eVW inuWile Te calculer le TiVcriminanW Par conWre bien repérer aH " a = »

NVVayer Te facWoriVer le Wrinôme par TeV méWUoTeV VimpleV uWiliVéeV en SeconTe J Rechercher un facteur commun eWIou une iTenWiWé remarquable. pour le Vigne Tu WrinômeH appliquer leV mêmeV règleV que précéTemmenW J Soit le signe du trinôme est immédiatH Tu Vigne Te a. Soit le trinôme est partout du signe de a sauf entre ses racines où il est

Tu Vigne conWraire Te a.

NxempleV J éWuTier le Vigne TeV WrinômeV J

1. 4x² - 36 (a=3 ; pour Wrouver leV racineVH réVouTre l'équation

4x² - 36 =0 en uWiliVanW une iTenWiWé remarquable. )

2. - 10x²+ 2x (a=-10H meWWre x en facWeur puiV Wrouver leV racineV)

NxerciceV J NWuTier le Vigne TeV WrinômeV VuivanWV aprèV avoir faiW le Wri enWre leV WrinômeV compleWV eW

incompleWV (Ne paV oublier Te repérer " a ») J

5x²-8x+4 ; 3x²-6x ; x²-3x+1 ; 5x²+10x ; -x²+5x+1 ; 2x+x² ;

25x-150x² ; 3x²- 27 ; 4x²-16 ; 4-x² ; 1-x² ; -8x²+32 ; x²-3.

4°) Produit

Soit on réalise un tableau de signes dans lequel on fait apparaître le signe de chacun des facteurs

et on utilise la rğgle du signe d'un produit. NxerciceV J NWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J -5(x-2)(x+3) ; -3(x-1)²(x+4) ; 2(3x-1)(4-x) ; x²(x-3).

5°) Quotient (Ne paV oublier la ou leV valeurV inWerTiWeV ).

Soit le signe est immédiat J

Soit on réalise un tableau de signes dans lequel on faiW apparaîWre le Vigne Tu numéraWeur eW celui

NxerciceV J éWuTier le Vigne TeV expreVVionV VuivanWeV J xx x ; x² x ; x x²

6°) Utilisation du tableau de variation

Si une foncWion f aTmeW Vur un inWervalle I un minimum strictement positif ( en faiW ne TeVcenT paV pluV

Si une foncWion f aTmeW Vur un inWervalle I un maximum strictement négatif ( en faiW ne monWe paV pluV

7°) Détermination du signe Te f grapUiquemenW (AWWenWion ! Cela ne conVWiWue paV une preuve)

On obVerve la poViWion Te la courbe Cf de f par rapport ă l'adže des abscisses.

Si Cf eVW en-dessous de l'adže des abscisses sur l'interǀalle I, alors f (dž) est nĠgatif sur I.

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