[PDF] Table de Karnaugh - Paris Descartes

Cours 4: Tables de Karnaugh à 2, 3 et 4 variables

Les tables de Karnaugh permettent de simplifier facilement et méthodiquement des expressions booléennes On note : Chaque case de la table de Karnaugh correspond à une rangée de la table de vérité Un ‘1’ placé dans une case de la table de Karnaugh correspond à un minterme de la fonction

TRAITEMENT DE L’INFORMATION TABLEAUX DE KARNAUGH

utilisant les relations de l’algèbre de BOOLE Le tableau de KARNAUGH va nous permettre d’effectuer des simplifications par une méthode semi graphique parfois plus rapide que la méthode algébrique 2 Construction du tableau de KARNAUGH • C’est un tableau de 2 n cases, n étant le nombre de variables de la fonction logique

Tableaux de KARNAUGH - Free

KARNAUGH 2 JFA08 \b a d c\ 00 01 11 10 00 0 1 3 2 01 4 5 7 6 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10 I ) Comment remplir le tableau : A partir de la table de vérité, on

Tableau de KARNAUGH Le passage de la table de vérité au

Observez comment sont numérotées les lignes et les colonnes : d'une case à sa voisine une seule variable change d'état Exemple : Correspondance Table de vérité / Tableau de Karnaugh Le passage de la table de vérité au tableau de Karnaugh consiste à remplir chaque case avec la valeur de la fonction pour la combinaison correspondante

Table de Karnaugh - Paris Descartes

de variables qui ne changent pas et qui rendent faux X 2 Soit on regroupe les 1 et on fait lasomme des mintermes de variables qui ne changent pas et qui rendent vrai X G Koeper Numération et Logique Table de Karnaugh L1 2014-2015 225 Circuits logiques et booléens Les circuits logiques , composants de base des ordinateurs, sont

Tableaux de Karnaugh en LATEX (avec l’aide de Scilab )

1 LATEX et les tableaux de Karnaugh 1 1 le package kvmacros tex Dessiner le tableau de karnaugh d’une fonction bool eenne a 4 ou 5 variables a l’aide d’un traitement de texte n’est pas chose ais ee Cependant, pour les utilisateurs de LATEX, il existe un package qui permet de simpli er l’ ecriture de

Architecture : Circuits numériques et éléments darchitecture

Remplir un tableau de Karnaugh revient à remplir une table de vérité Par exemple, la troisième case de la première ligne correspond à a = 0 et b = 1 et c = 1 : Maj (0 ;1;1) = 1 donc la case est remplie avec un 1 1 0 00 01 11 10 a bc 0 0 1 0 0 1 1 1 Les groupements de points à 1 mettent en évidence les simpli cations possibles Il su t

1 Les fonctions logiques

Le passage de la table de vérité au tableau de Karnaugh consiste à remplir chaque case avec leur valeur de la fonction pour le produit correspondant Pour ne pas encombrer le tableau, il ne faut mettre que les 1 La simplification consiste à rassembler les cases adjacentes contenant des 1 par groupe de 2, 4 et 8, ensuite les

TD1 M1102 (SIN) : Fonctions logiques élémentaires

éliminées L'objectif d'une simplification par tableaux de Karnaugh est de réaliser les regroupements les plus grands possibles et en nombre le plus petit possible La forme simplifiée obtenue à l'aide d'un tableau de Karnaugh est une forme disjonctive simplifiée Celle obtenue à partir de la table de vérité est dite disjonctive canonique

CHAP 2 TABLE DE VÉRITÉ - ALGÈBRE DE BOOLE

C'est ce qu'on appelle une somme de produits 2) La sortie d'un circuit OU-ET (somme de produits) peut être représentée par une équation en algèbre de Boole De plus, en appliquant les théorèmes de l'algèbre de Boole on peut réduire le nombre de portes 2 1 Combinaison d'entrées Logique combinatoire - car on "combine" des entrées

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Table de Karnaugh

Exemple :On reprend la table de Karnaugh de

X=¯a¯b¯c¯d+¯a¯b¯cd+¯a¯bcd+¯a¯bc¯d+a¯b¯c¯d+a¯b¯cd+a¯bcd+a¯bc¯dX=¯b1Soit on regroupe les "0" et on fait leproduit des maxtermes

de variables qui ne changent pas et qui rendent fauxX.2Soit on regroupe les "1"et on fait lasomme des minter mes

de variables qui ne changent pas et qui rendent vraiX.G. KoepflerNumération et LogiqueTable de KarnaughL1 2014-2015 225Circuits logiques et booléens

