[PDF] Corrigé du TD no 10 - Institut de Mathématiques de Toulouse

Equivalents usuels - MATHEMATIQUES

Trigonométrie circulaire en 0 sinx ∼ x→0 x tanx ∼ x→0 x Arcsinx ∼ x→0 x Arctanx ∼ x→0 x 1 −cosx ∼ x→0 x2 2 Trigonométrie hyperbolique en 0 shx ∼ x→0 x thx ∼ x→0 x chx−1 ∼ x→0 x2 2 Exponentielle en 0 ex −1 ∼ x→0 x Logarithme népérien en 1 ln(1 +x) ∼ x→0 x ou encore lnx ∼ x→1 x−1 Arc cosinus

Chapter 1 Limites et Equivalents - PédagoTech de Toulouse INP

Chapter 1 Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu’une fonction f(x) tend vers ±∞ou vers 0 lorsque xest voisin de x0 ne suffit pas: il est souvent indispensable de savoir en plus à quelle vitesse cette convergence a lieu

Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)

(b)En utilisant la formule de Taylor-Young (c)En utilisant le théorème d’intégration des développements limités (d)En utilisant le développement limité de la fonction réciproque arctangente (e)En partant de l’équivalent de tangente en 0, puis en utilisant la relation tan0= 1 +tan2 3 En déduire lim x0 tan x x x3 3 x5 4 Pour x

1 Fonctions usuelles - École Polytechnique

– Expression en fonction de tan a 2: On pose t = tan a 2 cosa = 1 −t2 1 +t2, sina = 2t 1+t2, tana = 2t 1 −t2 2 Equivalents, relations de comparaison, développements asympto-tiques Soit I un intervalle de R, a ∈ I¯ (a pouvant être infini) et f, g: I → R On fait l’hypothèse que f et g ne s’annulent pas sur un voisinage de a

Comparaison des suites en l’infini - MATHEMATIQUES

est parfois utilisée, cette notation ayant entre autre le mérite de pouvoir être renversée : si la suite v est prépondérante devant la suite u, on écrit vn ≫ +∞ un Commentaire Dire que un = +∞ o(vn) signifie que l’ordre de grandeur en +∞ de la suite (un)n∈N est strictement inférieur à l’ordre de grandeur de la suite

ECS1, Hoche DL, équivalents usuels, limites à connaître

ECS1, Hoche DL, équivalents usuels, limites à connaître Janvier 2012 ex = 1+ x 1 + x2 2 + n+ xn n +xn"(x) = ∑n k=0 xk k +x "(x) sin(x) = x nx3 3 + +( 1) x2n

Lycée Blaise Pascal TSI 1 année - Free

De manière plus générale Soient α, β et γ des réels strictement positifs • En + arctan x→0 argsh x→0 argth x→0 cosx −1

Corrigé du TD no 10 - Institut de Mathématiques de Toulouse

CPP–2013/2014 Fonctionsréelles J Gillibert Corrigé du TD no 10 Exercice 1 1 Soitfunefonctiondérivableen0 tellequef0(0) 6= 0 Montrerque: f(x)−f(0) ∼ 0 xf0(0) Réponse : Pardéfinition,sifestdérivableen0,alors:

Calculs de limites, développements limités, développements

Calculer f(n)(0) en moins de 10 secondes puis f(n)(x) pour jxj6=1 en à peine plus de temps) Correction H [005430] Exercice 6 IT 1 Equivalent simple en +¥ et ¥ de p x2 +3x+5 x+1 2 Equivalent simple en 0, 1, 2 et +¥ de 3x2 6x 3 Equivalent simple en 0 de (sinx)x x2 (x x2)sinx 4 Equivalent simple en +¥ de xthx

Développements limités, équivalents et calculs de limites

1 Déterminer le développement limité de , à l’ordre 2 au voisinage de 0 2 En déduire l’équation de la tangente au point d’abscisse =0 et la position de la tangente par rapport à la courbe 3 Déterminer une équation de l’asymptote en +∞ ainsi que la position de cette asymptote par rapport à la courbe

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CPP - 2013/2014 Fonctions réelles

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o10Exercice 1

1. Soitfune fonction dérivable en0telle quef?(0)?= 0. Montrer que :

f(x)-f(0)≂0xf?(0) Réponse :Par définition, sifest dérivable en0, alors : lim x→0x?=0f(x)-f(0)x =f?(0). Si en outref?(0)n"est pas nul, alors on peut définir une fonctionken posant k(x) =f(x)-f(0)xf ?(0)pourx?= 0,etk(0) = 1.

Alors, d"après ce qui précède,k(x)tend vers1quandxtend vers0. En outre, pour tout réelxnous

avons f(x)-f(0) =xf?(0)×k(x)

En effet, cette égalité est vraie pourx?= 0par définition dek, et reste vraie pourx= 0car dans

ce cas les deux membres sont nuls. D"où le résultat par définition de l"équivalent.

2. (a) Il découle de la question 1 quesinx≂0x.