Lescircuits logiques, composants de base des ordinateurs, sont conçus à partir decircuits élémentairescorrespondants aux

opérations booléennes ".", "+" et "¯".Un circuit logique peut être vu comme une boîte noire ayant

n≥1 ports d"entréee1,e2,...,en m≥1 ports de sorties1,s2,...,smIl traite des informations codées surnbits et donne des

informations codées surmbits.Le codage de l"information, en entrée ou sortie, est représenté par

l"absence (0) ou la présence (1) d"une tension électrique.On appelle ces circuitslogiquescar un bit d"information 0 est

assimilé à la valeur de véritéfauxet 1 àvraiOn représente ainsi une application de{0,1}ndans{0,1}mG. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 227

Exemple : additionneur 1 bit

Soit un circuit électronique destiné à l"addition bit à bit. Le schéma est le suivantLesentrées sont les bits X et Y et le repor tC . Les sor ties sont le bit de sor tie Z et la reten ue r

Le résultat de (X+Y+C)

2est donné par Z et r.G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 228Table de vérité de l"additionneur bit à bit

On obtient ainsi la table de véritéD"où : Z= (¯x.¯y.c) + (.¯x.y.¯c) + (x.¯y.¯c) + (x.y.c)

r= (¯x.y.c) + (x.¯y.c) + (x.y.¯c) + (x.y.c)G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 229

Additionneur : table de Karnaugh

On peut dresser les tables de Karnaugh pour Z et r : On déduit une forme normale disjonctive simplifiée pour r

r= (x.y) + (x.c) + (y.c)Il suffit de trois.et deux+pour implémenter la retenue.La sortie Z s"écrit plus facilement avec l"opérateur?, "ou exclusif»

Z=x?y?c,avec?01

001 110

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 230Spécification d"un circuit logique

C"est la description du fonctionnement interne du circuit Par une table de vérité : on donne les valeurs de sortie pour chacune des entrées possibles : il y en a 2 ne 1...e ns 1...s m. ..i 1...i no 1...o m. ..Parmfonctions booléennes denvariables, chacune donnant une le résultat ne dépend que des entrées, il n"y pas besoin de synchronisation ou d""horloge». G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 231 Représentation des portes logiques élémentaires Un circuit est représenté grâce aux opérateurs de bases. La représentation des portes logiques de base est définie par des normes ANSI/IEEE.NomSymboleOpération

ETA.BOUA+BNONANomSymboleOpération

NON-ETA.BNON-OUA+BOU exclusifA?BVoirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_logiqueLa porte NON est souvent appeléinverseur.

Utilisée en entrée ou en sortie, elle est représentée comme une "bulle». G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 232Des formules aux circuits

Exemple : S= (e1+e2).(¯e1+e3)Le circuit doit avoir autant d"entrées que de variables booléennes.

On introduit des bifurcations par des•pour répéter des variables.devient G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 233

Exemple : reste de la division par 3

Spécifier un circuit logique tel quel"entrée est un entierncompris entre 0 et 15la sortie est le reste de la division entière denpar 3alors

1l"entrée peut être codée en binaire naturel sur 4 bits;

2la sortie peut être codée sur 2 bits;

3Le schéma est

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 234Exemple : reste de la division par 3

La table de vérité est

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 235

Exemple : reste de la division par 3

L"on obtient les formes normales :

s

0= (¯e3.¯e2.¯e1.e0) + (¯e3.e2.¯e1.¯e0) + (¯e3.e2.e1.e0) + (e3.¯e2.e1.¯e0)

+(e3.e2.¯e1.e0)et s

1= (¯e3.¯e2.e1.¯e0) + (¯e3.e2.¯e1.e0) + (e3.¯e2.¯e1.¯e0) + (e3.¯e2.e1.e0)

+(e3.e2.e1.¯e0)d"où l"on peut tirer le schéma du circuit...

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 236Exemple : reste de la division par 3

Le circuit...

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 237

Exemple : circuit additionneur 16 bits

Un circuit additionneur 16 bits a 32 entrées et 17 sorties :16 entrées reçoivent un premier entier naturel codé sur 16 bits;

16 autres entrées reçoivent un deuxième entier naturel codé sur

16 bits;16 sorties constituent la représentation en base 2 de la somme

deux entiers en entrée;Le 17ème bit est un éventuel dépassement de capacité. Une spécification par table de vérité n"est pas envisageable. De même, écrire les 17 formules spécifiant les 17 sorties sous forme normale est laborieux!On construit/développe un circuit additionneur 1 bit.

On composera autant de "circuit 1 bit » que nécessaire.Le circuit sera uncircuit séquentiel encore appelé bascule :

une partie du circuit doit attendre le résultat d"une autre partie du circuit, d"où besoin d"une horloge.

G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 238Exemple : circuit additionneur 16 bits

L"additionneur 1 bit avec retenue

L"additionneur 16 bits consiste en la succession de 16 additionneurs 1 bitLeième circuit 1 bit doit attendre le report du(i-1)ème circuit 1

Affichage à cristaux liquides

Un afficheur numérique est composé de sept barres :

a, b, c, d, e, f et g qui peuvent être allumées ou éteintes;On veut afficher les chiffres de 0 à 9 :

l"entrée du circuit est le code binaire du chiffre à afficher, la sortie est le signal qui allume ou éteint chaque barre.Exemple pour afficher 2 : il faut que a=1, b=1 , c=0 , d=1 , e=1 , f=0 et g=1. G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 240Affichage à cristaux liquides Circuit de la barre e : soient p, q, r et s les quatre bits d"entrée pour coder les 10 chiffres.La table de vérité pour la barre e s"écrit alors pqrse 00001 00010 00101
00110
01000
01010
01101
01110
10001
10010
G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 241

Affichage à cristaux liquides

On écrit la formule E

E= (¯p.¯q.¯r.¯s) + (¯p.¯q.r.¯s) + (¯p.q.r.¯s) + (p.¯q.¯r.¯s)On simplifie

E=¯s.([¯p.(¯q+r)] + (p.¯q.¯r))G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 242L"affichage à cristaux liquides

À partir de

E=¯s.([¯p.(¯q+r)] + (p.¯q.¯r))on obtient le circuit de la barre e : G. KoepflerNumération et LogiqueCircuits logiquesL1 2014-2015 243

Notation polonaise

Pour écrire les expressions algébriques impliquant desopérateurs binaires, on utilise en général lanotion infixée :

l"opérateur est écritentreles opérandes.Exemples :"2+2"; "2?(4-5)"; "p?(q?r)"; "(a.b) +c" ...En mathématiques, on utilise le plus souvent une notation

préfixée pour lesopérateurs unaires: sinθ"sinus theta»; logx"logarithme dex» . une notation préfixée pour les opérateurs binaires : G. KoepflerNumération et LogiqueNotation polonaiseL1 2014-2015 245Notation polonaise Cette notation ne nécessite pas de parenthèses

et est sans ambiguïté si les opérateurs sont binaires :Exemples :"* - 3 2 4" signifie "(3-2)*4";

"/ * 4 2 2" signifie "(4*2)/2" et "* / 4 2 2" signifie "(4/2) * 2".Des notations préfixe sont utilisées dans des langages de

programmations tels queLisp,Tcl,Apl.Dans lanotation polonaise in verseou notation postfixée

l"opérateur est écritaprèsles opérandes.Exemples :"2 2 +" ou "3 4 * 5 1 - *"Dans les années 1970/80, les calculatrices HP (Hewlett-Packard)

ont utilisé ce principe : il y a une touche ENTERqui permet de remplir unepile, une touche CHS, mais pas les touches =, (ou ). On utilise moins de touches qu"avec la notation infixe. G. KoepflerNumération et LogiqueNotation polonaiseL1 2014-2015 246

Notation polonaise

Afin d"éviter des ambiguïtés un opérateur est soit unaire, soit propositionsNot. standard¬pp?qp?qp→qp↔qNot. polonaiseNpKpqApqCpqEpq

Exemple :Soit la formuleF= ((¬a?b)?c)→(¬¬a? ¬b)Elle s"écritCKANabcKNNaNbCette notation

1n"utilise aucune parenthèse;

2définit la formuleFsans ambiguïté.G. KoepflerNumération et LogiqueNotation polonaiseL1 2014-2015 247Notation polonaise préfixée

Pas n"importe quelle suite de symboles ne représente une formule.Mais la notation polonaise préfixée permet untest de bonne formationtrès simple :

On affecte1le poids -1 aux variables

2le poids +1 aux connecteurs binairesK,A,CetE3le poids 0 au connecteur unaireNAlors

1La somme des poids d"une formule est -1.

2Toute somme partielle à partir de la gauche est positive.

Exemples :

ACpqrest bien formée et signifie "(p→q)?r"

ACpEqrest mal formée : la somme vaut 0.G. KoepflerNumération et LogiqueNotation polonaiseL1 2014-2015 248

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