(b) Commecosxtend vers1quandxtend vers0, nous avons :cosx≂01. (c) En faisant le quotient des deux équivalents précédents, il vient :tanx≂0x.

(d) La dérivée en0de la fonctionx?→(1 +x)αest égale àα, donc d"après la question 1

(1 +x)α-1≂0αx

(e) La fonctionx?→arcsinxest dérivable sur]-1,1[, et sa dérivée estx?→1⎷1-x2. En particulier,

sa dérivée en0est1. Il résulte alors de la question 1 quearcsinx≂0x.

(f) De même, la fonctionx?→arctanxest dérivable en0, de dérivée égale à1. Doncarctanx≂0x.

Exercice 2

Rappelons que l"on peut multiplier les équivalents. Sachant queln(1 +x)≂0xet quesinx≂0x, on en

déduit que : ln(1 +x)sin2≂0x3

De même, commeex-1≂0x, il vient :

x

2(ex-1)≂0x3

Enfin, nous avons

(ex-1)⎷1 +x-ex+ 1 = (ex-1)(⎷1 +x-1)≂0x22 car⎷1 +x-1≂0x2 1

Exercice 3

a) Sachant queln(1+t)≂0t, et quesinxtend vers0quandxtend vers0, on en déduit par composition d"équivalents que ln(1 + sinx)≂0sinx Par ailleurs, commesinx≂0x, on en déduit par transitivité de≂0que ln(1 + sinx)≂0x b) Sachant que(1 +t)α-1≂0αt, et quesinxtend vers0quandxtend vers0, il vient (1 + sinx)α-1≂0αsinx≂0αx c) Quandxtend versπ4 ,tanxtend vers1. Donc par composition d"équivalents ln(tanx)≂π4 tanx-1 D"autre part, en dérivant la fonctiontanxenπ4 , on trouve que lim x→π4 tanx-1x-π4 = tan??π4 = 2 On en déduit quetanx-1est équivalent à2x-π2 au voisinage deπ4 . Au final : ln(tanx)≂π4

2x-π2

Exercice 4

a) Nous avons : e

2x-2ex+ 1(

3⎷1 +x-1)2=(ex-1)2(

3⎷1 +x-1)2

Or

3⎷1 +x-1 = (1 +x)1/3-1≂0x3

On en déduit que

(ex-1)2(

3⎷1 +x-1)2≂0x2(

x3 )2≂09 donc la limite cherchée vaut9. b) Nous avons : lnx+ ln?1 +1x ?e x-1=ln(x(1 +1x ))e x-1=ln(x+ 1)e x-1

Par quotient d"équivalents, il vient :

ln(x+ 1)e x-1≂0xx ≂01 donc la limite cherchée vaut1. c) Rappelons que par définitionab=eblna. Nous avons donc : 1 +1x x =exln(1+1x On se ramène à étudier la limite en+∞dexln?1 +1x ?. Or, quandxtend vers+∞,1x tend vers

0, donc, par composition d"équivalents il vient

ln 1 +1x +∞1x 2

On en déduit que

lim x→+∞xln? 1 +1x = 1 d"où lim x→+∞? 1 +1x x =e.

Exercice 5

1. (a) Il vient

⎷x+ 1-⎷x=(⎷x+ 1-⎷x)(⎷x+ 1 +⎷x)⎷x+ 1 +⎷x

1⎷x+ 1 +⎷x

1⎷x

?1 + 1x + 1?

Quandxtend vers+∞,?1 +

1x + 1tend vers2. On en déduit que : ⎷x+ 1-⎷x≂+∞12 ⎷x

Autre solution :Nous avons

⎷x+ 1-⎷x=⎷x ?1 + 1x -1?

D"autre part, sachant que

⎷1 +t-1≂012 t, et que1x tend vers0quandxtend vers+∞, on en déduit par composition que?1 + 1x -1≂+∞12x Il en résulte que :⎷x+ 1-⎷x≂+∞⎷x×12x≂+∞12 ⎷x (b) Nous avons ?ln(x+ 1)-?ln(x) =?ln(x)? ?ln(x+ 1)lnx-1? Or : ln(x+ 1)lnx=lnx+ ln(1 +1x )lnx= 1 +ln(1 +1x )lnx

Sanchant que⎷1 +t-1≂012

t, et queln(1+1x )lnxtend vers0quandxtend vers+∞, on en déduit par composition que ?ln(x+ 1)lnx-1? +∞ln(1 +1x )2lnx

Finalement, rappelons que

ln? 1 +1x +∞1x

En regroupant le tout on trouve que :

⎷x+ 1-⎷x≂+∞?ln(x)×1x

×12lnx≂+∞12x?ln(x).

3

2. Nous avons :

ln x+?x 2+ 1? -lnx= ln? x+⎷x 2+ 1x = ln?

1 +?1 +

1x 2?

Cette quantité tend versln2quandxtend vers+∞. En divisant le tout parlnx, qui tend vers+∞

quandxtend vers+∞, on trouve que : lim x→+∞ln?x+⎷x

2+ 1?lnx-1 = 0

d"où le résultat. 4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45